2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

第 2 课时　对数函数的图象和性质的应用 关键能力 · 合作学习 类型一　对数函数性质在实际问题中的应用 ( 数学运算 ) 【 典例 】 科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度 I( 单 位：瓦 / 平方米 ) 有关 . 在实际测量时，常用 L( 单位：分贝 ) 来表示声音强弱的 等级，它与声音的强度 I 满足关系式： L=a·lg (a 是常数 ) ，其中 I 0 =1×10 -12 瓦 / 平方米 . 如风吹落叶沙沙声的强度 I=1×10 -11 瓦 / 平方米，它的强弱等级 L=10 分贝 . (1) 已知生活中几种声音的强度如表： 声音来源 声音大小 风吹落叶 沙沙声 轻声耳语 很嘈杂 的马路 强度 I/( 瓦 / 平 方米 ) 1×10 -11 1×10 -10 1×10 -3 强弱等级 L/ 分贝 10 m 90 求 a 和 m 的值 . (2) 为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过 50 分贝，求此时声音强度 I 的最大值 . 【 思路导引 】 (1) 代入表格中的已知数据求 a 和 m 的值 . (2) 列出不等式，利用对数函数的单调性求范围 . 【 解析 】 (1) 将 I 0 =1×10 -12 ， I=1×10 -11 代入 L=a · lg ， 得 10=a · lg =a · lg 10=a ， 即 a=10 ， m=10 · lg =10 · lg 100=20. (2) 由题意得 L≤50 ，得 10lg ≤50 ， 得 lg ≤5 ，即 ≤ 10 5 ， 即 I≤10 5 ×10 -12 =10 -7 ， 答：此时声音强度 I 的最大值为 10 -7 瓦 / 平方米 . 【 解题策略 】 关于对数性质的应用 　首先确定含对数的函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决范围、最值、变化趋势等问题 . 【 跟踪训练 】 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬 . 研究发现，燕子的飞行速度可以表示 为函数 v=5log 2 ，单位是 m/s ，其中 O 表示燕子的耗氧量的单位数 . 记 v 1 = 25 m/s 时耗氧量为 O 1 ， v 2 =5 m/s 时耗氧量为 O 2 ，则 O 1 是 O 2 的 _______ 倍 .  【 解析 】 v=5log 2 ，当 v 1 =25 m/s 时耗氧量为 O 1 ，则 25=5log 2 ，即 =2 5 ，即 O 1 =10×2 5 ， v 2 =5 m/s 时耗氧量为 O 2 ， 5=5log 2 ， 即 =2 ，所以 O 2 =10×2 ， 所以 =2 4 =16 ，故 O 1 是 O 2 的 16 倍 . 答案： 16 类型二　反函数 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 已知函数 f(x)=2 x 的反函数为 y=g(x) ，则 g 的值为 ( 　　 ) A.-1 B.1 C.12 D. 2 2. 若 f(x) 为 y=3 -x 的反函数，则 f(x-1) 的图象大致是 ( 　　 ) 3. 若函数 g(x) 是函数 f(x)= ， x∈[-2 ， 1] 的反函数，则函数 g(x) 的定义 域为 _______.  【 解析 】 1. 选 A. 因为由 y=f(x)=2 x ，得 x=log 2 y ， 所以原函数的反函数为 g(x)=log 2 x ， 则 g =log 2 =-1. 2. 选 C. 由题意， f(x) 与 y=3 -x = 互为反函数， 即 f(x)= ，故 f(x-1)= (x-1) ， 所以 f(x-1) 的图象就是由 f(x)= 的图象向右平移一个单位得到 . 3. 函数 f(x)= ， x∈[-2 ， 1] 的值域为 ， 因为函数 g(x) 是其反函数，所以函数 g(x) 的定义域为 . 答案： 【 解题策略 】 互为反函数的函数的性质 (1) 同底数的指数函数与对数函数互为反函数 . (2) 互为反函数的定义域与值域互换 . (3) 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称 . 【 补偿训练 】 　函数 y=a x (a>0 且 a≠1) 的反函数过点 (9 ， 2) ，则 a=_______.  【 解析 】 由函数 y=a x (a>0 ，且 a≠1) 的反函数的图象过点 (9 ， 2) ，可得 y=a x 图象过点 (2 ， 9) ，所以 a 2 =9 ，又 a>0 ，所以 a=3. 答案： 3 类型三　对数函数性质的综合应用 ( 逻辑推理 ) 　角度 1 　单调区间、值域  【 典例 】 (2020· 杭州高一检测 ) 函数 y= (-x 2 +5x-6) 的单调增区间为 _______ ，值域为 _______.  