高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（山东卷
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修 II）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页，满分
150 分，考试用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（共 60 分）
注意事项：
1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其
他答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要
求的选项.
（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合 A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合 A⊙B
的所有元素之和为
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
（2）函数 y=1+ax(0
2 的解集为
(A)（1，2） （3，+∞） (B)（ 10 ，+∞）
(C)（1，2） （ 10 ，+∞） (D)（1，2）
（4）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=
3
,a= 3 ,b=1，则 c=
(A) 1 （B）2 （C） 3 —1 （D） 3
（5）设向量 a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d 的有向线段首尾相连能构成四边
形，则向量 d 为
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
(6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为
(A) 2 (B)
2
2 (C)
2
1 (D)
4
2
（8）设 p：x 2 －x－20>0,q：
2
1 2
x
x <0,则 p 是 q 的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知集合 A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐
标，则确定的不同点的个数为
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
（10）已知
n
x
x
12 的展开式中第三项与第五项的系数之比为－
14
3 ,其中 i 4 =－1，则展开式中常数项是
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
（11）某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件
.112
,932
,22115
x
yx
yx
则 z=10x+10y 的最大值
是
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
（12）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、
EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 P－DCE 三棱锥的外接球的体积为
(A)
27
34 (B)
2
6 (C)
8
6 (D)
24
6
（12 题图）
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修 II）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得分 评卷人
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上.
（13）若
a
nannn
则常数,1
)(
1lim .
（14）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22 的最小值
是 .
（15）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的 中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所
成角的正弦值为 .
（15 题图）
（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数 y= 1x 的图象按向量 y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y= x
②圆 x2+y2+4x-2y+1=0 与直线 y= x2
1 相交，所得弦长为 2
③若 sin( + )=
2
1 ,则 sin( + )=
3
1 ,则 tan cot =5
④如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1，P 为底面 ABCD 内一动点，P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的
距离相等，则 P 点的轨迹是抛物线的一部分.
（16 题图）
得分 评卷人
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）已知 f(x)=Asin( x )(A>0, >0,0< <
2
函数，且 y=f(x)的最大值为 2，其图象相邻两对称轴的距离
为 2，并过点（1，2）.
（1）求 ;
（2）计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008).
得分 评卷人
（18）（本小题满分 12 分）
设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中 a -1，求 f(x)的单调区间。
得分 评卷人
（19）（本小题满分 12 分）
如图 ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥 V-A1B1C1 的底面 ABC，等边∆ AB1C 所在的平面与底面 ABC 垂直，
且 ABC=90°，设 AC=2a,BC=a.
（1）求证直线 B1C1 是异面直线与 A1C1 的公垂线；
（2）求点 A 到平面 VBC 的距离；
（3）求二面角 A-VB-C 的大小.
（19 题图）
得分 评卷人
(20) （本小题满分 12 分）
袋中装着标有数学 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，
每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：
（1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量 的概率分布和数学期望；
(3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率.
得分 评卷人
（21）（本小题满分 12 分）
双曲线 C 与椭圆 148
22
yx 有相同的热点，直线 y= x3 为 C 的一条渐近线.
（1） 求双曲线 C 的方程；
（2） 过点 P(0,4)的直线 l，求双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合）.当 PQ
= 1 QBQA 2 ，且
3
8
21 时，求 Q 点的坐标.
得分 评卷人
（22）（本小题满分 14 分）
已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求 Tn 及数列｛an｝的通项；
（3） 记 bn=
2
11
nn aa
，求｛bn｝数列的前项和 Sn，并证明 Sn+
13
2
nT =1.
