2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

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文档介绍

2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

2.1  等式性质与不等式性质 第 2 课时 不等式的性质 必备知识 · 自主学习 导思 1. 等式有哪些性质? 2. 不等式基本性质有哪些? 1. 等式的性质 性质 1 如果 a=b ,那么 b=a 性质 2 如果 a=b , b=c ,那么 ____ 性质 3 如果 a=b ,那么 a±c=_____ 性质 4 如果 a=b ,那么 ac=bc 性质 5 如果 a=b , c≠0 ,那么 = a=c b±c 本质:性质 1 , 2 反映了相等关系自身的特性,性质 3 , 4 , 5 是从运算角度提出的,反映了等式在运算中保持的不变性 . 应用:处理等式运算过程中的依据 . 【 思考 】 想一想,以前我们用等式基本性质解决过哪些问题? 提示: 解方程过程中的去分母、移项、系数化为 1 的步骤都是利用了等式的性质 . 2. 不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质 1 对称性 a>b⇔bb , b>c⇒____ 同向 性质 3 可加性 a>b⇒a+c>b+c 可逆 性质 3 的推论 移项 法则 a+b>c⇒______ 可逆 a>c a>c-b 别名 性质内容 注意 性质 4 可乘性 a>b , c>0⇒ac>bc a>b , c<0⇒______ c 的符号 性质 5 同向 可加性 a>b , c>d⇒________ 同向 性质 6 同向同 正可乘性 a>b>0 , c>d>0⇒ ______ 同向 同正 性质 7 可乘方性 a>b>0⇒_____ (n∈N , n≥2) 同正 acb+d ac>bd a n >b n 本质:不等式的性质是由等式性质类比而得到的,是解决不等式问题的基本依据 . 应用:判断证明不等式是否成立,解不等式问题时的依据 . 【 思考 】 使用性质 6 , 7 时,要注意什么条件? 提示: 各个数均为正数 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1)a>b 且 c>d ,则 a-c>b-d. (    ) (2) 若 a+c>b+d ,则 a>b , c>d. (    ) (3) 若 a>b>c ,则 a-c>b-c. (    ) 提示: (1)×. 例如 5>3 且 4>1 时,则 5-4>3-1 是错的,故 (1) 错 . (2)×. 取 a=4 , c=5 , b=6 , d=2. 满足 a+c>b+d ,但不满足 a>b. (3)√. 2.( 教材二次开发:例题改编 ) 若 a>b>0 , c B. < C. > D. < 【 解析 】 选 D. 因为 c-d>0 , 所以 >0. 又 a>b>0 ,所以 , 所以 < . 3. 下列命题中一定正确的是 (    ) A. 若 ab , b≠0 ,则 >1 C. 若 a>b ,且 a+c>b+d ,则 c>d D. 若 a>b 且 ac>bd ,则 c>d 【 解析 】 选 A. 对于 A 项,因为 ,所以 - <0 ,即 <0 ,又 a0 ,所以 ab<0 ;对于 B 项,当 a>0 , b<0 时,有 <0<1 ,故 B 项错;对于 C 项,当 a=10 , b=3 时,虽有 10+1>3+2 ,但 1<2 ,故 C 项错;对于 D 项,当 a=-1 , b=-2 时,有 (-1)×(-1)>(-2)×7 ,但 -1<7 ,故 D 项错 . 关键能力 · 合作学习 类型一 利用不等式的性质判断命题真假 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1. 若 a>b>c ,则下列不等式成立的是 (    )                    A. > B. < C. > D. < 2. 设 a , b , c∈R ,且 a>b ,则 (    ) A.ac 2 >bc 2 B. C.a 4 >b 4 D.a 3 >b 3 3. 已知 a , b 为非零实数,且 ab>c ,所以 a-c>b-c>0. 所以 < . 2. 选 D.A 中, c=0 时,由 a>b 不能得到 ac 2 >bc 2 ,故不正确; B 中,当 a>0 , b<0( 如 a=1 , b=-2) 时,由 a>b 不能得到 < ,故不正确; C 中,当 a=-1 , b=-5 时, a>b ,而 a 4 0 时, a 2 b>0 , ab 2 <0 , a 2 b0 ,所以 ; 对于 D ,当 a=-1 , b=1 时, = =-1. 【 解题策略 】 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1) 要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质 . (2) 解有关不等式选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算 . 