2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）‎ A．－2 B．4 C．6 D．－6‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，使实部为0，虚部不为0，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 复数，若复数是纯虚数，‎ 则 ，解得a＝﹣6．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的分类，是基础题．‎ ‎2．用数学归纳法证明（）的过程中，从到时，左边需增加的代数式是 ( )‎ A．3k－1 B．9k C．3k＋1 D．8k ‎【答案】D ‎【解析】写出n＝k+1的表达式，用f（k+1）﹣f（k）即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 设f（k）＝k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2），‎ f（k+1）＝（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）‎ 则f（k+1）﹣f（k）＝3k﹣1+3k+3k+1﹣k＝8k，‎ 即需要增加的代数式为8k,‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数学归纳法的应用，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1的变化，属于中档题.‎ ‎3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)‎ A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数 C．假设至多有一个偶数 D．假设至多有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，‎ 所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）‎ A．0.8 B．0.2 C．0.1 D．0.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴为X=3,根据正态曲线的对称性可得结果.‎ ‎【详解】‎ 随机变量服从正态分布，‎ 则曲线的对称轴为X=3,‎ 由可得P(X≤1)=P(X≥5)=0.2，‎ 则(1-0.2-0.2)=0.3‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示，并根据对称性求解，考查数形结合的应用，属于基础题.‎ ‎5．一张储蓄卡的密码是6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个，某人在自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字，如果他记得最后一位是偶数，则他不超过两次就按对的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】任意按最后一位数字，不超过2次就按对有两种情形一种是按1次就按对和第一次没有按对，第二次按对，求两种情形的概率和即可；‎ ‎【详解】‎ 密码的最后一个数是偶数，可以为0,2,4,6,8‎ 按一次就按对的概率：,‎ 第一次没有按对，第二次按对的概率：‎ 则不超过两次就按对的概率：,‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的运用，是基础题.‎ ‎6．从5名同学中选出正，副组长各1名，有（ ）种不同的选法 A．10种 B．20种 C．25种 D．30种 ‎【答案】B ‎【解析】根据分步计数原理，可得不同的选法总数．‎ ‎【详解】‎ 先选正组长，有5种方法，再选副组长，有4种方法，‎ 根据分步计数原理，不同的选法共有5×4＝20种，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个基本原理的应用，属于基础题．‎ ‎7．过点作曲线的切线，则切线方程为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设切点坐标，求函数的导数，可得切线斜率和切线方程，代入点P，解方程可得切点和斜率，进而得到所求切线方程．‎ ‎【详解】‎ 设切点为（m，m3-3m），的导数为，‎ 可得切线斜率k＝3m2-3，‎ 由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），‎ 代入点可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），‎ 解得m＝0或m＝3，‎ 当m=0时，切线方程为，‎ 当m=3时，切线方程为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查过某一点的切线方程的求法，步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.‎ ‎8．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于( )‎ A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰好有1个红球的概率 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，易得从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球的概率，进而以此分析选项：对于A，2个球都不是红球，即从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球同时发生，由相互独立事件的概率公式可得其概率，对于B，2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，由相互独立事件的概率公式可得其概率，对于C、至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，由对立事件的概率性质可得其概率，对于D，从甲、乙两袋中摸球有三种情况，即2个球都不是红球，2个球都是红球，2个球中恰有1个红球，由互斥事件的概率性质，可得2个球中恰有1个红球的概率，将求得的概率与比较，即可得答案．‎ 解答：解：根据题意，从甲袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为1-=，从乙袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为1-=，依次分析选项，‎ 对于A、2个球都不是红球，即从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球同时发生，则其概率为×=，不合题意；‎ 对于B、2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，则其概率为×=，不合题意；‎ 对于C、至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，则其概率为1-=，符合题意；‎ 对于D、由A可得，2个球都不是红球的概率为，由B可得2个球都是红球的概率为，则2个球中恰有1个红球的概率为1--=，不合题意；‎ 故选C．‎ ‎9．将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种．‎ A．7 B．10 C．14 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分两种情况讨论，分别求出不同的放球方法数目，相加可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，‎ 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论：‎ ‎①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C41＝4种方法；‎ ‎②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C42＝6种方法；‎ 则不同的放球方法有4+6=10种，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个基本原理的应用和组合数的应用，属于基础题．‎ ‎10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求函数的导数，函数有两个极值点,可转为 有两个不同零点，变量分离，令，分析函数g(x)的单调性，最值，可得m范围．