参考答案
（1）—（12）DACBD BBAAD CC
(13) 2 (14) 32 (15) 4
5 (16)○3 ○4
（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合 A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合 A⊙B
的所有元素之和为（ D ）
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
解：当 x＝0 时，z＝0，当 x＝1，y＝2 时，z＝6，当 x＝1，y＝3 时，z＝12，故所有元素之和为 18，选 D
（2）函数 y=1+ax(02 的解集为（ C ）
(A)（1，2） （3，+∞） (B)（ 10 ，+∞）
(C)（1，2） （ 10 ，+∞） (D)（1，2）
解：令 12 xe 2（x2），解得 1x2。令 2
3log ( 1)x 2（x2）解得 x（ 10 ，+∞）
选 C
（4）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=
3
,a= 3 ,b=1，则 c=（ B ）
(B) 1 （B）2 （C） 3 —1 （D） 3
解：由正弦定理可得 sinB＝ 1
2
，又 ab，所以 AB，故 B＝30，所以 C＝90，故 c＝2，选 B
（5）设向量 a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d 的有向线段首尾相连能构成四
边形，则向量 d 为（ D ）
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
解：设 d＝（x，y），因为 4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有 4a
＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得 x＝－2，y＝－6，选 D
(6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ B ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）＝0，又 f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数
f（x）的周期为 4，所以 f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选 C
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为
（ B ）
(A) 2 (B)
2
2 (C)
2
1 (D)
4
2
解：不妨设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
（ab0），则有
2 22 2 1b a ca c
且 ，据此求出 e＝
2
2 ，选 B
（8）设 p：x 2 －x－20>0,q：
2
1 2
x
x <0,则 p 是 q 的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解：p：x 2 －x－20>0x5 或 x－4，q：
2
1 2
x
x <0x－2 或－1x1 或 x2，借助图形知选 A
（9）已知集合 A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐
标，则确定的不同点的个数为（ A ）
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为 1 1 3
2 3 3C C A ＝36，但集合 B、C 中有相同元素 1，由 5，1，1 三个数
确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为 36－3＝33 个，选 A
（10）已知 2
nix
x
的展开式中第三项与第五项的系数之比为－
14
3 ,其中 2i =－1，则展开式中常数项是
（ A ）
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
解：第三项的系数为－ 2
nC ，第五项的系数为 4
nC ，由第三项与第五项的系数之比为－
14
3 可得 n＝10，
则 2 10
1 10 ( ) ( )r r r
r
iT C x
x
＝
40 5
2
10( )
r
r ri C x
，令 40－5r＝0，解得 r＝8，故所求的常数项为 8 8
10( )i C ＝45，
选 A
（11）某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件
.112
,932
,22115
x
yx
yx
则 z=10x+10y 的最大值
是（C ）
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解：画出可行域：
易得 A（5.5，4.5）且当直线 z＝10x＋10y 过 A 点时，
z 取得最大值，此时 z＝90，选 C
（12）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、
EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 P－DCE 三棱锥的外接球的体积为（ C ）
(A)
27
34 (B)
2
6 (C)
8
6 (D)
24
6
（12 题图）
解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为 1，故外接球半径为 6
4
，外接球的体积为 34 6 6( )3 4 8
，
选 C
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修 II）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得分 评卷人
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上.
（13）若 1lim 1,
( )n
a
n n a n
则常数 2 .
解：
（14）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则 2 2
1 2y y 的最小值是
32 .
P
ED
C
O
1 1lim lim lim( 1 1)
( )
1 2 1 2
n n n
n a n a
a nn n a n a n
aa
解：显然 1 2,x x 0，又 2 2
1 2y y ＝4（ 1 2x x ）8 1 2x x ，当且仅当 1 2 4x x 时取等号，所以所求的值为 32。
（15）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的 中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所
成角的正弦值为 .
（15 题图）
解：易证 B1平面 AC1，过 A 点作 AGCD，则
AG平面 B1DC，于是ADG 即ADC 为直线 AD 与平面 B1DC 所成角，由平面几何知识可求得它的正弦值
为 4
5
。
（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数 y= 1x 的图象按向量 y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y= x
②圆 x2+y2+4x-2y+1=0 与直线 y= x2
1 相交，所得弦长为 2
③若 sin( + )=
2
1 ，sin( － )=
3
1 ,则 tan cot =5
④如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1，P 为底面 ABCD 内一动点，P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的
距离相等，则 P 点的轨迹是抛物线的一部分.
解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为 y＝|x－2|
②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线 y= x2
1 的距离为
4 5
5
半径 2，故圆与直线相离，
③正确，sin( + )=
2
1 ＝sin cos ＋cos sin
sin( － )＝sin cos －cos sin ＝
3
1
两式相加，得 2 sin cos ＝ 5
6
，
两式相减，得 2 cos sin ＝ 1
6
，故将上两式相除，即得 tan cot =5
④正确，点 P 到平面 AD1 的距离就是点 P 到直线 AD 的距离，
点 P 到直线 CC1 就是点 P 到点 C 的距离，由抛物线的定义
可知点 P 的轨迹是抛物线。
（16 题图）
A1 B1
C1
D
A
C
B
G
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) sin ( )( 0, 0,0 )2f x A x A ，且 ( )y f x 的最大值为 2，其图象相邻两对称
轴间的距离为 2，并过点（1,2）.
