2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试 数学（文）

2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试 数学（文）

秘密★启用前 【考试时间：1 月 19 日】‎ ‎2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试 数 学（文科）试 题 卷 2020.1‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.（原创）设,则的大小顺序是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.（原创）设为实数，直线，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 正三角形中,是线段上的点,,,则=（ ）‎ A．3 B． 6 C． 9 D．12 ‎ ‎8.（原创）已知函数的部分图象如右图所示，则函数在上的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.（原创）在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为,其焦点到渐近线的距离为，过点的直线与双曲线交于两点. 若是的中点,则直线的斜率为（ ）‎ A．2 B． 4 C． 6 D．8‎ 10. 元旦晚会一次猜奖游戏中，四个盒子里摆放了四件奖品（每个盒里仅放一件）. 甲同学说：号盒里是，号盒里是；乙同学说：号盒里是，号盒里是；丙同学说：号盒里是，号盒里是；丁同学说：号盒里是，号盒里是.如果他们每人都猜对了一半，那么号盒里是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.（原创）在锐角三角形中，内角的对边分别为.若，且，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12． 定义在上且周期为4的函数满足：当时， ，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 在等比数列中，已知，，则= ．‎ ‎14. （原创）已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为______．‎ ‎15. 设不等式组所表示的平面区域为,函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点不落在内的概率为______．‎ ‎16. 已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为. 圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 ‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17. 已知数列{}中,.‎ ‎（1）求证：数列{}是等比数列;‎ ‎（2）求数列{}的前项和.‎ ‎18．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量 (单位：吨)的频率分布直方图，如图一．‎ ‎（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；‎ ‎（2）已知该居民月用水量与月平均气温(单位：)的关系可用回归直线模拟．2019年当地月平均气温统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于的月份作为两层，用分层抽样的方法选取个月，再从这个月中随机抽取个月，求这个月中该居民恰有个月用水量超过的概率．‎ ‎19. 已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，,.点是棱的中点，点在棱上，且， ∥平面．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求四棱锥的体积．‎ 20. 已知椭圆过圆的圆心，且右焦点与抛物线的焦点重合.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于,两点,若,求直线的方程.‎ 21. 已知函数是的导函数.‎ （1） 讨论函数的极值点个数；‎ （2） 若，，若存在，使得，试比较与的大小.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22. [选修4－4：坐标系与参数方程]‎ ‎（原创）在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数),以为极点, 轴的非负半轴为极轴,曲线的极坐标方程为: .‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的参数方程;‎ ‎（2）若点在曲线上运动，求点到曲线距离的最小值及对应的点的坐标.‎ ‎23. [选修4－5：不等式选讲]‎ ‎（原创）已知函数．‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）若的值域为，且，解不等式.‎ ‎ ‎ ‎2020年重庆一中高2020级高三上期末考试 数 学（文科）试 题 卷 2020.1‎ 一、选择题：‎ CDBCB ABDCA CB 二、填空题：‎ 13. ‎ 14. 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.（1）证明:因为 所以…………4分 又因为则，……………………………………5分 所以数列{}是首项为2,公比为2的等比数列. …………………………6分 ‎（2）由(Ⅰ)知所以……………………………7分 ‎ 所以 ‎ ‎ ……………………………9分 ‎ ………………………………………………………11分 ‎ …………………………………………………………12分 ‎ ‎18.（1）由图一可知, ……3分 该居民月平均用水量约为……6分 ‎（2）由回归直线方程知, 对应的月平均气温刚好为 ‎,………………………………………………7分 再根据图二可得,该居民2019年月和月的用水量刚好为,且该居民2019年有个月每月用水量超过,有个月每月用水量低于,…………………………………8分 因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有个月(记为)每月用水量超过,有个月(记为)每月用水量低于,从中抽取个,有,共种结果, ……………10分 其中恰有一个月用水量超过的有共种结果, ………11分 设“这个月中恰有个月用水量超过”为事件,则…………12分 ‎19.（1）连接，设，则平面平面，…………1分 ‎//平面， // ，…………………2分 ‎∽， ，………4分 ‎，…………………5分 ‎．……………………………………………6分 ‎（2），‎ 又 ，‎ ‎， ， 平面，……………………9分 所以=‎ ‎…………12分 ‎20.解：(1)因为抛物线的焦点为,所以,…………………………1分 因为在椭圆上, 所以,由,得,,所以椭圆的方程为………………………………………………………5分 (2)由得: ,即,可得,……………………………………6分 ‎①当垂直轴时, ,此时满足题意,所以此时直线的方程为;…………………………………………………7分 ‎②当不垂直轴时,设,,直线的方程为,‎ 由消去得,‎ 所以,,…………………………………………8分 代入可得: ,‎ 代入,,得,‎ 代入化简得: ,……………………………………10分 解得,‎ 经检验满足题意,则直线的方程为………………………………11分 综上所述直线的方程为或………………………………12分 ‎21.解：(1)，……………………………………………1分 当时，，在上单调递增，无极值点；……………2分 当时，，故在上单调递增，在上单减，故有1个极小值点，无极大值点. ……………………………………………………4分 综上：当时，有0个极值点；当时，有1个极值点. ………5分 ‎（2），，‎ ‎，‎ 故 ‎==，…………………………7分 令，，……………………………………8分 则，所以在上单调递增，则，‎ ‎………………………9分 ‎，……………10分 ‎，又在上单调递增，………………11分 ‎，即……………………………………………12分 ‎22.解：（1）;………………………………………………………2分 ‎……………………………………5分 （2） 设点，则 点到曲线的距离 ‎=（其中）‎ ‎=，…………………………………………………………………7分 当时，，此时即 ‎,所以，，故……………………………………………………………………………10分 ‎23.（1）证明：…………………4分 当且仅当时，取等号………………………………………………………………5分 （2） ‎，，……………………………6分 又，…………………………7分 由题意可得………………9分 故原不等式的解集为…………………………………………………10分