【 思路导引 】 利用复合函数的单调性的符号法则“同增异减”求单调区间； 先求内层函数的值域，再利用单调性求原函数的值域 . 【 解析 】 由 -x 2 +5x-6>0 得： x∈(2 ， 3) ， 由 y= 为减函数，其中 t=-x 2 +5x-6 在 上单调递减，故函数的单调增区 间为 ， 又由 x∈(2 ， 3) 时， t=-x 2 +5x-6∈ ， 故 y= (-x 2 +5x-6)∈[2 ， +∞). 答案： 　 [2 ， +∞) 【 变式探究 】 将本例中函数的底数变为 2 ，试求该函数的单调增区间和值域 . 【 解析 】 由 -x 2 +5x-6>0 得： x∈(2 ， 3) ， 由 y=log 2 t 为增函数，其中 t=-x 2 +5x-6 在 上单调递增，故函数的单调增区 间为 ， 又由 x∈(2 ， 3) 时， t=-x 2 +5x-6∈ ， 故 y=log 2 (-x 2 +5x-6)∈(-∞ ， -2]. 故该函数的值域为 (-∞ ， -2]. 角度 2 　函数性质的综合应用  【 典例 】 已知函数 f(x)=log a (10+x)-log a (10-x)(a>0 ，且 a≠1). (1) 判断 f(x) 的奇偶性，并说明理由 . (2) 若 f(x)>0 ，求 x 的取值范围 . 四步 内容 理解 题意 条件：函数的解析式 结论： (1) 判断并证明奇偶性 (2) 解不等式 思路 探求 (1) 奇偶性的定义⇒奇偶性 (2)f(x)>0⇒log a (10+x)>log a (10-x)⇒ 分情况解不等式 【 解题策略 】 解决综合性问题的关注点 (1) 增强定义域意识：无论是求单调区间、证明奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提 . (2) 增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性 . 【 题组训练 】 1. 函数 y=log 0.4 (-x 2 +3x+4) 的值域是 _______.  2.(2020· 长春高一检测 ) 已知函数 f(x)=log a (x+3)-log a (3-x) ， a>0 且 a≠1. (1) 判断并证明函数 f(x) 的奇偶性 . (2) 若 a>1 ，指出函数的单调性，并求函数 f(x) 在区间 [0 ， 1] 上的最大值 . 【 解析 】 1. 因为 -x 2 +3x+4= 所以有 0<-x 2 +3x+4≤ 所以根据对数函数 y=log 0.4 x 的图象 ( 图略 ) 即可得到： log 0.4 (-x 2 +3x+4)≥log 0.4 =-2 ， 所以函数的值域为 [-2 ， +∞). 答案： [-2 ， +∞) 2.(1) 函数 f(x) 是奇函数，证明如下， 由题意知， 解得 -31 时，由复合函数的单调性及四则运算可得， f(x)=log a (x+3)-log a (3-x) 为增函数，则函数 f(x) 在区间 [0 ， 1] 上单调递增，故 f(x) max =f(1)=log a 2. 【 补偿训练 】 函数 y= (x 2 -x-12) 的单调增区间是 _______.  【 解析 】 由 x 2 -x-12>0 得 x<-3 或 x>4. 令 g(x)=x 2 -x-12 ，则当 x<-3 时， g(x) 单调递减，当 x>4 时， g(x) 单调递增 . 又 y= u 是减函数，故 y= (x 2 -x-12) 在 (-∞ ， -3) 上单调递增 . 答案： (-∞ ， -3) 课堂检测 · 素养达标 1. 已知函数 f(x)=log 2 x ，若函数 g(x) 是 f(x) 的反函数，则 f(g(2))= ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. 由函数 y=f(x)=log 2 x ，得 x=2 y ， 即 g(x)=2 x ，所以 g(2)=2 2 =4 ，则 f(g(2))=f(4)=log 2 4=2. 2. 函数 y=x+log 2 x(x≥1) 的值域为 ( 　　 ) A.(1 ， +∞) B.(-∞ ， 1) C.[1 ， +∞) D.[-1 ， +∞) 【 解析 】 选 C. 因为 y=x ， y=log 2 x 在 [1 ， +∞) 上单调递增，所以当 x≥1 时， x+log 2 x≥1+log 2 1=1. 3.( 教材二次开发：综合运用改编 ) 函数 y=-log 3 x 的反函数 g(x)=_______.  【 解析 】 y=-log 3 x= ，故 g(x)= . 答案： 4. 函数 f(x)=ln(2-x) 的单调减区间为 _______.  【 解析 】 由 2-x>0 ，得 x<2. 又函数 y=2-x 在 x∈(-∞ ， 2) 上单调递减， 所以函数 f(x)=ln(2-x) 的单调减区间为 (-∞ ， 2). 答案： (-∞ ， 2) 5. 已知函数 f(x)=log 2 为奇函数，则实数 a 的值为 _______.  【 解析 】 由奇函数得 f(x)=-f(-x) ， a 2 =1 ， 因为 a≠-1 ，所以 a=1. 答案： 1