2011中考数学一轮复习几何篇23圆中成比例的线段

2011中考数学一轮复习几何篇23圆中成比例的线段

‎23.圆中成比例的线段 知识考点：‎ ‎1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。‎ ‎2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】已知如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2。求：‎ ‎（1）BC的长；‎ ‎（2）⊙O的半径。‎ 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。‎ 解：（1）设BM＝MN＝NC＝，由切割线定理可得：‎ 即解得：，∴BC＝；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AC＝‎ 由割线定理可得：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【例2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求的值。‎ 分析：由切割线定理有，可得直径BC的长，要求，由△ACE∽△ADB得，也就是求CA、BA的长。‎ 解：连结CE ‎∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线 ‎∴‎ 又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15‎ ‎∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP 又∠P为公共角，△PAB∽△PCA ‎∴‎ ‎∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝900‎ ‎∴‎ ‎∴AC＝，AB＝‎ 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB ‎∴△ACE∽△ADB，∴‎ ‎∴‎ ‎【例3】如图，AB切⊙O于A，D为⊙O内一点，且OD＝2，连结BD交⊙O于C，BC＝CD＝3，AB＝6，求⊙O的半径。‎ 分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。‎ 解：延长BD交⊙O于E，两方延长OD交⊙O于F、G，设⊙O的半径为 ‎∵BA切⊙O于A，∴‎ ‎∵AB＝6，BC＝3，∴BE＝12，ED＝6‎ 又，FD＝－OD，DG＝＋OD ‎∴，OD＝2‎ ‎∴，‎ 探索与创新：‎ ‎【问题一】如图，已知AB切⊙O于点B，AB的垂直平分线CF交AB于C，交⊙O于D、E，设点M是射线CF上的任一点，CM＝，连结AM，若CB＝3，DE＝8。探索：‎ ‎（1）当M在线段DE（不含端点E）上时，延长AM交⊙O于点N，连结NE，若△ACM∽△NEM，请问：EN与AB的大小关系。‎ 分析：如图1，由△ACM∽△NEM可得∠NEM＝900，连结BO并延长交EN于G，可证BO垂直平分EN，即可证明EN＝AB，结论就探索出来了。‎ 解：∵AB的垂直平分线CF交AB于C，CB＝3‎ ‎∴AB＝6，∠ACM＝900‎ ‎ 又∵△ACM∽△NEM，∴∠NEM＝900‎ 连结BO并延长交EN于点G ‎∵CB切⊙O于B，∴∠GBC＝900‎ ‎ ∴∠GBC＝∠BCE＝∠GEC＝900‎ ‎∴四边BCEG是矩形 ‎∴∠EGB＝900，G为NE的中点 ‎∴EN＝2EG＝＝2CB＝6＝AB ‎ ‎（2）如图，当M在射线EF上时，若为小于17的正数，问是否存在这样的，使得AM与⊙O相切？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由。‎ 分析：先满足AM与⊙O相切，求出相应的值，看它是否是小于17的正数即可。‎ 解：当AM与⊙O相切于点P时，有MP＝AM－AP＝AM－AB＝AM－6‎ ‎∵MC＝，AC＝3，∠ACM＝900‎ ‎∴AM＝，又MD＝MC－CD＝‎ ME＝MC－CE＝，‎ ‎∴‎ 即，解得（已舍去）‎ ‎∵‎ ‎∴存在这样的正数，使得AM与⊙O相切。‎ 跟踪训练：‎ 一、选择题：‎ ‎1、PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点P的⊙O的切线长是（ ）‎ ‎ A、60 B、 C、 D、50‎ ‎ ‎ ‎3、如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是（ ）‎ ‎ A、3 B、‎5 C、 D、‎ ‎4、如图，PT切⊙O于T，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点是D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝（ ）‎ ‎ A、10 B、‎20 C、5 D、‎ 二、填空题：‎ ‎1、如图，PA切⊙O于A，PB＝4，PO＝5，则PA＝ 。‎ ‎2、如图，两圆相交于C、D，AB为公切线A、B为切点，CD的延长线交AB于点M，若AB＝12，CD＝9，则MD＝ 。‎ ‎ ‎ ‎3、如图，⊙O内两条相交弦AB、CD交于M，已知AC＝CM＝MD，MB＝AM＝1，则⊙O的半径为 。‎ ‎4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝720，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝，则AC＝ 。‎ ‎ ‎ ‎5、已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若，OP＝5，则⊙O的半径长为 。‎ ‎6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝，BC＝，AC＝，半径为1.2的⊙O与AC、BC相切，且圆心O在斜边AB上，则＝ 。‎ 三、计算或证明题：‎ ‎1、如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝900，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且AE＝BE。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，AD＝6，求BD的长。‎ ‎2、如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于E，BD＝10，DE、BE是方程的两个根，求AC的长。‎ ‎ ‎ ‎3、如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若DE⊥CF，∠P＝150，⊙O的半径为2，求弦CF的长。‎ ‎4、如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F。‎ ‎（1）求证：BC是⊙P的切线；‎ ‎（2）若CD＝2，CB＝，求EF的长；‎ ‎（3）若设＝PE∶CE，是否存在实数，使△PBD是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ 跟踪训练参考答案 一、选择题：AACB 二、填空题：‎ ‎1、；2、3；3、；4、2；5、7；6、8或9‎ 三、计算或证明题：‎ ‎1、（1）略；（2）；（3）；‎ ‎2、略解：由已知可得，‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴‎ ‎ 解得：，故BE＝8，DE＝6‎ ‎ 由△ADB∽△DEB可得：AD＝‎ ‎ 由△ADC∽△BED可得：AC＝‎ ‎3、提示：（1）连结OD，证△PCE∽△POD得；（2）证∠ODE＝150得∠HDO＝∠EDC＝300，∵OD＝2，则DH＝，DE＝，CE＝。∴CF＝CE＋EF＝‎ ‎4、（1）连结PA、PB，证∠PBC＝900；（2）EF＝；（3）存在，使△PBD为等边三角形。‎