人教新课标A版高一数学2-1-1数列的概念与简单表示法(一)）

人教新课标A版高一数学2-1-1数列的概念与简单表示法(一)）

备课资料 一、数列通项公式的求法介绍 求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此 求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例. 1.观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项. 【例 1】 已知数列 2 1 , 4 1 , 8 5 , 16 13 , 32 29 , 64 61 ,…,写出此数列的一个通项公式. 解：观察数列前若干项可得通项公式为 an=(-1)n n n 2 32  . 2.公式法 已知数列的前 n 项和求通项时，通常用公式 an=       2, ,1, 1 1 nSS nS nn , Sn-Sn-1,n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合 二为一”,即 a1 和 an 合为一个表达式. 【例 2】 已知数列{an}的前 n 和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n+1,求此数列的通项公式. 解:由条件可得 Sn=2n+1-1， 当 n=1 时，a1=3,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n. 所以 an=3,n=1, 2n,n≥2. 3.累差迭加法 若数列{a n}满足 a n+1=an+f(n)的递推式，其中 f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭 加法求通项. 【例 3】 已知数列 6，9，14，21，30，…，求此数列的通项. 解：∵a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…，an-an-1=2n-1, 各式相加得 an-a1=3+5+7+…+(2n-1), ∴an=n2+5(n∈N). 4.连乘法 若 数 列 {a n} 能 写 成 an=a n-1+(n)(n≥2) 的 形 式 ， 则 可 由 an=a n-1f(n),a n-1=a n-2f(n-1),an-2=a n-3f(n-2),…,a2=a1f(2)连乘求得通项公式. 【例 4】 已知数列{an}满足 a1=1,Sn= 2 )1( nan  (n∈N)，求{a n}的通项公式. 解:∵2Sn=(n+1)an(n∈N)， 2S n-1=na n-1(n≥2,n∈N)， 两式相减得 2an=(n+1)an-na n-1，∴ 11   n n a a n n (n≥2,n∈N). 于是有 1 2 1 2  a a , 2 3 2 3  a a , 3 4 3 4  a a ，…, 11   n n a a n n (n≥2,n∈N)， 以上各式相乘，得 an=na1=n(n≥2,n∈N).又 a 1 =1，∴an=n(n∈N). 5.求解方程法 若数列{a n}满足方程 f(an)=0 时，可通过解方程的思想方法求得通项公式. 【例 5】 已知函数 f(x)=2x-2 -x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n,求数列{an}的通项公式. 解:由条件 f(log2an)=2 log2an-2-log2 an=-2n,即 naa n n 21  . ∴an2+2nan-1=0,又 an＞0，∴an= 12 n -n. 6.迭代法 若数列{an}满足 an=f(an-1)，则可通过迭代的方法求得通项公式. 二、阅读材料 愚公的子子孙孙 《愚公移山》中愚公说过这样一段话：“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙 子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽……”愚公的话，不但表达 了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列. 设愚公的儿子，即第一代的人数为 a1； 愚公的孙子，即第二代子孙的人数为 a2； 孙子的儿子，即第三代子孙的人数为 a3； 一般地，第 n 代子孙的人数为 an. 这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列 a 1，a2，a3，an.（1) 这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它 前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来确 定(1)的具体数字.如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子(假 设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列(1)就可成为递推数列： an+1=2an.(2) 如果愚公有 3 个儿女，即 a1=3，就得到下面这个数列： 3，6，12，24，48，96，（3) 这个数列(3)，就是一个满足 an+1=2an 的数列.