（I）求
（II）计算 (1) (2) (2008)f f f .
解：（I） 2sin ( ) cos(2 2 ).2 2
A Ay A x x
( )y f x 的最大值为 2， 0A .
2, 2.2 2
A A A
又其图象相邻两对称轴间的距离为 2， 0 ，
1 2( ) 2, .2 2 4
2 2( ) cos( 2 ) 1 cos( 2 )2 2 2 2f x x x .
( )y f x 过 (1,2) 点，
cos( 2 ) 1.2
2 2 , ,2 k k Z
2 2 , ,2k k Z
, ,4k k Z
又 0 ,2
4
.
（II）解法一：
4
，
1 cos( ) 1 sin .2 2 2y x x
(1) (2) (3) (4) 2 1 0 1 4f f f f .
又 ( )y f x 的周期为 4， 2008 4 502 ，
(1) (2) (2008) 4 502 2008.f f f
A
B
C
A1
V
B1
C1
解法二： 2( ) 2sin ( )4f x x
2 2 3(1) (3) 2sin ( ) 2sin ( ) 2,4 4f f
2 2(2) (4) 2sin ( ) 2sin ( ) 2,2f f
(1) (2) (3) (4) 4.f f f f
又 ( )y f x 的周期为 4， 2008 4 502 ，
(1) (2) (2008) 4 502 2008.f f f
18．（本小题满分 12 分）设函数 ( ) ( 1)ln( 1)f x ax a x ，其中 1a ，求 ( )f x 的单调区间.
解：由已知得函数 ( )f x 的定义域为 ( 1, ) ，且 ' 1( ) ( 1),1
axf x ax
（1）当 1 0a 时， ' ( ) 0,f x 函数 ( )f x 在 ( 1, ) 上单调递减，
（2）当 0a 时，由 ' ( ) 0,f x 解得 1 .x a
' ( )f x 、 ( )f x 随 x 的变化情况如下表
x 1( 1, )a
1
a
1( , )a
' ( )f x — 0 +
( )f x 极小值
从上表可知
当 1( 1, )x a
时， ' ( ) 0,f x 函数 ( )f x 在 1( 1, )a
上单调递减.
当 1( , )x a
时， ' ( ) 0,f x 函数 ( )f x 在 1( , )a
上单调递增.
综上所述：
当 1 0a 时，函数 ( )f x 在 ( 1, ) 上单调递减.
当 0a 时，函数 ( )f x 在 1( 1, )a
上单调递减，函数 ( )f x 在 1( , )a
上单调递增.
19．（本小题满分 12 分）
如图，已知平面 1 1 1A B C 平行于三棱锥V ABC 的底面 ABC， 等 边
△ 1AB C 所在的平面与底面 ABC 垂直，且∠ACB=90°，设
2 ,AC a BC a
（1）求证直线 1 1B C 是异面直线 1AB 与 1 1A C 的公垂线；
（2）求点 A 到平面 VBC 的距离；
（3）求二面角 A VB C 的大小。
解法 1：
（Ⅰ）证明：∵平面 1 1 1A B C ∥平面 ABC ，
1 1 1 1// , //B C BC AC AC
BC AC
1 1 1 1B C AC
又∵平面 1AB C ⊥平面 ABC ，平面 1AB C ∩平面 ABC AC ，
∴ BC ⊥平面 1AB C ，
1BC AB
1 1 1B C AB ，
又 1 1 1 1 1AC B C C ， 1 1 1 1B C AB B .
1 1B C 为 1AB 与 1 1AC 的公垂线.
（Ⅱ）解法 1：过 A 作 1AD B C 于 D，
∵△ 1AB C 为正三角形，
∴D 为 1B C 的中点.
∵BC⊥平面 1AB C
∴ BC AD ，
又 1B C BC C ，
∴AD⊥平面VBC ，
∴线段 AD 的长即为点 A 到平面VBC 的距离.
在正△ 1AB C 中， 3 3 2 32 2AD AC a a .
∴点 A 到平面VBC 的距离为 3a .
解法 2：取 AC 中点 O 连结 1B O ，则 1B O ⊥平面 ABC ，且 1B O = 3a .
由（Ⅰ）知 1BC B C ，设 A 到平面VBC 的距离为 x，
1 1B ABC A BB CV V ，
即 1 1
1 1 1 1
3 2 3 2BC AC B O BC B C x ，解得 3x a .
