北京中考数学新定义压轴题素材

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‎（2014年高考江苏卷 第10题）‎ 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的 取值范围是 ▲ .‎ ‎【思路探究】画出二次函数的分析简图：‎ 由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 ，开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为 ‎【解法探究】.‎ ‎【教学建议】‎ ‎（1）一元二次不等式作为江苏高考考试说明的C级要求，在教学中应突出和加强二次函数、二次方程的零点、一元二次不等式的研究性教学，由于三次函数求导后仍为二次函数问题，所以可考虑多渗透一些含参数问题的讨论，适时和适当加大二次问题的教学难度. ‎ ‎（2）多引导学生利用数形结合的方法研究函数问题. ‎ ‎（2014年高考江苏卷 第18题）‎ 如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:‎ ‎170 ‎m ‎60 ‎m 东 北 O A B M C 新桥BC与河岸AB垂直; 保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A 到该圆上任意一点的距离均不少于‎80m. 经测量，点A位于点O正北方向‎60m处, 点C位于点O正东方向‎170m处(OC为河岸),.‎ ‎（1）求新桥BC的长；‎ ‎（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？‎ ‎【解法探究】‎ ‎（1）解法1：（两角差的正切）连结，由题意知，则由两角差的正切公式可得：，故 答：新桥的长度为m.‎ 解法2：（解析法）由题意可知；由 可知直线的斜率，则直线所在直线的方程为；又由可知，所在的直线方程为；联立方程组，解得；‎ 即点，那么. 答：新桥的长度为m.‎ 解法3：（初中解法）延长交所在直线于点，‎ 由可得，，，，故 ‎，在中，由 勾股定理得，故 答：新桥的长度为m.‎ ‎（2）解法1：（解析法） 由题意设，圆的方程为，且由题意可知. 又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么，解得；由函数为区间上的减函数，故当时，半径取到最大值为.‎ 综上可知，当时，圆形保护区的面积最大，且最大值为.‎ 解法2：（初中解法）设与圆切于点，连接 ‎，过点作交于点.‎ 设，则，由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，那么，解得. 由，可得，由（1）解法3可得，所以，故即圆的半径的最大值为130，当且仅当时取得半径的最大值. 综上可知，当时，圆形保护区的面积最大. ‎ ‎【教学建议】‎ ‎（1）应用题从考试角度来说主要考查学生两个方面的能力：建立数学模型的能力（简称 ‎“建模”能力）、解决数学模型的能力（简称“解模”能力），从应试方法上如何突破呢？首先要系统研究所有可能出现的应用题并做到能对症下药，常考查的应用题类型有：函数应用题（以分式函数为载体的函数应用题、以分段函数为载体的函数应用题、以二次函数为载体的函数应用题）；三角测量应用题（以三角函数的定义为载体的三角应用题、以三角函数的图象为载体的三角应用题、以解三角形为载体的三角应用题、以立体几何为载体的三角应用题、以追击问题为载体的三角应用题、以米勒问题为载体的三角应用题）；数列应用题；线性规划应用题；解析几何应用题.（可参考何睦老师编写的《苏州市高考数学应用题复习题型归类解析讲义》）；其次是解模工具的积累，例如基本不等式、导数研究函数单调性等等.‎ ‎（2）本题的难点在于求出的取值范围，在教学中教师应注意多参数的参数范围问题 注意目标意识的应用，注意减元意识的渗透．提供两个典型问题供各位练习：‎ ‎（Ex.1）（湖北高考题改编）锐角中，，则的取值范围是___________.‎ ‎（Ex.2）（2014南通四模）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T等于横截面的面积与边的乘积，设AB=2x，BC=y．‎ ‎（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；‎ 图1‎ 图2‎ A B C D m ‎（2）求当x取何值时，凹槽的强度T最大．‎