数学理卷·2018届北京市丰台区高三上学期期末考试

数学理卷·2018届北京市丰台区高三上学期期末考试

丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ）‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ‎4．若满足则的最大值是（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的属于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎7．过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎8．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则中至少有8个元素；‎ ‎③若，则中元素的个数一定为偶数；‎ ‎④若，则.‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．已知单位向量的夹角为120°，则 ．‎ ‎10．若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 ．‎ ‎11．在的展开式中，项的系数是 （用数字作答）．‎ ‎12．等差数列的公差为2，且成等比数列，那么 ，数列 的前9项和 ．‎ ‎13．能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是 ．‎ ‎14．已知函数.‎ ‎①当时，函数有 个零点；‎ ‎②若函数有三个零点，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．在中，．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值.‎ ‎16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.‎ 根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；‎ ‎（Ⅲ ‎）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎17．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求得方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎20．在数列中，若是整数，且（，且）.‎ ‎（Ⅰ）若，，写出的值；‎ ‎（Ⅱ）若在数列的前2018项中，奇数的个数为，求得最大值；‎ ‎（Ⅲ）若数列中，是奇数，，证明：对任意，不是4的倍数.‎ 丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01‎ 高三数学（理科）答案及评分参考 一、选择题 ‎1-4:CABD 5-8:ADCC 二、填空题 ‎9． 10．1 11．-40‎ ‎12．2，90 13．中任取一值即为正确答案 14．1，‎ 三、解答题 ‎15．解：（Ⅰ）因为，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由，，，‎ 得.‎ 解得.‎ 由余弦定理可得，‎ 解得.‎ ‎16．解：（Ⅰ）依题意，所以.‎ 因为，‎ 所以，.‎ ‎（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”‎ 为事件，‎ 则.‎ 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为.‎ ‎（Ⅲ）可取0,10,20,30,40.‎ ‎；；‎ ‎；；‎ ‎.‎ 所以随机变量的分布列为：‎ 所以.‎ ‎17．解：（Ⅰ）证明：取中点，连接.‎ 因为分别是的中点，‎ 所以，且.‎ 因为是矩形，是中点，‎ 所以，.‎ 所以为平行四边形.‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为平面，‎ 所以，.‎ 因为四边形是矩形，所以.‎ 如图建立直角坐标系，‎ 所以，，，‎ 所以，.‎ 设平面的法向量为，‎ 因为，所以.‎ 令，所以，所以.‎ 又因为，‎ 设与平面所成角为，‎ 所以.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）因为侧棱底面，‎ 所以只要在上找到一点，使得，‎ 即可证明平面平面.‎ 设上存在一点，则，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以令，即，所以.‎ 所以在存在一点，使得平面平面，且.‎ ‎18．解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎.‎ 由，可得或，‎ 当时，在上恒成立，‎ 所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；‎ 当时，的变化情况如下表：‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ 当时，的变化情况如下表：‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.‎ 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，‎ 所以恒成立等价于，即，‎ 所以，所以.‎ 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，‎ 所以恒成立等价于，即.‎ 所以，所以.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎19．解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，‎ 所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.‎ 设的方程为，‎ 则，即.‎ 所以的轨迹方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 所以直线的斜率为.‎ 设与平行，且与抛物线相切的直线为，‎ 由得，‎ 由得，‎ 所以，所以点.‎ 当，即时，直线的方程为，‎ 整理得，‎ 所以直线过点.‎ 当，即时，直线的方程为，过点，‎ 综上所述，直线过定点.‎ ‎20．解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，，.‎ ‎（Ⅱ）（i）当都是偶数时，是偶数，代入得到是偶数；‎ 因为是偶数，代入得到是偶数；‎ 如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…‎ 所以前2018项中共有0个奇数.‎ ‎（ii）当都是奇数时，是奇数，代入得到是偶数；‎ 因为是偶数，代入得到是奇数；‎ 因为是偶数，代入得到是奇数；‎ 如此下去，可得到数列中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…‎ 所以前2018项中共有1346个奇数.‎ ‎（iii）当是奇数，是偶数时，‎ 理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…‎ 所以前2018项中共有1345个奇数.‎ ‎（iv）当是偶数，是奇数时，‎ 理由同（ii），可得数列中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…‎ 所以前2018项中共有1345个奇数.‎ 综上所述，前2018项中奇数的个数的最大值是1346.‎ ‎（Ⅲ）证明：因为是奇数，‎ 所以由（Ⅱ）知，不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况.‎ 因为是奇数，且，所以也是奇数.‎ 所以为偶数，且不是4的倍数.‎ 因为，‎ 所以前4项没有4的倍数，‎ 假设存在最小正整数，使得是4的倍数，‎ 则均为奇数，所以一定是偶数，‎ 由于，且，‎ 将这两个式子作和，可得.‎ 因为是4的倍数，所以也是4的倍数，‎ 与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.‎ 所以假设不成立，即对任意，不是4的倍数.‎