中考数学专题复习分式方程学生

中考数学专题复习分式方程学生

‎2014年中考数学专题复习第九讲：分式方程 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 分式方程的概念：w w w .x k 分母中含有 的方程叫做分式方程 ‎【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】‎ 二、分式方程的解法：‎ ‎ 1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即分式 方---﹥ 整式方程 转化 ‎2、解分式方程的一般步骤：‎ ‎1、 2、 3、 ‎ ‎3、增根：‎ 在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。‎ ‎【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略 ‎ 2、分式方程的培根与无解并非用一个概念，无解完包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如：-=1无解，有a的值增根】‎ 三、分式方程的应用：‎ ‎ 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。‎ ‎【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：分式方程的概念（解为正、负数）‎ 例1 （2009•孝感）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞-1 B．a＞-1且a≠‎0 ‎‎ C．a＜-1 D．a＜-1且a≠-2‎ 思路分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．‎ 解：去分母得，2x+a=x-1，∴x=-1-a，∵方程的解是正数，∴-1-a＞0即a＜-1。 又因为x-1≠0，∴a≠-2。则a的取值范围是a＜-1且a≠-2 故选D．‎ 点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠-2，这是因为忽略了x-1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．‎ 例2 （2012•鸡西）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）‎ A．-1.5 B．‎1 ‎‎ ‎‎ C．-1.5或2 D．-0.5或-1.5‎ 思路分析：去分母得出方程①‎2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m；②求出当‎2m+1=0时，方程也无解，即可得出答案．‎ 解：方程两边都乘以x（x-3）得：（‎2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），即（‎2m+1）x=-6，① ①∵当‎2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=-0.5， ②∵关于x的分式方程无解，∴x=0或x-3=0，即x=0，x=3， 当x=0时，代入①得：（‎2m+0）×0-0×（0-3）=2（0-3），解得：此方程无解； 当x=3时，代入①得：（‎2m+3）×3-3（3-3）=2（3-3），解得：m=-1.5， ∴m的值是-0.5或-1.5，故选D．‎ 点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中．‎ 对应训练 ‎1．（2010•牡丹江）已知关于x的分式方程-=1的解为负数，那么字母a的取值范围是 ．‎ ‎2．（2011•黑龙江）已知关于x的分式方程-=0无解，则a的值为 ．‎ 考点二：分式方程的解法 例3 （2012•上海）解方程：．‎ 思路分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解：方程的两边同乘（x+3）（x-3），得x（x-3）+6=x+3，整理，得x2-4x+3=0， 解得x1=1，x2=3．经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=1．‎ 点评：本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．‎ 对应训练 ‎3．（2012•苏州）解分式方程：．‎ 考点三：分式方程的增根问题 例4 （2012•攀枝花）若分式方程：2+=有增根，则k= ．‎ 思路分析：把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x-2=0，2-x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可．‎ 点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行： ①根据最简公分母确定增根的值②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 对应训练 ‎4．（2012•佳木斯）已知关于x的分式方程=1有增根，则a= ．‎ 考点四：分式方程的应用 例5 （2012•岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？ （2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？‎ 思路分析：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据两队合作6个月完成求得x的值即可； （2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可．‎ 解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据题意得：‎ ‎，解得：x=15，经检验x=15是原方程的根． 答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成；‎ ‎（2）根据题意得：‎15a+9b≤141，,解得：a≤4  b≥9．‎ ‎∵a、b都是整数∴a=4 b=9或a=2  b=12‎ 点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．‎ 对应训练 ‎5．（2012•珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？‎ ‎【聚焦中考】‎ ‎1．（2012•莱芜）对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ﹣‎ ‎2．（2012•潍坊）方程的根是 ．‎ ‎3．（2012•日照）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？‎ ‎4．（2012•青岛）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．‎ ‎5．（2012•临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．‎ ‎6．（2012•济南）冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？‎ ‎7．（2012•泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？‎ ‎8．（2012•威海）小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售．这样，小明比原计划多买了6本．求每本书的原价和小明实际购买图书的数量．‎ ‎【备考过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2012•丽水）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（　　）‎ A．x B．2x C．x+4 D．x（x+4）‎ ‎2．（2012•随州）分式方程的解是（　　）‎ A．v=-20 B．v=‎5 ‎‎ C．v=-5 D．v=20‎ ‎3．（2012•宜宾）分式方程的解为（　　）‎ A．3 B．‎-3 ‎‎ C．无解 D．3或-3‎ ‎4．（2012•台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（2012•宁夏）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校‎8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎8．（2012•吉林）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎9．（2012•黑河）若关于x的分式方程 =无解，则m的值为（　　）‎ ‎　 A．﹣1.5 B． ‎1 ‎C． ﹣1.5或2 D． ﹣0.5或﹣1.5‎ ‎10．（2012•赤峰）解分式方程的结果为（　　）‎ ‎　 A．1 B． ﹣‎1 ‎C． ﹣2 D． 无解 二、填空题 ‎11．（2012•襄阳）分式方程的解是 ．|网]‎ ‎12．（2012•铁岭）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成．求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为 ．‎ ‎14．（2012•连云港）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为　 　元．‎ ‎15．（2012•鞍山）A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到小时．设乙的速度为x千米/时，可列方程为 ．‎ 三、解答题 ‎16．（2012•盐城）解方程：．‎ ‎17．（2012•咸宁）解方程：．‎ ‎18．（2012•泰州）当x为何值时，分式的值比分式的值大3？‎ ‎19．（2012•长春）某班有45名同学参加紧急疏散演练，对比发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的3倍，这45名同学全部撤离的时间比指导前快30秒，求指导前平均每秒撤离的人数．‎ ‎20．（2012•北京）列方程或方程组解应用题： 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．‎ ‎21．‎ ‎（2012•玉林）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天． （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ （2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由．‎ ‎21．解：（1）设甲车单独完成任务需要x天，乙单独完成需要y天， 由题意可得：‎ ‎22．（2012•河池）解分式方程：．‎ ‎24．（2012•贵阳）为了全面提升中小学教师的综合素质，贵阳市将对教师的专业知识每三年进行一次考核．某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），同时每人配套购买一本《数学课程标准（2011年版）解读》（以下简称《解读》），其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元．若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1053元，请问《标准》和《解读》的单价各是多少元？‎ ‎25．（2012•宁德）为配合“书香进校园”活动的开展，学校决定为各班级添置图书柜，原计划用4000元购买若干个书柜，由于市场价格变化，每个单价上涨20元，实际购买时多花了400元，求书柜原来的单价是多少元？‎ ‎26．（2012•南平）解分式方程：x﹣3+=0．‎ ‎27．（2012•黄冈）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有AB两个制衣间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成，求A、B两车间每天分别能加工多少件．‎