备战湖北版高考数学分项汇编专题09圆锥曲线含解析理

备战湖北版高考数学分项汇编专题09圆锥曲线含解析理

‎【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线（含解析）理 一．选择题 ‎1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点为(1,0)，∴得m=,n=,∴mn=，选A.‎ ‎2.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则 等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用‎2c1和‎2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用‎2a1和‎2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：‎ ‎①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c‎1a2＞a‎1c1;④＜.‎ 其中正确式子的序号是（ ）‎ A. ‎①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B．‎ ‎5.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】设集合，，则的子集的个数是（ ）‎ A．4 B．‎3 C ．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出椭圆和指数函数图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则 的子集应为共四种，故选A.‎ ‎7.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】已知，则双曲线与的（ ）‎ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D.‎ ‎9.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）‎ A. B. C.3 D.2‎ 所以.‎ 所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选A.‎ 考点：椭圆、双曲线的定义与性质，利用三角换元法求最值，难度中等.‎ ‎10. 【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）‎ ‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ 二．填空题 ‎1.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则：‎ A1　 　 A2 ‎ y B2‎ ‎ ‎ B1‎ A O ‎ B C D F1　　　　　　　　 F2 　 x ‎（Ⅰ）双曲线的离心率 ；‎ ‎（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 .‎ 三．解答题 ‎1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.‎ ‎ （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.‎ ‎ （此题不要求在答题卡上画图）‎ ‎ 【解析】 （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ‎ ①‎ 设是方程①的两个不同的根，‎ ‎ ∴ ②‎ 同理可得 ⑥‎ ‎∵当时，‎ 假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.‎ 点M到直线AB的距离为 ⑦‎ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.‎ 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.‎ ‎（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）‎ ‎2.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】设分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。‎ ‎（Ⅰ）、求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。‎ ‎（此题不要求在答题卡上画图）‎ 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则－20)相交于A、B两点.‎ ‎（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，‎ 求△ANB面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）‎ N O A C B y x l ‎4.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，‎ ‎∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.‎ ‎（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得 ‎｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.‎ 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，‎ 则c＝2，‎2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.‎ ‎∴曲线C的方程为.‎ 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜‎ ‎｜AB｜＝4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.‎ 设双曲线的方程为＞0，b＞0）.‎ 则由　 解得a2=b2=2,‎ ‎∴曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴ 　　‎ ‎∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.‎ 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是 ‎｜EF｜＝‎ ‎＝‎ 而原点O到直线l的距离d＝，‎ ‎∴S△DEF=‎ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.‎ ‎5.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】过抛物线的对称轴上一点 的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。‎ ‎ ‎ ‎6.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎7.‎ ‎【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹，加上两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；‎ ‎ （Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为。设是的两个焦点。试问：在上是否存在点N,使得的面积。若存在，求的值，若不存在，请说明理由。‎ 由①的，由②得，，‎ 当，即或时，‎ 存在点N使得，；‎ ‎8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。‎ ‎（I）当直线与轴重合时，若，求的值；‎ ‎（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。‎ 第21题图 ‎【解析】（I），‎ 解得：（舍去小于1的根）‎ ‎10.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.‎ ‎（I）求轨迹为的方程；‎ ‎（II）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）当时直线与轨迹恰有一个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）设点，根据条件列出等式，在用两点间的距离公式表示，化简整理即得；（II）在点的轨迹中，记，，设直线的方程为 即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.‎ 当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.‎ 故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.‎ ‎11. 【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎x D O M N y 第21题图2‎ 第21题图1‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，‎ 第21题解答图 ‎，且，‎ 所以，且 即且 ‎ 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，‎ 于是，故，代入，可得，‎ 即所求的曲线的方程为 ‎ 当时，.‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以当时，的最小值为8.‎ 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8. ‎ 考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值.‎