中考一次函数与反比例函数含答案

中考一次函数与反比例函数含答案

反比例函数与一次函数综合题 ‎ 针对演练 ‎1. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.‎ ‎(1)求反比例函数的解析式；‎ ‎(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第1题图 ‎2. 如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.‎ ‎(1)求一次函数的解析式；‎ ‎(2)对于反比例函数，当y＜－1时，写出x的取值范围；‎ ‎(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝‎ ‎2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第2题图 ‎3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，‎ k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.‎ ‎(1)求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤的解集 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．‎ ‎(1)求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；‎ ‎(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ 第4题图 ‎5. 如图，直线y1＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝(x>0)的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.‎ ‎(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；‎ ‎(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；‎ ‎(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第5题图 ‎6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝(x＜0)交于点A(－1，n)．‎ ‎(1)求直线与双曲线的解析式；‎ ‎(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；‎ ‎(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第6题图 ‎7. 如图，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.‎ ‎(1)求点A的坐标；‎ ‎(2)若AE＝AC.‎ ‎①求k的值；‎ ‎②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第7题图 ‎8. 如图，已知双曲线y＝经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；‎ ‎(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第8题图 ‎9. 如图，点B为双曲线y＝(x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x轴于点D，双曲线y＝与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；‎ ‎(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 答案 ‎1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，‎ ‎∵△OAP的面积为1，‎ ‎∴xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为； ‎ ‎(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，‎ ‎∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝＝1，‎ 即点B的坐标为（2,1）.‎ 又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴，‎ 解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，‎ ‎∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，‎ 设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，‎ ‎∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝，‎ ‎∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(，0)，即点M的坐标为(，0)．‎ 第1题解图 ‎2．解：(1)∵反比例函数y＝图象上的点A、B的横坐标 分别为1、－2，‎ ‎∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，‎ ‎∵点A(1，2)、B(－2，－1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，‎ ‎∴∴一次函数的解析式为y＝x＋1；‎ ‎(2)由图象知，对于反比例函数，当y＜－1时，x的取值范围是－2＜x＜0；‎ ‎(3)存在．‎ 对于y＝x＋1，当y＝0时，x＝－1，当x＝0时，y＝1，‎ ‎∴点D的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，1)，‎ 设点P(m，n)，‎ ‎∵S△ODP＝2S△OCA，∴×1×(－n)＝2××1×1，∴n＝－2，‎ ‎∵点P(m，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ ， ∴m＝－1，‎ ‎∴点P的坐标为(－1，－2)．‎ ‎3．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，‎ ‎∴OA＝3，OD＝2.‎ ‎∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)．‎ 将点A(3，0)和B(0，6)代入y＝kx＋b得，‎ ‎∴一次函数的解析式为y＝－2x＋6. ……………………(3分)‎ 将x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2×(－2)＋6＝10，‎ ‎∴点C的坐标为(－2，10)．‎ 将点C(－2，10)代入y＝，得10＝，解得n＝－20，‎ ‎∴反比例函数的解析式为；………………………(5分)‎ ‎(2)将两个函数解析式组成方程组，得 解得x1＝－2，x2＝5. ………………………………………(7分)‎ 将x＝5代入 ‎ ‎∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分)‎ ‎(3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)‎ ‎【解法提示】不等式kx＋b≤的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是－2≤x＜0或x≥5.‎ ‎4．