类型二 证明不等式 ( 逻辑推理 )  角度 1  利用不等式的性质证明不等式  【 典例 】 已知 c>a>b>0 ,求证: 【 思路导引 】 利用不等式的性质,先证明 ,再由 得到 . 【 证明 】 方法一:因为 a>b>0 ,所以 < , 因为 c>0 ,所以 < , 所以 -1< -1 ,即 < , 因为 c>a>b>0 ,所以 c-a>0 , c-b>0. 所以 > . 方法二:因为 c>a>b>0 , 所以 0 >0 , 又因为 a>b>0 ,所以 > . 【 变式探究 】 将本例中的条件“ c>a>b>0” 变为“ a>b>0 , c<0” ,试证明: > . 【 证明 】 因为 a>b>0 ,所以 ab>0 , >0. 于是 a× >b× ,即 > . 由 c<0 ,得 > . 角度 2  利用作差法证明不等式  【 典例 】 若 a<0 , b<0 , p= , q=a+b. 求证: p≤q. 【 思路导引 】 利用作差法证明 . 【 证明 】 p-q= -a-b 因为 a<0 , b<0 ,所以 a+b<0 , ab>0. 若 a=b ,则 p-q=0 ,故 p=q ; 若 a≠b ,则 p-q<0 ,故 pb>0 , c>d>0 ,证明: ac>bd. 【 证明 】 ⇒ac>bd. 2. 已知 a , b , c∈R ,求证: a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca. 【 证明 】 因为 2(a 2 +b 2 +c 2 )-2(ab+bc+ca) =a 2 +b 2 -2ab+b 2 +c 2 -2bc+a 2 +c 2 -2ac =(a-b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 ,又 a , b , c∈R , 所以 (a-b) 2 ≥0 , (b-c) 2 ≥0 , (a-c) 2 ≥0 , 所以 (a-b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 ≥0. 当且仅当 a=b=c 时,取“ =” ,所以 2(a 2 +b 2 +c 2 )≥2(ab+bc+ca) , 即 a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca. 【 补偿训练 】    已知 a+b>0 ,求证: ≥ + . 【 证明 】 - = =(a-b)· = . 因为 a+b>0 , (a-b) 2 ≥0 , 所以 ≥ 0. 所以 类型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 已知 -60 , b<0 ,那么 a , b , -a , -b 的大小是 (    ) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 【 解析 】 选 C. 令 a=5 , b=-2 满足 a+b>0 , 所以 a>-b>b>-a. 2. 若 a>b>c 且 a+b+c=0 ,则下列不等式中正确的是 (    ) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a 2 >b 2 >c 2 【 解析 】 选 A. 由 a>b>c 及 a+b+c=0 知 a>0 , c<0 , ⇒ ab>ac. 3.( 教材二次开发:习题改编 ) 已知 a , b , m 是正实数,则不等式 (    ) A. 当 a>b 时成立 B. 当 a0 , b>0 , m>0 ,所以 a+m>0. 所以 a-b<0 ,所以 a0” 是“ a 2 -b 2 >0” 的 (    )                 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. >0⇒ > ⇒a>b>0⇒a 2 >b 2 ,但由 a 2 -b 2 >0⇒/ >0. 不等式 的性质 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 利用不等式性质判断正误的方法: (1) 直接法 : 正确的说法利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明 ; 说法错误的只需举出一个反例即可。 (2) 特殊值法 : 取值的原则 : 一是满足题设条件 ; 二是取值要简单,便于验证计算 ; 三是所取的值要有代表性 . (1)不等式两边同乘或除以负数时,要变号 ; (2)同乘或除以代数式时,要注意代数式的正负分类讨论 逻辑推理: 通过等式性质,类比推理不等式性质, 培养 逻辑推理的核心素养 数学建模: 不等式的实际应用, 培养 数学建模的核心素养 对称性,传递性 同加保序性 乘正保序性 移项法则 正数同向可乘性 乘负反序性 正数乘方保序性
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