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文档介绍
2021高考数学一轮复习第2章函数第8节函数的图像教学案文北师大版
第八节 函数的图像 [最新考纲] 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质,并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题. (对应学生用书第30页) 1.利用描点法画函数图像的流程 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x)的图像y=-f(x)的图像; ②y=f(x)的图像y=f(-x)的图像; ③y=f(x)的图像y=-f(-x)的图像; ④y=ax(a>0且a≠1)的图像y=logax(a>0且a≠1)的图像. (3)伸缩变换 - 8 - 1.关于对称的三个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)中心对称. (3)若函数y=f(x)的定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. 2.函数图像平移变换八字方针 (1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量. (2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值. 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=f(1-x)的图像,可由y=f(-x)的图像向左平移1个单位得到. ( ) (2)函数y=f(x)的图像关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称. ( ) (3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图像与y=|f(x)|的图像相同. ( ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称. ( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编 1.函数f(x)=-x的图像关于( ) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 - 8 - C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 C [∵f(x)=-x是奇函数, ∴图像关于原点对称.] 2.李明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.则与以上事件吻合最好的图像是( ) A B C D C [距学校的距离应逐渐减小,由于李明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快.] 3.如图,函数f(x)的图像为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是________. (-1,1] [在同一坐标系内作出y=f(x)和y=log2(x+1)的图像(如图).由图像知不等式的解集是(-1,1]. ] (对应学生用书第31页) ⊙考点1 作函数的图像 函数图像的常用画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图像的关键点,进而直接作出图像. - 8 - (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图像. (3)图像变换法:若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图像变换作出. 作出下列函数的图像: (1)y=;(2)y=|log2(x+1)|; (3)y=;(4)y=x2-2|x|-1. [解](1)先作出y=的图像,保留y=图像中x≥0的部分,再作出y=的图像中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图像,如图1实线部分. 图1 图2 (2)将函数y=log2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像,如图2. (3)∵y==2+,故函数图像可由y=图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图3. 图3 图4 (4)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图像,再根据对称性作出(-∞,0)上的图像,得图像如图4. (1)画函数的图像一定要注意定义域. (2)利用图像变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. ⊙考点2 函数图像的辨识 辨析函数图像的入手点 (1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势. - 8 - (3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性. (4)从函数的周期性,判断图像的循环往复. (5)从函数的特征点,排除不合要求的图像. (1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为( ) A B C D (2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为( ) A B C D (1)D (2)B [(1)∵f(-x)==-=-f(x), ∴f(x)是奇函数.又∵f(π)==>0,∴选D. (2)当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项可知,应选B. 通过图像变换识别函数图像要掌握的两点 (1)熟悉基本初等函数的图像(如指数函数、对数函数等函数的图像); (2)了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换. - 8 - 1.函数y=在[-6,6]的图像大致为( ) A B C D B [设f(x)=(x∈[-6,6]),则f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时,f(-1)=-<0,排除选项D;当x=4时,f(4)=≈7.97,排除选项A.故选B.] 2.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图像大致是( ) A B C D C [当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图像呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.] ⊙考点3 函数图像的应用 利用函数图像的直观性求解相关问题,关键在于准确作出函数图像,根据函数解析式的特征和图像的直观性确定函数的相关性质,特别是函数图像的对称性等,然后解决相关问题. 研究函数的性质 (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) (2)对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R - 8 - )的最小值是________. (1)C (2) [(1)将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减. (2)函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图像如图所示,由图像可得,其最小值为. ] 利用函数的图像研究函数的性质,一定要注意其对应关系.如:图像的左右范围对应定义域,上下范围对应值域,上升、下降趋势对应单调性,对称性对应奇偶性. 解不等式 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) D [因为f(x)为奇函数,所以不等式<0可化为<0,即xf(x)<0,f(x)的大致图像如图所示.所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1).] 当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图像可作出时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解. 求参数的取值范围 (1)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是________. (2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________. (1)(0,1] (2)[-1,+∞) [(1)作出函数y=f(x)与y=k的图像,如图所示, - 8 - 由图可知k∈(0,1]. (2)如图作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图像,观察图像可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).] 当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图像的变化确定参数的取值范围. 1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称 B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数 C.函数f(x)的图像上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴 D.函数f(x)的图像关于直线x=1对称 A [因为y===+2,所以该函数图像可以由y=的图像向右平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到,所以函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称,A正确,D错误;易知函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,故B错误;易知函数f(x)的图像是由y=的图像平移得到的,所以不存在两点A,B使得直线AB∥x轴,C错误.故选A.] 2.已知函数y=f(x)的图像是圆x2+y2=2上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是________. (-1,0)∪(1,] [由图像可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)>-x.在同一直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图像,由图像可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,]. ] 3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是________. [先作出函数f(x)=|x-2|+1的图像,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A - 8 - 点时斜率为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为.] - 8 -查看更多