江苏省南通市海安县2021届高三上学期期中调研考试数学答案（扫描版）

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高三数学参考答案与评分建议第1页 2021 届高三期中学业质量监测 数学参考答案与评分建议 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 17.（本小题满分 10 分） 已知公比 q 大于 1 的等比数列 3〃 ｝满足丹+ % = 10， （1）求｛〃〃｝的通项公式; ，求数列｛8〃｝的前〃项和嵐. （2F）（2f ）这三个条件中选择一个' 补充在上面的 横线上，并完成解答. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：（1）因为％ + % = 10 , %=4,所以； + 4q = 10,即 202_5q + 2 = O. 因为 g>l,所以 g = 2,此时％=2.所以 an=2n. （2）若选①:bn =n-an = H• 2n . 则 g = lx2 + 2x2?+ 3x2’+..・ + 〃.2〃, 故= lx22 + 2x23 +... + （〃一 1）.2〃 +〃.2”+i.② ①一②得，-Sn = （2 + 22 + 23 + …+ 2〃）_〃.2"+i 2020.1 1 DBBC AACB 二、选择题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） AC ABC ABD BCD 三、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 3 14. 8.2 16.睁+縉 四、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分） 请在①n-an；②| 21og2an -9 | ；③ 高三数学参考答案与评分建议第 2 页 18 ・（本小题满分 12 分） 在△如 C 中,设角 A,B, C 所对的边长分别为 a,b,c,且(c-b)sinC = (a -b)(sin^4 + sinB). (1)求 （2）若 b = 2,且^ABC 为锐角三角形，求△砧 C 的面积 S 的取值范围. 解：(1)因 sin C = (a - 6) (sin J + sin B), 由正弦定理知，(C2)C = (G-Z?)(G + Z>),即 c2 -bc = a2 -b2. 则由余弦定理知，cos^4 = b +f -疽=二, 2bc 2 在△如 C 中，0<1V7l,所以 N =专. =（1 一〃）2'中一 2, 所以&=(〃- 1)2 心'+2. 10 分 若选②:bn =| 21og2 an-9 | = | 2n-9 | = 9-2M, 〃W4, 2«-9, nN 5. S 产〃 （7+了地= _/+8〃； § =0 +奶 +么 +4) + 05 + 4 + …+ 如) 4x(7 + l) (H-4)(1 +2M-9) -2- + =一 8〃 + 32 ・ 综上，S,= —+ 8〃 ，〃< 4, n2 -8/1 + 32, 5. 2"若选③:b =------------—=-------------------------- ?— n (2"+1)(2 心 1+1) 2”+l 2〃袒+1 -J_______ ) + (____________I 2 + 1 22+l / 22+l 则& = 23+1 + ・・• + 1 1 2”+l 2^+1 =------3 2*+l 10 分 高三数学参考答案与评分建议第 3 页 设平面 DCE 的法向量为〃 =3 , y, z）,则 9 「厂 2sin(弩- ....... (2)由正弦定理知，4 = 今，得。=荟坦 g = 一 12- . ……8 分 sin 8 smC sin 5 sinB 故 S = §bcsii" = gc = ....... =1+近. .......[0 分 2 tan B 2 sin B cosB + ^sinB sin 8 由左 ABC%锐角三角形，得 0<腿 3, 0〈弩-腿多 所^6<5<2 * 从而 tan B > g,所以#<0 +芸 1 +沁=1.y y 9 则 X 的概率分布为 3 分户（"】） =弩携蓦，心=2）=弩 X 0 1 2 P 2 5 2 1 9 9 9 高三数学参考答案与评分建议第6页 （2）设通过试验痊愈的人数为 H 则 r〜8（10, 1 记“通过试验却认定新药无效”为事件 X,事件 N 发生等价于{FV2}. 