中考复习专题资料一次方程及其应用

中考复习专题资料一次方程及其应用

一、等式的基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.‎ 如果a=b,那么a ± c =b±c 性质2,等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数,结果仍相等.‎ 如果a=b,那么ac=bc;‎ 如果a=b(c≠0的数),那么 ‎ 补充性质：性质3，对称性：等式的左右两边交换位置，所得的结果仍是等式，即由a=b可以推得b=a.‎ 性质4，传递性：如果a=b,b=c,那么a=c.‎ 利用等式的性质解方程，实质就是将方程转化为x=a（a是常数）的形式。‎ 二、一元一次方程 （1） 方程是含有未知数的等式，方程一定是等式，但是等式不一定是方程。‎ （2） 只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.一般形式 ax+b=0 (a≠0, a、b为常数）‎ 注意：方程的两边都是整式，只含有一个未知数且未知数的指数是一次.‎ （3） 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.‎ 三、 一元一次方程方程的解法 ‎（1）形如ax=b（a、b都是已知数，a≠0）的方程，我们称为最简方程.它的解是x=b÷a.‎ 解一元一次方程就是将方程化为最简方程的过程。‎ ‎（2）解方程的一般步骤：‎ ‎①去括号；‎ ‎ ②移项；‎ ‎ ③合并同类项；‎ ‎ ④把未知数x的系数化成1，得到方程的解x= b÷a 四、二元一次方程和二元一次方程组 ‎（1）含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程叫二元一次方程。‎ ‎（2）含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。‎ ‎（3）二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。‎ 五、二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．‎ ‎1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 ‎(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；‎ ‎(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；‎ ‎(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；‎ ‎(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．‎ ‎2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 ‎(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；‎ ‎(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；‎ ‎(3)解这个一元一次方程；‎ ‎(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．‎ 六、列方程(组)解应用题的一般步骤 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．‎ 设：设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．‎ 列：根据题意寻找等量关系列方程(组)．‎ 解：解方程(组)．‎ 验：检验方程(组)的解是否符合题意．‎ 答：写出答案(包括单位)．‎ 七、常见的几种方程类型及等量关系 ‎1．行程问题中的基本量之间的关系 路程＝速度×时间；‎ 相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；‎ 追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；‎ 流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．‎ ‎2．工程问题中的基本量之间的关系 工作效率＝.‎ ‎(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．‎ ‎(2)通常把工作总量看作“1”．‎ ‎3.一元一次方程的应用之利润问题 销售的盈亏问题，涉及盈利、亏损、保本（既不盈利也不亏本）三个方面，一般商家在销售活动中，总是要追求利益的，即要获得利润。‎ （1） 利润是指商品售价与商品成本（进价）的差。 即利润=售价-进价 （2） 利润率是指利润与进价的比，即 考点一：等式的性质及一元一次方程的解法 例1若代数式4x-5与的值相等，则x的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ 思路分析：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．‎ 解：根据题意得：4x-5=，‎ 去分母得：8x-10=2x-1，‎ 解得：x=，‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．‎ 跟踪训练 ‎1．方程2x-1=3x+2的解为（　　）‎ A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3‎ 考点二：二元一次方程组的解法 例2.解方程组：‎ 思路分析：方程组利用加减消元法求出解即可．‎ 解：‎ ‎①+②得：3x=3，即x=1，‎ 把x=1代入①得：y=2，‎ 则方程组的解为．‎ 点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ 跟踪训练 ‎1.解方程组：．‎ ‎2．解方程组．‎ 考点三：已知方程组的解，求待定系数。‎ 例3.(1)已知是方程组的解，则m2－n2的值为_________．‎ ‎ （2）若满足方程组的x、y的值相等，则k＝_______． ‎ 跟踪训练 若方程组的解互为相反数，则k 的值为 。‎ 若方程组与有相同的解，则a= ，b= 。 ‎ 考点四：一（二）元一次方程的应用 例4.某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？‎ 思路分析：设每件衬衫降价x元，根据销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，列出方程求解即可．‎ 解：设每件衬衫降价x元，依题意有 ‎120×400+（120-x）×100=80×500×（1+45%），‎ 解得x=20．‎ 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．‎ 点评：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程求解．‎ 例5.为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 思路分析：根据题意设5人一组的有x个，6人一组的有y个，利用把班级里40名学生分成若干小组，进而得出等式求出即可．