即 A 到平面VBC 的距离为 3a .
则 1 1|| | cos , |d AB AB n 1
1
1
|| | cos |
| | | |
AB nAB
AB n
2 3 3 .2
a a
所以， A 到平面VBC 的距离为 3a .
(III)过 D 点作 DH VB 于 H ，连 AH ，由三重线定理知 AH VB
AHD 是二面角 A VB C 的平面角。
在 Rt AHD 中， 1
1 1
1
3 .B DDHAD a B DH B BC BC B B
1
1
5 .5
B D BCDH aB B
tan 15ADAHD DH
。
arctan 15AHD 。
所以，二面角 A VB C 的大小为 arctan 15 .
解法二：
取 AC 中点O 连 1B O ,易知 1OB 底面 ABC ，过 O 作直线 //OE BC 交 AB E于 。
取O 为空间直角坐标系的原点， 1, ,OE OC OB 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系。则 1(0, ,0), ( , ,0), (0, ,0), (0,0, 3 )A a B a a C a B a 。
（I） ( ,0,0)BC a
， 1 (0, , 3 )AB a a ，
1 ( ,0,0) (0, , 3 ) 0BC AB a a a ，
1BC AB 。
1BC AB
又 1 1 1 1 1// ,B C BC B C AB
由已知 1 1, //BC AC AC AC 。
1 1BC AC ，
而 1 1 1 1 1 1// ,BC B C B C AC 。
又 1 1 1,B C AB与 1 1AC 显然相交，
1 1B C 是 1 1 1AB AC与 的公垂线。
（II）设平面VBC 的一个法向量 ( , , )n x y z ，
又 1 (0, , 3 )CB a a
由
1
( , , ) ( ,0,0) 0
( , , ) (0, , 3 ) 0
x y z an BC
x y z a an CB
取 1z 得 (0, 3,1),n
点 A 到平面VBC 的距离，即 1AB
在平面VBC 的法向量 n 上的投影的绝对值。
1 (0, , 3 )AB a a
，设所求距离为 d 。
则 1 1cosd AB AB n
1
1
1
AB nAB
AB n
2 3 32 a
所以，A 到平面 VBC 的距离为 3a .
（III）设平面VAB 的一个法向量 1 1 1( , , ),m x y z
1m AB
1 0m AB
1 13 0ay az
由
m AB
0m AB
1 12 0ax ay
取 1 1z (2 3, 3,1),m
1cos , .| | | | 4
m nm n m n
二面角 A VB C 为锐角，
所以，二面角 A VB C 的大小为 1arccos .4
20．（本小题满分 12 分）
袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，
每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：
（1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于 20 分到 40 分之间的概率。
解：（I）解法一：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A ，
则
3 1 1 1
5 2 2 2
3
10
2( ) 3
C C C CP A C
解法二：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A”，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”
的事件记为 B ，则事件 A 和事件 B 是互斥事件，因为
1 2 1
5 2 8
3
10
1( ) 3
C C CP B C
所以 1 2( ) 1 ( ) 1 3 3P A P B .
（II）由题意 有可能的取值为：2，3，4，5.
2 1 1 2
2 2 2 2
3
10
1( 2) ;30
C C C CP C
2 1 1 2
4 2 4 2
3
10
2( 3) ;15
C C C CP C
2 1 1 2
6 2 6 2
3
10
3( 4) ;10
C C C CP C
2 1 1 2
8 2 8 2
3
10
8( 5) ;15
C C C CP C
所以随机变量 的概率分布为
2 3 4 5
P 1
30
2
15
3
10
8
15
因此 的数学期望为
1 2 3 8 132 3 4 530 15 10 15 3E
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为C ，则
2 3 13( ) (" 3" " 4") (" 3") (" 4") 15 10 30P C P P P 或
21．（本小题满分 12 分）
双曲线 C 与椭圆
2 2
18 4
x y 有相同的焦点，直线 3y x 为 C 的一条渐近线。
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过点 (0,4)P 的直线 l ，交双曲线 C 于 A、B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合），当
1 2PQ QA QB ，且 1 2
8
3
时，求Q 点的坐标。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
2 2
2 2 1x y
a b
由椭圆
2 2
18 4
x y
求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ，
对于双曲线 : 2C c ，又 3y x 为双曲线 C 的一条渐近线
3b
a
解得 2 21, 3a b ，
双曲线C 的方程为
2
2 13
yx
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零。
设l 的方程： 1 14, ( , )y kx A x y ， 2 2( , )B x y
则 4( ,0)Q k
1PQ QA
1 1 1
4 4( , 4) ( , )x yk k
1
11 1
1 1 1
1
4 4
4 4( )
44
x k kxk k
y y
1 1)( ,A x y 在双曲线 C 上，
21
2
1 1
116 16( ) 1 0k
2 2 2 2
1 1
1616 32 16 0.3 k k
2 2 2
1 1
16(16 ) 32 16 0.3k k
同理有： 2 2 2
2 2
16(16 ) 32 16 0.3k k
若 216 0,k 则直线l 过顶点，不合题意. 216 0,k
1 2, 是二次方程 2 2 216(16 ) 32 16 0.3k x x k 的两根.
