2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷)

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)‎ 数学(理工农医类) ‎ 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分。‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 ‎ ‎3.在锐角中,角所对的边长分别为.若 A. B. C. D. ‎ ‎4.若变量满足约束条件,‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.函数的图像与函数的图像的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 ‎ ‎6. 已知是单位向量,.若向量满足 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 A. B. C. D. ‎ ‎8.在等腰三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图).若光线经过的中心,则等 9‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.‎ ‎(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)‎ ‎9.在平面直角坐标系中,若 右顶点,则常数 .‎ ‎10.已知 12 .‎ ‎11.如图2,在半径为的中,弦相交于点,,则圆心到弦的距离为 .‎ 必做题(12-16题)‎ ‎12.若 .‎ ‎13.执行如图3所示的程序框图,如果输入 9 .‎ ‎14.设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且 9‎ 的最小内角为,则C的离心率为___。‎ ‎15.设为数列的前n项和,则 ‎(1)_____;(2)___________。‎ ‎16.设函数 ‎(1)记集合,则所对应的的零点的取值集合为____。‎ ‎(2)若 .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③若 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)已知函数。‎ ‎(I)若是第一象限角,且。求的值;‎ ‎(II)求使成立的x的取值集合。‎ ‎18.(本小题满分12分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。‎ ‎(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;‎ ‎(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。‎ 9‎ ‎19.(本小题满分12分)如图5,在直棱柱,,。‎ ‎(I)证明:; (II)求直线所成角的正弦值。‎ ‎20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心。‎ ‎(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);‎ ‎(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。‎ ‎21.(本小题满分13分)‎ 过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D。以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为。‎ ‎(I)若,证明;;‎ 9‎ ‎(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程。‎ ‎22.(本小题满分13分)已知,函数。‎ ‎(I)记求的表达式;‎ ‎(II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由。‎ 9‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.B ‎ ‎2.D ‎ ‎3.D ‎ ‎4.C ‎ ‎5.B ‎ ‎6.A ‎ ‎7.C ‎ ‎8.D ‎ ‎9.3 ‎ ‎10.12 ‎ ‎11. ‎ ‎12.3 ‎ ‎13.9 ‎ ‎14. ‎ ‎15.; ‎ ‎16.(1) (2)①②③ ‎ ‎17.解: (I).‎ ‎(II)‎ ‎18.解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.‎ 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”。‎ 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率 ‎(Ⅱ)三角形共有15个格点。‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4)。‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,)‎ 9‎ ‎ ,(0,2),(0,3,)。‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1)。‎ 如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 概率P ‎. ‎ ‎19.解: (Ⅰ) ‎ ‎. (证毕)‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎。‎ ‎20.解: ‎ ‎(Ⅰ) ,‎ ‎,其中 ‎(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识。‎ 点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时,v = 20+1=21;,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时,h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.‎ 9‎ 所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.‎ ‎21.解: (Ⅰ) ‎ ‎.‎ 所以,成立. (证毕)‎ ‎(Ⅱ)‎ 则,‎ ‎.‎ ‎。‎ ‎22.解:‎ ‎(Ⅰ)‎ 9‎ ‎ ‎ ‎(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此,若在图像上存在两点满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且。‎ 不妨设 所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直 。 ‎ ‎ ‎ 9‎
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