‎ ‎【详解】‎ 函数，定义域为R，‎ 因为函数f（x）有两个极值点，所以有两个不同的零点，‎ 故关于x的方程有两个不同的解，‎ 令，则，‎ 当x∈（﹣∞，1）时，g'（x）＞0，在区间（﹣∞，1）上单调递增，‎ 当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，在区间（1．+∞）上单调递减，‎ 又当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞；‎ 当x→+∞时，g（x）→0，且，故，‎ 所以，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.‎ ‎11．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）‎ A．34种 B．48种 C．96种 D．144种 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：,故选C.‎ ‎【考点】排列组合.‎ ‎12．已知函数（a∈R），若函数恰有5个不同的零点，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值，通过函数的图象，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 当x＞0时，，，‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；‎ 当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ 所以f（x）min＝f（1）＝1，‎ 当x≤0时，f（x）＝ax+3的图象恒过点（0，3），‎ 当a≤0，x≤0时，f（x）≥f（0）＝3，‎ 当a＞0，x≤0时，f（x）≤f（0）＝3，‎ 作出大致图象如图所示．‎ ‎ ‎ 方程f（f（x））﹣2＝0有5个不同的根，即方程f（f（x））＝2有五个解，‎ 设t＝f（x），则f（t）＝2．‎ 结合图象可知，当a＞0时，方程f（t）＝2有三个根t1∈（﹣∞，0），t2∈（0，1），t3∈（1，3）．(，∴1＜t3＜3），于是f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2有一个解，‎ f（x）＝t3有三个解，共有5个解，‎ 而当a≤0时，结合图象可知，方程f（f（x））＝2不可能有5个解．‎ 综上所述：方程f（f（x））﹣2＝0在a＞0时恰有5个不同的根．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点以及函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，考查数形结合的应用，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．的展开式中的系数为_______（用数字填写答案）.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】,根据的通项公式分r=3和r=2两种情况求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由展开式的通项公式可得：‎ 当r=3时，展开式中的系数为；‎ 当r=2时，展开式中的系数为，‎ 则的系数为80-40=40.‎ 故答案为：40．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎14．设随机变量的分布列为，0，1，2，…，，且，则 _____________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意得随机变量，运用数学期望求解n，从而可得方差的值．‎ ‎【详解】‎ 随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，…，n，‎ 可得 Eξ＝n×=24，解得n＝36，‎ ‎∴Dξ＝36××＝8，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布的期望与方差，若随机变量，则.‎ ‎15．空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个点共面,这12个点可确定____个不同的平面 ‎【答案】211‎ ‎【解析】把12个点分四类分别计算各自确定的平面的个数，求和即可.‎ ‎【详解】‎ 分四类考虑，‎ ‎① 5个共面点可确定1个平面；‎ ‎②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定7个平面；‎ ‎③5个共面点中任何1个点和其余7个点中任意2点确定5个平面；‎ ‎④7个点中任意3点确定个平面.‎ 所以共确定平面的个数为1+7+5+=211个.‎ 故答案为：211‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间平面个数的确定，利用不共线的三点确定一个平面，利用排列组合的知识进行求解,或者使用列举法进行列举．‎ ‎16．对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，根据函数单调性可得f（x）∈[﹣1，e2]，然后令g（x）＝ax﹣ex，由x1≠x2，g（x1）＝g（x2），可知y＝mlnm﹣m与y＝g（x）的图象有2个交点，结合函数单调性即可求解．‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 当时，f′（x）＝lnx＜0，∴f（x）单调递减，‎ 当1＜x＜e2，f′（x）＝lnx＞0，∴f（x）单调递增，‎ ‎∵，故函数f（x）的值域为.‎ 令g（x）＝ax﹣ex，则g′（x）＝a﹣ex，且x1≠x2，g（x1）＝g（x2），‎ ‎①当a≤0时，g′（x）＝a﹣ex＜0恒成立，∴g（x）在R上单调递减，‎ 与x1≠x2，g（x1）＝g（x2），矛盾 ‎②当a＞0时，当x＞lna时，g′（x）＝a﹣ex＜0，∴函数g（x）单调递减，‎ 当x＜lna时，g′（x）＝a﹣ex＞0，∴函数g（x）单调递增，‎ ‎∵当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞且 g（x）max＝g（lna）＝alna﹣a，‎ ‎∴当x1≠x2时，若g（x1）＝g（x2）＝mlnm﹣m，‎ 则y＝mlnm与y＝g（x）有2个不同的交点，‎ ‎∴alna﹣a＞e2＝e2lne2﹣e2，又a＞0‎ 由f(x)的单调性可得a＞e2，‎ ‎∴实数a的取值范围为：（e2，+∞）．‎ 故答案为：（e2，+∞）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数在函数单调性中的应用，考查利用导数研究函数的最值，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．某超强台风登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：‎ 经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 ‎30‎ 捐款低于500元 ‎6‎ 合计 台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ 附：临界值表 ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ 参考公式： ， .‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎【详解】‎ 根据题意填写列联表如下，‎ 经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 ‎30‎ ‎9‎ ‎39‎ 捐款低于500元 ‎5‎ ‎6‎ ‎11‎ 合计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ 计算，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验应用问题，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎(1)求圆心的极坐标；‎ ‎(2)求面积的最大值．‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】（1）先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2，再把圆心的坐标化为极坐标.