高考数学总复习课时规范练24平面向量基本定理及向量的坐标表示文新人教A版

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课时规范练 24 平面向量基本定理及向量的坐标表示 基础巩固组 1.向量 a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 2.(2017 广东揭阳一模,文 2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量 =(-7,-4),则向量 =( ) A.(10,7) B.(10,5) C.(-4,-3) D.(-4,-1) 3.已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c 都可以唯一地表 示成 c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 4.已知平面向量 a=(1,-2),b=(2,m),且 a∥b,则 3a+2b=( ) A.(7,2) B.(7,-14) C.(7,-4) D.(7,-8) 5.已知向量 在正方形网格中的位置如图所示,若 =λ +μ ,则λμ=( ) A.-3 B.3 C.-4 D.4 6.在△ABC 中,点 P 在边 BC 上,且 =2 ,点 Q 是 AC 的中点,若 =(4,3), =(1,5),则 等于 ( ) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21) 7.设 A1,A2,A3,A4 是平面上给定的 4 个不同点,则使 =0 成立的点 M 的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 〚导学号 24190905〛 8.(2017 福建龙岩一模,文 13)已知平面内有三点 A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且 ,则 x 的值 为 . 9.已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|= . 10.若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,b=(2,-1),则 a= . 11. 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 =c, =d,则 = , = .(用 c,d 表示) 12.(2017 湖南模拟)给定两个长度为 1 的平面向量 ,它们的夹角为 .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的 上运动.若 =x +y ,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值为 . 综合提升组 13.(2017 河北武邑中学一模)在 Rt△ABC 中,∠A=90°,点 D 是边 BC 上的动点,且 | |=3,| |=4, =λ +μ (λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,| |的值为( ) A. B.3 C. D. 14.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 =3 ,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合),若 =x +(1-x) ,则 x 的取值范围是( ) A. B. C. D. 15.设 O 在△ABC 的内部,且有 +2 +3 =0,则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( ) A.3 B. C.2 D. 16.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已 知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量 a 在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为 . 〚导学号 24190906〛 创新应用组 17.(2017 辽宁大连模拟)在△ABC 中,P 是 BC 边的中点,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c +a +b =0,则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形,但不是等边三角形 18.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 =λ +μ ,则 λ+μ的最大值为( ) A.3 B.2 C. D.2 〚导学号 24190907〛 答案： 1.B 由题意知,A 选项中 e1=0;C,D 选项中的两个向量均共线,都不符合基底条件,故选 B. 2.C 由点 A(0,1),B(3,2),得 =(3,1). 又由 =(-7,-4),得 =(-4,-3).故选 C. 3.D 由题意,得向量 a,b 不共线,则 2m≠3m-2,解得 m≠2.故选 D. 4.B 因为 a∥b,所以 m+4=0, 所以 m=-4.所以 b=(2,-4). 所以 3a+2b=(7,-14). 5.A 设小正方形的边长为 1,建立如图所示的平面直角坐标系,则 =(2,-2), =(1,2), =(1,0). 由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即 解得 所以λμ=-3.故选 A. 6.B 如图, =3 =3(2 )=6 -3 =(6,30)-(12,9)=(-6,21). 7.B 设 M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4), 则 =(xi-x,yi-y). 由 =0, 得 即 故点 M 只有 1 个. 8.1 由题意,得 =(3,6), =(x,2). ∵ , ∴6x-6=0,解得 x=1. 9. |b|= . 由λa+b=0,得 b=-λa, 故|b|=|-λa|=|λ||a|, 所以|λ|= . 10.(-1,1)或(-3,1) 由|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,得 a+b=(1,0)或 a+b=(-1,0),故 a=(1,0)-(2,- 1)=(-1,1)或 a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1). 11. (2d-c) (2c-d) 设 =a, =b. 因为 M,N 分别为 DC,BC 的中点, 所以 b, a. 又 所以 即 (2d-c), (2c-d). 12.2 以 O 为坐标原点, 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则 A(1,0),B . 设∠AOC=α , 则 C(cos α,sin α). 由 =x +y , 得 所以 所以 x+y=cos α+ sin α =2sin . 又α∈ , 所以当α= 时,x+y 取得最大值 2. 13.C 因为 =λ +μ ,而 D,B,C 三点共线,所以λ+μ=1, 所以λμ≤ , 当且仅当λ=μ= 时取等号,此时 , 所以 D 是线段 BC 的中点, 所以| |= |= .故选 C. 14.D 依题意,设 =λ ,其中 1<λ< ,则 +λ +λ( ) =(1-λ) +λ . 又 =x +(1-x) ,且 不共线, 所以 x=1-λ∈ , 即 x 的取值范围是 .故选 D. 15.A 设 AC,BC 的中点分别为 M,N,则 +2 +3 =0 可化为( )+2( )=0,即 +2 =0,所以 =-2 . 所以 M,O,N 三点共线,即 O 为中位线 MN 的三等分点, 所以 S△AOC= S△ANC= S△ABC= S△ABC,所以 =3. 16.(0,2) ∵向量 a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2), ∴a=-2p+2q=(2,4). 令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y), 所以 解得 故向量 a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). 17.A 如图,由 c +a +b =0,得 c( )+a -b =(a-c) +(c-b) =0.∵ 为不共 线向量,∴a-c=c-b=0, ∴a=b=c. 18.A 建立如图所示的平面直角坐标系, 则 A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设 P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得 r= , 即圆的方程是(x-2)2+y2= . 易知 =(x,y-1), =(0,-1), =(2,0). 由 =λ +μ , 得 所以μ= ,λ=1-y, 所以λ+μ= x-y+1. 设 z= x-y+1, 即 x-y+1-z=0. 因为点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2= 上, 所以圆心 C 到直线 x-y+1-z=0 的距离 d≤r, 即 ,解得 1≤z≤3, 所以 z 的最大值是 3,即λ+μ的最大值是 3,故选 A.