解：(1)∵点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，‎ ‎∴m＝－2，∴反比例函数解析式为，∴n＝1，∴点A(－2，1)，‎ 将点A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得 ‎∴一次函数的解析式为y＝－x－1；‎ ‎(2)结合图象知：当－2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；‎ ‎(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′延长交x轴于点C，则点C即为所求，‎ ‎∵A(－2，1)，‎ ‎∴A′(－2，－1)，‎ 设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，‎ ‎∴y＝－x－，‎ 令y＝0，得x＝－5，‎ 则C点坐标为(－5，0)，‎ ‎∴t的最大值为A′B＝＝.‎ ‎ 第4题解图 ‎5．解：(1)∵一次函数y1＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，‎ ‎∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，‎ ‎∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，‎ ‎∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝，得m＝8，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y2＝；‎ ‎(2)x>4；‎ ‎【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.‎ ‎(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，‎ ‎∵四边形BCPD为菱形，‎ ‎∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，‎ 将D(8，1)代入反比例函数，D点坐标满足函数关系式，‎ 即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时 D点坐标为(8，1)．‎ 第5题解图 ‎6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，‎ ‎∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，‎ ‎∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，‎ ‎∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，‎ 将A(－1，－5)代入y＝(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为；‎ ‎(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，‎ ‎∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，‎ ‎∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB＝45°，‎ ‎∴在△OMB中，sin45°＝＝，∴OM＝2，∵AO＝＝，‎ ‎∴在△AOM中，sin∠OAB＝＝＝；‎ 第6题解图 ‎(3)存在．‎ 如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，‎ ‎∴AB＝＝，∵OB＝OC＝4，∴BC＝＝4，‎ 又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，‎ ‎∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，‎ ‎∴＝或＝，即＝或＝，‎ ‎∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，‎ ‎∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．‎ ‎7．解：(1)当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3. ‎ ‎∴点A的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分)‎ ‎(2)①如解图，过点C作CF⊥x轴于点F.‎ 设AE＝AC＝t, 点E的坐标是(3，t). ‎ 在Rt△AOB中， tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°.‎ 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t，‎ ‎∴点C的坐标是(3＋t，t)．∵点C、E在y＝的图象上，‎ ‎∴(3＋t)×t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝2，‎ ‎∴k＝3t＝6； …………………………………………… (5分)‎ ‎②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：‎ 由①知，点E的坐标为(3，2)，‎ 设点D的坐标是(x，x－)，‎ ‎∴x(x－)＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，‎ ‎∴点D的坐标是(－3，－2)，‎ ‎∴点E与点D关于原点O成中心对称．…………………(8分)‎ 第7题解图 ‎8．解：(1)∵双曲线y＝经过点D(6，1)，∴＝1，解得k＝6；‎ ‎(2)设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，‎ ‎∴BD＝6，∴S△BCD＝×6×h＝12，解得h＝4，‎ ‎∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，‎ ‎∴点C的纵坐标为1－4＝－3，∴＝－3，解得x＝－2，‎ ‎∴点C的坐标为(－2，－3)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则 ‎∴直线CD的解析式为y＝x－2；‎ ‎(3)AB∥CD.理由如下：‎ ‎∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点D的坐标为(6，1)，‎ 设点C的坐标为(c，)，‎ ‎∴点A、B的坐标分别为A(c，0)，B(0，1)，‎ 设直线AB的解析式为y＝mx＋n，则 ‎∴直线AB的解析式为y＝－＋1，‎ 设直线CD的解析式为y＝ex＋f，则 ‎∴直线CD的解析式为y＝－＋，‎ ‎∵AB、CD的解析式中k都等于， ‎ ‎∴AB与CD的位置关系是AB∥CD.‎ ‎9．解：(1)设D点坐标为(a，0)，‎ ‎∵AB∥y轴，点A在直线y＝x上，B为双曲线y＝(x＞0)上一点，‎ ‎∴A点坐标为(a，a)，B点坐标为(a，)，‎ ‎∴AB＝a－，BD＝，在Rt△OBD中，OB2＝BD2＋OD2＝()2＋a2，‎ ‎∵OB2－AB2＝4，∴()2＋a2－(a－)2＝4，‎ ‎∴k＝2；‎ ‎ (2)如解图，过点C作CM⊥AB于点M，‎ ‎∴C点坐标为(，)， 第9题解图 ‎∵点B的横坐标为4，‎ ‎∴A点坐标为(4，4)，B点坐标为(4，)，∴AB＝4－＝，CM＝4－，‎ ‎∴S△ABC＝CM·AB ＝×(4－)× ＝7－；‎ ‎(3)不存在，理由如下：‎ 若△APC∽△AOD，∵△AOD为等腰直角三角形，‎ ‎∴△APC为等腰直角三角形，∠ACP＝90°，‎ ‎∴CM＝AP，设P点坐标为(a，)，则A点坐标为(a，a)，∴AP＝|a－|，‎ ‎∵C点坐标为(，)，‎ ‎∴CM＝|a－|，∴|a－|＝|a－|，‎ ‎∴(a－)2＝×，即(a－)2＝×，‎ ‎∴4a2－(a＋)2＝0，解得a＝或a＝－(舍去)，‎ ‎∴P点坐标为(，)，则此时点C与点P重合，所以不能构成三角形，故不存在．‎