2015高考数学(理)(正弦定理和余弦定理应用举例)一轮复习学案

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2015高考数学(理)(正弦定理和余弦定理应用举例)一轮复习学案

学案24 正弦定理和余弦定理应用举例 导学目标: 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 自主梳理 ‎1.仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图所示)‎ ‎2.方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45°,是指北偏东45°,即东北方向.‎ ‎3.方向角:相对于某一正方向的水平角.(如图所示)‎ ‎①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.‎ ‎②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.‎ ‎③南偏西等其他方向角类似.‎ ‎4.坡角 坡面与水平面的夹角.(如图所示)‎ ‎5.坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i==tan α(i为坡比,α为坡角).‎ ‎6.解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题,实质是数学知识在生活中的应用,要解决好,就要把握如何把实际问题数学化,也就是如何把握一个抽象、概括的问题,即建立数学模型.‎ 自我检测 ‎1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是 (  )‎ A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°‎ ‎2.(2011·承德模拟)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ‎ ‎(  )‎ A.北偏东10° B.北偏西10°‎ C.南偏东10° D.南偏西10°‎ ‎3.如图所示,为了测量某障碍物两侧A、B间的距离,给定下列四组数据,不能确定A、B间距离的是 (  )‎ A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b ‎4.在‎200 m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为________m.‎ ‎5.(2010·全国Ⅱ)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sin B=,cos∠ADC=,求AD.‎ 探究点一 与距离有关的问题 例1 (2010·陕西)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?‎ 变式迁移1 某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C处测得与C相距‎31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去,走‎20千米到达D,此时测得CD为‎21千米,求此人在D处距A还有多少千米?‎ 探究点二 测量高度问题 例2 如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.‎ 变式迁移2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进‎40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.‎ 探究点三 三角形中最值问题 例3 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m),示意图如图所示,垂直放置的标杆BC的高度h=‎4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.‎ ‎(1)该小组已测得一组α、β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H的值;‎ ‎(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精度.若电视塔实际高度为‎125 m,试问d为多少时,α-β最大?‎ 变式迁移3 (2011·宜昌模拟)如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值.‎ ‎1.解三角形的一般步骤 ‎(1)分析题意,准确理解题意.‎ 分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等.‎ ‎(2)根据题意画出示意图.‎ ‎(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解.演算过程中,要算法简练,计算正确,并作答.‎ ‎(4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍.‎ ‎2.应用举例中常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. ‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 (  )‎ A. B. C. D. ‎2.(2011·揭阳模拟)如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为‎50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为 (  )‎ A.‎50 m B.‎50 m C.‎25 m D. m ‎3.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的半径为 (  )‎ A. B. C. D.9 ‎4.(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走‎3 km,结果他离出发点恰好是 km,那么x的值为 (  )‎ A. B.2 C.或2 D.3‎ ‎5.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这只船的速度是每小时 (  )‎ A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.一船以每小时‎15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为________.‎ ‎7.(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为‎10‎米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗.‎ ‎8.(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=‎200 km,汽车以‎80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以‎50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始________h后,两车的距离最小.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)(2009·辽宁)如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=‎0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B、D的距离(计算结果精确到‎0.01 km,≈1.414,≈2.449).‎ ‎10.(12分)如图所示,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距10海里.问乙船每小时航行多少海里?‎ ‎11.(14分)(2009·福建)如图,‎ 某市拟在长为‎8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.