(2)先求出弦长AB,再求点P到直线AB距离的最大值，即得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ 所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.‎ ‎(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，‎ 圆心到直线l的距离d＝，‎ 所以|AB|＝2＝，‎ 点P到直线AB距离的最大值为，故最大面积Smax＝.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查弦长的计算、圆和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求圆的弦长经常用到公式.（3）解答本题的关键是利用数形结合求出点P到直线AB的最大值.‎ ‎19．已知函数，若恒成立，求实数的最大值。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】恒成立问题变量分离，构造函数，转为求g(x)的最小值问题.‎ 对函数g(x)求导，判断单调性，即可得到最值.‎ ‎【详解】‎ 函数f(x)的定义域为，若恒成立，变量分离得 ‎，令,即，‎ ‎，x=e,‎ 当时，函数g(x)单调递减，‎ 当时，函数g(x)单调递增，则,‎ 故，‎ 即a的最大值为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查恒成立问题的解法，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.‎ ‎20．已知函数，其中.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式.‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】（1）求函数f（x）的导数，令f'（2）＝4求出a值，利用切点P（2，f ‎（2））在函数f（x）和切线y＝4x﹣2上，求出b值，可得答案．（2）求导函数，比较导函数等于0的方程根的大小，分类讨论，确定函数的单调性；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）求导函数得f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2‎ ‎∵若曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y＝4x﹣2‎ ‎∴f′（2）＝4a﹣2（a+2）+2＝4‎ ‎∴2a＝6，∴a＝3,‎ ‎∵点P（2，f（2））在切线方程y＝4x﹣2上,‎ ‎∴f（2）＝4×2﹣2＝6，∴2+b＝6，∴b＝4‎ ‎∴函数f（x）的解析式为；‎ ‎（2）f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝(ax-2)(x-1),函数定义域为R，‎ ‎①当a=0时，f′（x）＝﹣2（x-1）,‎ 函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；‎ ‎②当0＜a＜2，即时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）及（，+∞）上为增函数；在区间（1，）上为减函数；‎ ‎③当a＞2，即时，函数f（x）在区间（﹣∞，）及（1，+∞）上为增函数；在区间（，1）上为减函数；‎ ‎④当a=2时，f′（x）＝(2x-2)(x-1)=，可知函数在定义域上为增函数.‎ ‎⑤当时，函数在区间及（1，+∞）上为减函数，在区间上为增函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎21．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. ‎ ‎（1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；‎ ‎（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值为元和元的两种球组成，或标有面值元和 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）40；（2）选择方案（20,20,40,40）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）（ⅰ）摸出2个球共有种方法，由题意得摸出2个球中一个为面值为50元，另一个为10元的，所以有种方法，所求概率为；（ⅱ）先确定随机变量取法：20,60.再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据公式求数学期望（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以数学期望为60元.因此只能有两个方案：（10,10,50,50），（20,20,40,40），这两个方案的数学期望皆为60，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，即方差要尽可能小，计算两者方差得选择方案（20,20,40,40）.‎ 试题解析：（1）设顾客所获的奖励额为X，‎ ‎（ⅰ）依题意，得P（X＝60）＝＝，‎ 即顾客所获的奖励额为60元的概率为.‎ ‎（ⅱ）依题意，得X的所有可能取值为20,60.‎ P（X＝60）＝，P（X＝20）＝＝，‎ 即X的分布列为 X ‎20‎ ‎60‎ P 所以顾客所获的奖励额的期望为 E（X）＝20×＋60×＝40（元）．‎ ‎（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10,10,10,50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择（50,50,50,10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10,10,50,50），记为方案1.‎ 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20,20,20,40）和（40,40,40,20）的方案，所以可能的方案是（20,20,40,40），记为方案2.‎ 以下是对两个方案的分析：‎ 对于方案1，即方案（10,10,50,50），设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎100‎ P X1的期望为E（X1）＝20×＋60×＋100×＝60，‎ X1的方差为D（X1）＝（20－60）2×＋（60－60）2×＋（100－60）2×＝.‎ 对于方案2，即方案（20,20,40,40），设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ P X2的期望为E（X2）＝40×＋60×＋80×＝60，‎ X2的方差为D（X2）＝（40－60）2×＋（60－60）2×＋（80－60）2×＝.‎ 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.‎ ‎【考点】古典概型概率，数学期望及方差 ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 ‎（1）列举法.‎ ‎（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎22．已知函数 .‎ ‎（1）求函数的极小值；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）由题意可得分类讨论函数的极小值即可.‎ ‎（2）令，原问题等价于,即证.据此分类讨论，和三种情况即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，即时，，函数在上单调递增，无极小值；‎ 当时，即时，，函数在上单调递减；‎ ‎，函数在上单调递增；‎ ‎，‎ 综上所述，当时，无极小值；当时，‎ ‎（2）令 当时，要证：，即证,即证，‎ 要证，即证.‎ ‎①当时，‎ 令，，所以在单调递增，‎ 故，即.‎ ‎，‎ 令，，‎ 当，在单调递减；，在单调递增，故，即.当且仅当时取等号 又，‎ 由、可知 所以当时，‎ ‎②当时，即证.令，，在上单调递减，在上单调递增，，故 ‎③当时，当时，，由②知，而，‎ 故；‎ 当时，，由②知，故；‎ 所以，当时，.‎ 综上①②③可知，当时，.‎ ‎【点睛】‎ 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