人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与重叠面积

人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与重叠面积

二次函数与重叠面积 ‎1.如图，已知矩形的顶点与点重合，、分别在轴、轴上，，；抛物线经过坐标原点和轴上另一点．‎ ‎（）当取何值时，该抛物线的最大值是多少？‎ ‎（）将矩形以每秒个单位长度的速度从图所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动．设它们运动的时间为秒（），直线与该抛物线的交点为（如图所示）．‎ Ⅰ．当时，判断点是否在直线上，并说明理由；‎ Ⅱ．以、、、为顶点的多边形面积是否可能为，若有可能，求出此时点的坐标；若无可能，请说明理由．‎ 解析：（1）因抛物线经过坐标原点和点，‎ 故可得，，‎ ‎∴抛物线的解析式为，‎ 由，‎ 得当时，该抛物线的最大值是．‎ ‎（）①点不在直线上．‎ 已知点的坐标为，点的坐标为，‎ 设直线的关系式为，‎ 于是得，解得．‎ ‎∴直线的关系式为．‎ 由已知条件易得，当时，，．‎ ‎∵点的坐标不满足直线的关系式．‎ ‎∴当时，点不在直线上．‎ ‎②以、、、为顶点的多边形面积可能为，‎ ‎∵点在轴的非负半轴上，且在抛物线上，‎ ‎∴．‎ ‎∴点，的坐标分别为、，‎ ‎∴（），‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）当，即或时，以点，，，为顶点的多边形是三角形，‎ 此三角形的高为，‎ ‎∴．‎ ‎（）当时，以点，，，为顶点的多边形是四边形，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 当时，解得或，‎ 而、都在范围内，故符合题意．‎ 当时，此时点的坐标，‎ 当时，此时点的坐标．‎ 综上所述，以、、、为顶点的多边形面积可为，当时，点的坐标，当时，点的坐标．‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是梯形，，点在轴上，点在轴上，且，．‎ ‎（）求点的坐标；‎ ‎（）点从点出发，沿线段以个单位/秒的速度向终点匀速运动，过点作，垂足为，设的面积为（），点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；‎ ‎（）在（）的条件下，过点作交线段于点，过点作，垂足为，线段分别交直线、于点、，点为线段的中点，连结．‎ Ⅰ．判断与的位置关系；‎ Ⅱ．当为何值时，？‎ 解析：（）如图，过点作，垂足为．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，．‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（）如图，∵，∠，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴的取值范围是：．‎ ‎（3）①．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，即：．‎ ‎∴．‎ ‎∵点为的中点，‎ ‎∴．‎ ‎②如图过点作，垂足为，，．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 设，则．‎ 在中，，．‎ 有，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，．‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎∴．‎ 第一种情况：当点在点上方时（如图）‎ ‎∵， ‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ 第二种情况：当点在点下方时（如图）‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴当或时，．‎ ‎3.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．‎ ‎（）求抛物线的解析式及顶点坐标；‎ ‎（）在抛物线的对称轴上找到点，使得的周长最小，并求出点的坐标；‎ ‎（）若点是线段上的一个动点（不与点、重合）．过点作交轴于点．设的长为，问当取何值时，．‎ 解析：（）∵抛物线（）经过、、三点，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为，顶点为．‎ ‎（）∵点、关于抛物线的对称轴对称，‎ ‎∴连结与抛物线对称轴交于一点，即为所求点．‎ 设对称轴与轴交于点，‎ ‎∵轴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 由题意得，，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（）∵，，，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴（）．‎ ‎∴．‎ 解得，．‎ ‎∴当或时，．‎ ‎4.如图，在中，，，．动点从点开始沿折线运动，点在，，边上运动的速度分别为每秒，，个单位．直线l从与重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿方向平行移动，即移动过程中保持，且分别与，边交于，两点，点与直线同时出发，设运动的时间为秒，当点第一次回到点时，点和直线同时停止运动．‎ ‎（1）当秒时，点走过的路径长为__________；当__________秒时，点与点重合；‎ ‎（2）当点在边上运动时，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在上，点的对应点记为点，当时，求的值；‎ ‎（3）当点在折线上运动时，作点关于直线的对称点，记为点．在点与直线运动的过程中，若形成的四边形为菱形，请直接写出的值．‎ 解析：（1）当秒时，点走过的路径长为；当秒时，点与点重合．‎ ‎（2）如图9，由点的对应点落在上，点的对应点为点，可知，都等于绕点旋转的旋转角，记为．‎ 设（），则．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 解得．‎ ‎（3）的值为（秒）或（秒）．‎ ‎5.如图，在直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以线段边向上作正方形．‎ ‎（）点的坐标为__________，点的坐标为__________；‎ ‎（）若抛物线经过、两点，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线向上平移，直至正方形的顶点落在轴上时，正方形停止运动．