1 2 2
32 8
16 3k
2 4k ，
此时 0, 2k .
所求Q 的坐标为 ( 2,0) .
解法二：
由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零
设l 的方程， 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y ，则 4( ,0)Q k
.
1PQ QA
，
Q 分 PA
的比为 1 .
由定比分点坐标公式得
1 1
1 1
1 1
1 1
1
11
4 4 (1 )1
4 40 1
x xk k
y y
下同解法一
解法三：
由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零
设l 的方程： 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y ，则 4( ,0)Q k
.
1 2PQ QA QB
，
1 1 1 2 2 2
4 4 4( , 4) ( , ) ( , )x y x yk k k
.
1 1 2 24 y y ，
1
1
4
y
， 2
2
4
y
，
又 1 2
8
3
，
1 2
1 1 2
3y y
即 1 2 1 23( ) 2y y y y
将 4y kx 代入
2
2 13
yx 得
2 2 2(3 ) 24 48 3 0k y y k
23 0k ，否则l 与渐近线平行。
2
1 2 1 22 2
24 48 3,3 3
ky y y yk k
。
2
2 2
24 48 33 23 3
k
k k
2k
( 2,0)Q
解法四：
由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设l 的方程： 4y kx ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
则 4( ,0)Q k
1PQ QA
,
1 1 1
4 4( , 4) ( , )x yk k
。
1
1
1
4
4
4 4
k
kxx k
同理 1
2
4
4kx
1 2
1 2
4 4 8
4 4 3kx kx
.
即 2
1 2 1 22 5 ( ) 8 0k x x k x x 。 （*）
又 2
2
4
13
y kx
yx
消去 y 得 2 2(3 ) 8 19 0k x kx .
当 23 0k 时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 23 0k 。
由韦达定理有：
1 2 2
1 2 2
8
3
19
3
kx x k
x x k
代入（*）式得 2 4, 2k k
所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) 。
22．（本小题满分 14 分）
已知 1 2a ，点 1( , )n na a 在函数 2( ) 2f x x x 的图象上，其中 1,2,3,n
（1）证明数列{lg(1 )}na 是等比数列；
（2）设 1 2(1 )(1 ) (1 )n nT a a a ，求 nT 及数列{ }na 的通项；
（3）记 1 1
2n
n n
b a a
，求数列{ }nb 的前 n 项 nS ，并证明 2 13 1n
n
S T
解：（Ⅰ）由已知 2
1 2n n na a a ，
2
1 1 ( 1)n na a
1 2a
1 1na ，两边取对数得
1lg(1 ) 2lg(1 )n na a ，
即 1lg(1 ) 2lg(1 )
n
n
a
a
{lg(1 )}na 是公比为 2 的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 1
1lg(1 ) 2 lg(1 )n
na a 11 22 lg3 lg3 nn
121 3 n
na
（*）
1 2(1 )(1 )nT a a n…(1+a )
0 1 22 2 23 3 3 n-12… 3
21 2 23 n-1…+2 =
n2 -13
由（*）式得 123 1n
na
（Ⅲ） 2
1 0 2n na a a
1 ( 2)n n na a a
1
1 1 1 1( )2 2n n na a a
1
1 1 2
2n n na a a
又 1 1
2n
n n
b a a
1
1 12( )n
n n
b a a
1 2nS b b n…+b
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 12( )
n na a a a a a
…+
1 1
1 12( )
na a
12 2
1 13 1, 2, 3 1n n
n na a a
2
21
3 1nnS
又 2 13 n
nT
2 13 1n
n
S T
.
