三维设计高考数学一轮复习基础知识高频考点解题训练双曲线教学案
双_曲_线
[知识能否忆起]
1．双曲线的定义
平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵双曲线方程可化为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝.∴c2＝a2＋b2＝，c＝.
∴左焦点坐标为.
2．(教材习题改编)若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 依题意得a2＋1＝4，a2＝3，
故e＝＝＝.
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
解析：选C 由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
4．双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．
解析：由题意知＝ ＝2，解得a＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0，即y＝±x.
答案：y＝±x
5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________.
解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，
∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝＝，|k|＝.
∴|k|·e＝×＝.
答案：
1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)．
2．渐近线与离心率：
－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
[注意] 当a>b>0时，双曲线的离心率满足1
0时，e＝(亦称为等轴双曲线)；
当b>a>0时，e>.
3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
双曲线的定义及标准方程
典题导入
[例1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
[自主解答] (1)∵－＝1的焦距为10，
∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝.
(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，
所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，
又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，
则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.
[答案] (1)A (2)2
由题悟法
1．应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．
2．双曲线方程的求法
(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(2)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
以题试法
1．(2012·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
解析：选B 由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.
双曲线的几何性质
典题导入
[例2] (2012·浙江高考)如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )
A. B.
C. D.
[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－＋＝1.①
双曲线渐近线为y＝±x，
由得Q .
由得P，
∴PQ的中点坐标为.
由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为.
直线F1B的斜率为k＝，
∴PQ的垂直平分线为y－＝－.
令y＝0，得x＝＋c，
∴M，∴|F2M|＝.
由|MF2|＝|F1F2|得
＝＝2c，
即3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.
[答案] B
若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且＜α＜”，求双曲线的离心率的取值范围．
解：根据题意知1＜＜，
即1＜＜ .所以＜e＜2.
即离心率的取值范围为( ，2)．
由题悟法
1．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝(m＞0)或m＝，故离心率有两种可能．
2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．
以题试法
2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2012·大同模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B 设点P(m，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且|PF|＝5得由此解得m＝3，n2＝24.于是有由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±x
＝±x.
直线与双曲线的位置关系
典题导入
[例3] (2012·南昌模拟)已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·＝0.求＋的值．
[自主解答] (1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2.
∵点M(，)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1，得
∴|OP|2＝x2＋y2＝.
则OQ的方程为y＝－x，
同理有|OQ|2＝＝，
∴＋＝＝＝.
由题悟法
1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．与中点有关的问题常用点差法．
[注意] 根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
以题试法
3．(2012·长春模拟)F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|,|＝3|,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．
解析：由双曲线的性质可得|,|＝b，则|,|＝3b.在△MF1O中，|,|＝a，|,|＝c，cos ∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2，即＝，故此双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
1．(2013·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知条件可得即
解得故双曲线方程为－＝1.
2．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
解析：选A ∵m＞n＞0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
3．(2012·华南师大附中模拟)已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋
＝1的离心率为( )
A.或 B.
C. D.或
解析：选D ∵m2＝16，∴m＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m＝4时，e＝＝＝.当m＝－4时，e＝＝＝.
4.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
解析：选B 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
5．(2013·哈尔滨模拟)已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且,·,＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由,·,＝0得,⊥,，设|,|＝m，|,|＝n，不妨设m＞n，则m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，mn＝9，＝，解得∴b＝3，∴a＋b＝7.
6．(2012·浙江模拟)平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|OP|的最小值为( )
A．3 B．2
C. D．1
解析：选C 依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于.
7．(2012·西城模拟)若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝________.
解析：∵双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，
∴1＋＝32＝9，可得k＝.
答案：
8．(2012·天津高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.
答案：1 2
9．(2012·济南模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝.
答案：
10．(2012·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：·＝0.
解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
11．(2012·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，
cos ∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
则∠F1PF2＝90°.
12．如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知1·2＝0，且|1|＝2|2|.
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若1·2＝－，21＋2＝0.求双曲线C的方程．
解：(1)由1·2＝0，得1⊥2，即△F1PF2为直角三角形．设|2|＝r，|1|＝2r，所以(2r)2＋r2＝4c2，2r－r＝2a，即5×(2a)2＝4c2.所以e＝.
(2)＝＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，
则1·2＝x1x2－4x1x2＝－，
所以x1x2＝.①
由21＋2＝0，得
即x＝，y＝.又因为点P在双曲线－＝1上，
所以－＝1.
又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2.②
由①②得a2＝2，b2＝8.
故所求双曲线方程为－＝1.
1．(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|,＋,|＝|,|，则的值为( )
A. B．2
C. D．1
解析：选A 依题意，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，不妨设m＞n.则由|,＋,|＝|,|得|,＋,|＝|,－,|＝|,－,|，即|,＋,|2＝|,－,|2，所以,·,＝0，所以m2＋n2＝4c2.又e1＝，e2＝，所以＋＝＝2，所以＝＝.
2．已知双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为________．
解析：由题意知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l的距离d1＝，同理得，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
所以5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5.
由于e＞1，所以e的取值范围为.
答案：
3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4
eq r(3)，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使,＋,＝t,，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，故一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，则＝，
得b2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
则得
故t＝4，点D的坐标为(4，3)．
1．(2012·岳阳模拟)直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记,＝e1，,＝e2，任取双曲线C上的点P，若,＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是________．
解析：可求出e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，设P(x0，y0)，则则(a＋b)2－(a－b)2＝1，得ab＝.
答案：ab＝
2．已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________________．
解析：根据已知得点P的坐标为，则|PF2|＝，又∠PF1F2＝，则|PF1|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
3．(2012·大同模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(
，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA―→,·OB―→,＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由题意得
故k2≠且k2＜1，①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，
xA·xB＝，
由,·,＞2得xAxB＋yAyB＞2，
又xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，
于是＞2，即＞0，
解不等式得＜k2＜3，②
由①②得＜k2＜1，
所以k的取值范围为∪.
