2015高考数学（理）（正弦定理和余弦定理应用举例）一轮复习学案

2015高考数学（理）（正弦定理和余弦定理应用举例）一轮复习学案

学案24　正弦定理和余弦定理应用举例 导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ 自主梳理 ‎1．仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)‎ ‎2．方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．‎ ‎3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)‎ ‎①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．‎ ‎②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．‎ ‎③南偏西等其他方向角类似．‎ ‎4．坡角 坡面与水平面的夹角．(如图所示)‎ ‎5．坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α(i为坡比，α为坡角)．‎ ‎6．解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．‎ 自我检测 ‎1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是 (　　)‎ A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ ‎2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 ‎ ‎(　　)‎ A．北偏东10° B．北偏西10°‎ C．南偏东10° D．南偏西10°‎ ‎3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是 (　　)‎ A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b ‎4．在‎200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.‎ ‎5．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD.‎ 探究点一　与距离有关的问题 例1　(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ 变式迁移1　某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距‎31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走‎20千米到达D，此时测得CD为‎21千米，求此人在D处距A还有多少千米？‎ 探究点二　测量高度问题 例2　如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.‎ 变式迁移2　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进‎40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．‎ 探究点三　三角形中最值问题 例3　(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝‎4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.‎ ‎(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；‎ ‎(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为‎125 m，试问d为多少时，α－β最大？‎ 变式迁移3　(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．‎ ‎1．解三角形的一般步骤 ‎(1)分析题意，准确理解题意．‎ 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．‎ ‎(2)根据题意画出示意图．‎ ‎(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．‎ ‎(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．‎ ‎2．应用举例中常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2011·揭阳模拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为 (　　)‎ A．‎50 m B．‎50 m C．‎25 m D. m ‎3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为 (　　)‎ A. B. C. D．9 ‎4．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走‎3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 (　　)‎ A. B．2 C.或2 D．3‎ ‎5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时 (　　)‎ A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．一船以每小时‎15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．‎ ‎7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为‎10‎米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．‎ ‎8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝‎200 km，汽车以‎80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以‎50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝‎0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到‎0.01 km，≈1.414，≈2.449)．‎ ‎10．(12分)如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎11．(14分)(2009·福建)如图，‎ 某市拟在长为‎8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.‎ ‎(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；‎ ‎(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？‎ 答案 自我检测 ‎1．B　2.B　3.A ‎4. ‎5．解　由cos∠ADC＝＞0知B＜，‎ 由已知得cos B＝，sin∠ADC＝，‎ 从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)‎ ‎＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ‎＝×－×＝.‎ 由正弦定理得，＝，‎ 所以AD＝＝＝25.‎ 课堂活动区 例1　解题导引　这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．‎ 解　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，‎ ‎∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.‎ 在△DAB中，由正弦定理，得＝，‎ ‎∴DB＝＝ ‎＝＝10(海里)．‎ 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，‎ 在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20× ‎＝900，∴CD＝30(海里)，‎ ‎∴需要的时间t＝＝1(小时)．‎ 故救援船到达D点需要1小时．‎ 变式迁移1　‎ 解 如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，‎ cos B＝＝，‎ 所以sin B＝.‎ 在△ABC中，AC＝＝24，‎ 由BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·ABcos A，‎ 得AB2－24AB－385＝0，‎ 解得AB＝35，AB＝－11(舍)，‎ 所以AD＝AB－BD＝15.‎ 故此人在D处距A还有‎15千米．‎ 例2　解题导引　在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．‎ 解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BC＝＝，‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan∠ACB＝.‎ 变式迁移2　‎ 解 由题意可知，在△BCD中，CD＝40，‎ ‎∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，‎ 由正弦定理得， ‎＝，‎ ‎∴BD＝＝20.‎ 过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，‎ 测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.‎ 在Rt△BED中，‎ 又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.‎ ‎∴BE＝DB·sin 15°＝20×＝10(－1)．‎ 在Rt△ABE中，‎ AB＝BE·tan 30°＝(3－)(米)．‎ 故所求的塔高为(3－)米．‎ 例3　解题导引　平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．‎ 解 ‎(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，‎ 得＋＝，‎ 解得H＝＝＝124(m)．‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124 m.‎ ‎(2)由题设知d＝AB，得tan α＝.‎ 由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝.‎ 所以tan(α－β)＝ ‎＝≤，‎ 当且仅当d＝，‎ 即d＝＝＝55时，‎ 上式取等号，所以当d＝55时，tan(α－β)最大．‎ 因为0<β<α<，则0<α－β<，‎ 所以当d＝55时，α－β最大．‎ 变式迁移3　解　设∠POB＝θ，四边形面积为y，‎ 则在△POC中，由余弦定理得 PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos θ＝5－4cos θ.‎ ‎∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋(5－4cos θ)‎ ‎＝2sin(θ－)＋.‎ ‎∴当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.‎ 所以四边形OPDC面积的最大值为2＋.‎ 课后练习区 ‎1．D　2.A　3.C　4.C　5.C ‎6．‎30 km‎　7.0.6‎ ‎8. 解析 ‎　如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.‎ 因为AB＝200，所以BD＝200－80t，‎ 问题就是求DE最小时t的值．‎ 由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos 60°‎ ‎＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t ‎＝12900t2－42000t＋40000.‎ ‎∴当t＝时，DE最小．‎ ‎9．解　在△ACD中，∠DAC＝30°，‎ ‎∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，‎ 所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)‎ 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，‎ 所以△ABC≌△CBD，‎ 所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分)‎ 在△ABC中，＝，‎ 即AB＝＝，…………………………………………………………(10分)‎ 所以BD＝≈0.33(km)．‎ 故B、D的距离约为‎0.33 km.……………………………………………………………(12分)‎ ‎10．解 如图，连接A1B2，由题意知，‎ A1B1＝20，A2B2＝10，‎ A‎1A2＝×30＝10(海里)．…………………………………………………………(2分)‎ 又∵∠B‎2A2A1＝180°－120°＝60°，‎ ‎∴△A‎1A2B2是等边三角形，‎ ‎∠B‎1A1B2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分)‎ 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－‎2A1B1·A1B2cos 45°‎ ‎＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，‎ ‎∴B1B2＝10(海里)．…………………………………………………………………(10分)‎ 因此乙船的速度大小为 ×60＝30(海里/小时)．…………………………………………………………(12分)‎ ‎11．解 方法一　(1)依题意，有A＝2，＝3，‎ 又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.(3分)‎ 当x＝4时，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．‎ 又P(8,0)，∴MP＝＝5.…………………………………………………………(5分)‎ ‎(2)如图，连接MP，在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.‎ 设∠PMN＝θ，‎ 则0°<θ<60°.‎ 由正弦定理得＝＝，‎ ‎∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)，…………………………………………(8分)‎ ‎∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)‎ ‎＝＝sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)‎ ‎∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．‎ 即将∠PMN设计为30°时，‎ 折线段赛道MNP最长．…………………………………………………………………‎ ‎(14分)‎ 方法二　(1)同方法一．‎ ‎(2)连结MP.在△MNP中，∠MNP＝120°.MP＝5，‎ 由余弦定理得，MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2.………………………………(8分)‎ 即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.‎ 故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤2，‎ ‎……………………………………………………………………………………………(10分)‎ 从而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤.‎ 当且仅当MN＝NP时等号成立．‎ 即设计为MN＝NP时，‎ 折线段赛道MNP最长．…………………………………………………………………(14分)‎