‎ ‎(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;‎ ‎(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?‎ 答案 自我检测 ‎1.B 2.B 3.A ‎4. ‎5.解 由cos∠ADC=>0知B<,‎ 由已知得cos B=,sin∠ADC=,‎ 从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)‎ ‎=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B ‎=×-×=.‎ 由正弦定理得,=,‎ 所以AD===25.‎ 课堂活动区 例1 解题导引 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.‎ 解 由题意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,‎ ‎∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.‎ 在△DAB中,由正弦定理,得=,‎ ‎∴DB== ‎==10(海里).‎ 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20(海里),‎ 在△DBC中,由余弦定理,得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10×20× ‎=900,∴CD=30(海里),‎ ‎∴需要的时间t==1(小时).‎ 故救援船到达D点需要1小时.‎ 变式迁移1 ‎ 解 如图所示,易知∠CAD=25°+35°=60°,在△BCD中,‎ cos B==,‎ 所以sin B=.‎ 在△ABC中,AC==24,‎ 由BC2=AC2+AB2-‎2AC·ABcos A,‎ 得AB2-24AB-385=0,‎ 解得AB=35,AB=-11(舍),‎ 所以AD=AB-BD=15.‎ 故此人在D处距A还有‎15千米.‎ 例2 解题导引 在测量高度时,要正确理解仰角、俯角的概念,画出准确的示意图,恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.‎ 解 在△BCD中,∠CBD=π-α-β.‎ 由正弦定理得=,‎ 所以BC==,‎ 在Rt△ABC中,‎ AB=BCtan∠ACB=.‎ 变式迁移2 ‎ 解 由题意可知,在△BCD中,CD=40,‎ ‎∠BCD=30°,∠DBC=135°,‎ 由正弦定理得, ‎=,‎ ‎∴BD==20.‎ 过B作BE⊥CD于E,显然当人在E处时,‎ 测得塔的仰角最大,有∠BEA=30°.‎ 在Rt△BED中,‎ 又∵∠BDE=180°-135°-30°=15°.‎ ‎∴BE=DB·sin 15°=20×=10(-1).‎ 在Rt△ABE中,‎ AB=BE·tan 30°=(3-)(米).‎ 故所求的塔高为(3-)米.‎ 例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题.而这些几何问题通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,解之.若研究最值,常使用函数思想.‎ 解 ‎(1)由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD,‎ 得+=,‎ 解得H===124(m).‎ 因此,算出的电视塔的高度H是‎124 m.‎ ‎(2)由题设知d=AB,得tan α=.‎ 由AB=AD-BD=-,得tan β=.‎ 所以tan(α-β)= ‎=≤,‎ 当且仅当d=,‎ 即d===55时,‎ 上式取等号,所以当d=55时,tan(α-β)最大.‎ 因为0<β<α<,则0<α-β<,‎ 所以当d=55时,α-β最大.‎ 变式迁移3 解 设∠POB=θ,四边形面积为y,‎ 则在△POC中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ.‎ ‎∴y=S△OPC+S△PCD=×1×2sin θ+(5-4cos θ)‎ ‎=2sin(θ-)+.‎ ‎∴当θ-=,即θ=时,ymax=2+.‎ 所以四边形OPDC面积的最大值为2+.‎ 课后练习区 ‎1.D 2.A 3.C 4.C 5.C ‎6.‎30 km‎ 7.0.6‎ ‎8. 解析 ‎ 如图所示:设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.‎ 因为AB=200,所以BD=200-80t,‎ 问题就是求DE最小时t的值.‎ 由余弦定理得,DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60°‎ ‎=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t ‎=12900t2-42000t+40000.‎ ‎∴当t=时,DE最小.‎ ‎9.解 在△ACD中,∠DAC=30°,‎ ‎∠ADC=60°-∠DAC=30°,‎ 所以CD=AC=0.1.………………………………………………………………………(2分)‎ 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,‎ 所以△ABC≌△CBD,‎ 所以BA=BD.……………………………………………………………………………(6分)‎ 在△ABC中,=,‎ 即AB==,…………………………………………………………(10分)‎ 所以BD=≈0.33(km).‎ 故B、D的距离约为‎0.33 km.……………………………………………………………(12分)‎ ‎10.解 如图,连接A1B2,由题意知,‎ A1B1=20,A2B2=10,‎ A‎1A2=×30=10(海里).…………………………………………………………(2分)‎ 又∵∠B‎2A2A1=180°-120°=60°,‎ ‎∴△A‎1A2B2是等边三角形,‎ ‎∠B‎1A1B2=105°-60°=45°.……………………………………………………………(6分)‎ 在△A1B2B1中,由余弦定理得 B1B=A1B+A1B-‎2A1B1·A1B2cos 45°‎ ‎=202+(10)2-2×20×10×=200,‎ ‎∴B1B2=10(海里).…………………………………………………………………(10分)‎ 因此乙船的速度大小为 ×60=30(海里/小时).…………………………………………………………(12分)‎ ‎11.解 方法一 (1)依题意,有A=2,=3,‎ 又T=,∴ω=.∴y=2sinx.(3分)‎ 当x=4时,y=2sin=3,∴M(4,3).‎ 又P(8,0),∴MP==5.…………………………………………………………(5分)‎ ‎(2)如图,连接MP,在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5.‎ 设∠PMN=θ,‎ 则0°<θ<60°.‎ 由正弦定理得==,‎ ‎∴NP=sin θ,MN=sin(60°-θ),…………………………………………(8分)‎ ‎∴NP+MN=sin θ+sin(60°-θ)‎ ‎==sin(θ+60°).…………………………………………(12分)‎ ‎∵0°<θ<60°,∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.‎ 即将∠PMN设计为30°时,‎ 折线段赛道MNP最长.…………………………………………………………………‎ ‎(14分)‎ 方法二 (1)同方法一.‎ ‎(2)连结MP.在△MNP中,∠MNP=120°.MP=5,‎ 由余弦定理得,MN2+NP2-2MN·NP·cos∠MNP=MP2.………………………………(8分)‎ 即MN2+NP2+MN·NP=25.‎ 故(MN+NP)2-25=MN·NP≤2,‎ ‎……………………………………………………………………………………………(10分)‎ 从而(MN+NP)2≤25,即MN+NP≤.‎ 当且仅当MN=NP时等号成立.‎ 即设计为MN=NP时,‎ 折线段赛道MNP最长.…………………………………………………………………(14分)‎
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