在运动过程中，设正方形落在轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式．‎ 解析：（），；‎ ‎（）抛物线经过，，则，解得 ‎．‎ ‎∴．‎ ‎（）当点运动到轴上时，．‎ 当时，如图，‎ 设交轴于点．‎ ‎∵，‎ 又∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴；‎ 当点运动到点时，．‎ 当时，如图，‎ 设交轴于点，过作于．‎ 在中，，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，．‎ ‎∴；‎ 当点运动到轴上时，．‎ 当时，如图，‎ 设、分别交轴于点、，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 综上所述，与的函数关系式为：‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ ‎6.如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使点与点重合，直角边、在轴上．已知点，过、两点的直线交轴于点．若沿方向以每秒个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为（秒），记在平移过程中某时刻为，与交于点，与轴交于点，与交于点，与轴交于点（注：平移过程中，点始终在线段上，且不与点重合）．‎ ‎（1）求直线的函数解析式；‎ ‎（2）试探究在平移过程中，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以为边，在的下方作正方形，求正方形与坐标轴有两个公共点时的取值范围．‎ 解析：（1）由题意 由，‎ 可得直线解析式：‎ 由，‎ 可得直线解析式：，直线解析式：．‎ ‎（2）在平移秒时，由，‎ 可得，‎ 设直线解析式为：‎ 可得，‎ ‎，‎ 由，得，可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴当时，‎ ‎（3）当点在轴上时，有)横纵坐标相等，即 ‎∴，∴．‎ ‎7.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边在轴上，顶点的坐标为，为斜边上的高．抛物线：与直线及过点垂直于轴的直线交于点．点是轴上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点．设以、、、为顶点的四边形的面积为．‎ ‎（）直接写出点的坐标及的值；‎ ‎（）判断抛物线的顶点是否在直线上？并说明理由；‎ ‎（）当时，求与的函数关系式；‎ ‎（）如图，设直线交射线于，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，其中，直接写出矩形与等腰直角三角形重叠部分为轴对称图形时的取值范围．‎ 解析：（），．‎ ‎（）设直线的解析式为，．‎ ‎∵在直线上，‎ ‎∴．‎ 即直线的解析式为：．‎ ‎∵的顶点坐标为，‎ ‎∴抛物线的顶点在直线上．‎ ‎（）∵点在上，‎ 当时，，‎ ‎∵轴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（）取值范围：，，．‎ ‎8.在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，顶点位于第二象限，连结，，．‎ ‎（）求抛物线的解析式；‎ ‎（）点是轴正半轴上一点，且在点上方，若，请你猜想并证明与的位置关系；‎ ‎（）设与重合的从的位置出发，沿轴负方向平移个单位长度时，与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式．‎ 解析：（）‎ ‎∵抛物线与轴交于点，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 抛物线的顶点在第二象限，‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的解析式为．‎ ‎（）猜想：．‎ 证明如下：‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（）‎ 当时，如图，交于点，交于点，‎ 过作交轴于点，交的延长线点，‎ 的延长线交于点．‎ 由，得，‎ 即．解得．‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当时，如图，交于点，‎ 交于点，交于点．‎ 由，‎ 得．‎ 即．‎ 解得．‎ ‎∴‎ ‎．‎ 综上所述：．‎ ‎9.已知：如图，在面积为的正方形中，、分别是和边上的两点，于点，且．‎ ‎（1）求出和重叠部分（即）的面积；‎ ‎（2）现将绕点逆时针方向旋转到（如图），使点落在边上的点处，问在旋转前后与重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 解析：（1）∵正方形面积为，∴．‎ 在与中，‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ （2） 解：没有变化．‎ 理由如下：‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴与在同一直线上，即与的交点是．‎ 设与的交点为，‎ 则，‎ 而，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴在旋转前后与重叠部分的面积没有变化 ‎10.如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点为轴上的一个动点，当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标；‎ ‎（3）将沿轴向右平移个单位长度（）得到另一个三角形 ‎，将与重叠部分的面积记为，用含的代数式表示．‎ 解析：（1）由题意可知，抛物线与轴的另一个交点为，‎ 则,‎ 解得．‎ 故抛物线的解析式为.‎ ‎（2）①当时，；‎ ‎②当时，或．‎ 所以，点的坐标为，，‎ ‎（3）记平移后的三角形为．‎ 设直线BC的解析式为，则 解得 则直线的解析式为．‎ 沿轴向右平移个单位长度得到，‎ 易得直线的解析式为．‎ 设直线的解析式为，则 解得 则直线的解析式为．‎ 连结，直线交于，则．‎ 在沿轴向右平移的过程中．‎ ‎①当时，如图1所示．‎ 设交于点，交于点．‎ 则，，‎ 联立，‎ 解得，‎ 即点．图1‎ ‎②当时，如图2所示．‎ 设交于点，交于点N．‎ 则，，‎ 又因为直线BD的解析式为，‎ 所以当时，得，‎ 所以点．图2‎ 综上所述，‎