则 p=p(y<2) = p(y=o)+p(r = i)=c?o(l)[l)，c；o(l)，x(l)9 10 分 由题意，实际上新药是有效的；当痊愈人数低于 2 人时，认定新药无 效，此时 做出了错误的判断；因为 pa0.01v0.05,这个概率很小，故试验方案是合理的・ 12 分 21. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xQ 中，已知椭圆 C：矣+ W = l（“>5>0）的离心率为丰，且经过 a b2 点』（1，專）• （1） 求椭圆 C 的方程； （2） 设 F 为椭圆 C 的右焦点，直线，与椭圆。相切于点 F （点 P 在第一象限），过原点。 作直线/的平行线与直线所相交于点。，问：线段 PQ 的长是否为定值？若是，求 出 定值；若不是，说明理由. 1 , 1 1 万+梦 i 。2=屏+凌. 解得 Q =也，b = l,所以椭圆 C 的方程为苓+寸=1. （2）设直线/的方程为 y = ibc + /n , 因为直线/与椭圆以相切，所以△ =（4 饥）2_4（2 冰-2）（2 砂+1） = 0 化简得， m2 = 2k2 +1 . 1024 解:（1）记椭圆的半焦距为。，由题意知, 由， y = kx + mf 专+「=1， 得(2® +1)/ + 4kmx + 2m2 -2 = 0 . 高三数学参考答案与评分建议 第7页 设 P""则'/耕=一斧 5 当点 P 为(1,乎)时’。(1，一乎)，PQ=”； 时，直线 PF 方程为》=-次而 3 一 1) 于是 PQ=(^-^)2+(^ - yQ )2 = 综上，线段 PQ 的长为定值 VI. 22. (本小题满分 12 分) 己知函数/(x) = aex+1, g(x) = ln《一 1,其中。＞0. (1) 若 a = l,在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点。分别作函数 y = /(x)与 y = g(x) 的图象的 切线 I】，小 求"，厶的斜率之积； (2) 若/(x)Ng(x)在区间(0, +8)上恒成立,求。的最小值. 解：(1)设直线 4,A 的斜率分别为佑，与，切点分别为”也，/】)，5( x2 , lnx2-l). 则 r(x)=坤，g，(x) = * .由］:二得玉=1. ……2 分 k2x2 = In x2 -1, 同理，由义=丄 得 x2=e2. 、［一若 于是^2=/ViW2) = e2x4 = b 所以«，A 的斜率之积为 1. ……5 分 e =1m 由， y = ~2k^i y = kx9 '得 r +品所以 10 分 1+ -(2"弑 + 2k = 1 + 2 矽 + 2km | + I J 4 号 + 4/m + m2 + I 2k + m I yj 2k2 + Ahn + 2m2 • | 2k + m | m2 +2km m(m + k) 12 分 高三数学参考答案与评分建议第8页 ⑵由 _y（x）3g（x）在（0,+8）上恒成立，知 Vx>0, flcI+'-ln^ + 1^0. a 令「（x） = GW -血五 + 1, KC（0,+OO）,则 F'（x） = aer+, - — = — （xex+1 -丄）・ G x x a） 令 A（x） = xe）（+1-1）则”（*） = 0+1）并>0,所以机 x）为单调增函数. 又/i（0）= --^<0 , /?（丄卜丄 e；+‘ - 丄=丄（e；" -1 ）> 0 , 所以/7（0）.碓）<0 ,则存在唯一的实数 X。可 0,土），使心）=0,即矿（易）=0. 当 0x0 时，F'（XQ）>0, F（x）单调 递增，所以尸（x）在 x = x0 处取极小值即最小值• 则卩 3 扁=F（x（）） = ae"-ln 迪+ l = ae"-lnx（）+ lna + lN0 . •… 又 x（）e4+i=丄，故 ae%+i=丄，于是 lna + x0 +l = -lnx0 . a 玉） 所以_F（Xo） =丄一 21nXo-气 NO . ..... xo 令（p（x） = }-21nx-x ,则（p'（x） = -- 一*一 1 v0 ,故（p（x）为单调减函数. 又0,于是所以 a 的最小值为丄.……12 分 Q e e 10 分