‎ 解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：‎ ‎5x+6y=40，‎ 当x=1，则y=（不合题意）；‎ 当x=2，则y=5；‎ 当x=3，则y=（不合题意）；‎ 当x=4，则y=（不合题意）；‎ 当x=5，则y=（不合题意）；‎ 当x=6，则y=（不合题意）；‎ 当x=7，则y=（不合题意）；‎ 当x=8，则y=0；‎ 故有2种分组方案．‎ 故选：C．‎ 点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意分情况讨论得出是解题关键．‎ 对应训练 ‎5．如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了6分钟，那么还需要多长时间才能到达B点？‎ ‎6．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（　　）‎ A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 考点五：二元一次方程（组）的应用 例6.某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？‎ 思路分析：设该队胜x场，负y场，就有x+y=16，2x+y=25两个方程，由两个方程建立方程组求出其解就可以了．‎ 解：设该队胜x场，负y场，则，‎ 解得 ．‎ 答：这个队胜9场，负7场．‎ 点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，在解答时找到反映整个题意的等量关系建立方程时关键．‎ 对应的习题 一、选择题 ‎1．一元一次方程4x+1=0的解是（　　）‎ A． B． C．4 D．-4‎ ‎2．方程3x+2（1-x）=4的解是（　　）‎ A．x= B．x= C．x=2 D．x=1‎ ‎3．某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（　　）‎ A．54-x=20%×108 B．54-x=20%（108+x）‎ C．54+x=20%×162 D．108-x=20%（54+x）‎ ‎4．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）‎ A．-4 B．4 C．-2 D．2‎ ‎5．若，则（　　）‎ A．-1 B．1 C．52019 D．-52019‎ ‎6．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎8．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（　　）‎ A．25台 B．50台 C．75台 D．100台 二、填空题 ‎9．已知x=2是关于x的方程的解，则a的值是 ．‎ ‎10．方程组的解是 ．‎ ‎11．已知a，b满足方程组，则2a+b的值为 ．‎ ‎12．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．‎ ‎13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．‎ ‎《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”‎ 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”‎ 设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．‎ ‎14．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买 了 千克．‎ ‎15．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有 幅．‎ 三、解答题 ‎16．解方程：5x=3（x-4）‎ ‎17．解二元一次方程组：‎ ‎18．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？‎ ‎19．根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．‎ ‎20．某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元；打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，这比打折前少花多少钱？‎ ‎21．某景点的门票价格如表：‎ 某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．‎ ‎（1）两个班各有多少名学生？‎ ‎（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？‎ ‎22．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：‎ 解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③‎ 把方程①带入③得：2×3+y=5，‎ ‎∴y=-1 ‎ 把y=-1代入①得x=4，‎ ‎∴方程组的解为．‎ 请你解决以下问题：‎ ‎（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；‎ ‎（2）已知x，y满足方程组．‎ ‎（i）求x2+4y2的值；‎ ‎（ii）求的值．‎ 一、选择题 ‎1．B ‎2．C ‎3．B ‎4．B ‎5．A ‎6．D ‎8．C 二、填空题 ‎9．‎ ‎10．‎ ‎11．‎ ‎12．-1‎ ‎13．‎ ‎14．5‎ ‎15．69‎ 三、解答题 ‎16．解：方程去括号得：5x=3x-12，‎ 移项合并得：2x=-12，‎ 解得：x=-6．‎ ‎17．解：‎ ‎①×2+②得：7x=14，即x=2，‎ 把x=2代入①得：y=-3，‎ 则方程组的解为．‎ ‎18．解：设胜了x场，那么负了（8-x）场，根据题意得：‎ ‎2x+1•（8-x）=13，‎ x=5，‎ ‎8-5=3．‎ 答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．‎ ‎19．解：设梅花鹿的高度是xm，长颈鹿的高度是ym， 根据题意得：，‎ 解得：，‎ 答：梅花鹿的高度是1.5m，长颈鹿的高度是5.5m．‎ ‎20．解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元， 根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则打折前需要50×8+40×2=480（元），‎ 打折后比打折前少花480-364=116（元）．‎ 答：打折后比打折前少花116元．‎ ‎21．解：（1）设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，由题意，得 解得：．‎ 答：七年级（1）班有49人、七年级（2）班有53人；‎ ‎（2）七年级（1）班节省的费用为：（12-8）×49=196元，‎ 七年级（2）班节省的费用为：（10-8）×53=106元．‎ ‎22．解：（1）把方程②变形：3（3x-2y）+2y=19③，‎ 把①代入③得：15+2y=19，即y=2，‎ 把y=2代入①得：x=3，‎ 则方程组的解为；‎ ‎（2）（i）由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即③，‎ 把③代入②得：，‎ 解得：xy=2，‎ 则x2+4y2=17；‎ ‎（ii）∵x2+4y2=17，‎ ‎∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=17+8=25，‎ ‎∴x+2y=5或x+2y=-5，‎ 则