重庆中考复习抛物线与与平移折叠旋转相关的动态问题练习含答案

重庆中考复习抛物线与与平移折叠旋转相关的动态问题练习含答案

抛物线与与平移、折叠、旋转相关的动态问题（含答案）‎ 例1. 已知如图①：抛物线y＝ax2－x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1，且过点；‎ ‎(1)求出抛物线的解析式及点C坐标．‎ ‎(2)点D为抛物线的顶点，点E，作直线BE交抛物线于另一点F，点K为点D关于直线BE的对称点，连接KE，求△KEF的面积．‎ ‎(3)如图②，在(2)的条件下，将△FKE绕着点F逆时针旋转45°得到△FK′E′，点M、N分别为线段FE、BA上的动点，动点M以每秒个单位长度的速度从F向E运动，动点N以每秒1个单位长度的速度从B向A运动，M、N同时出发，连接ME′，当点N到达A点时，M、N同时停止运动，设运动时间为t秒．在此运动过程中，是否存在时间t，使得点N在线段ME′的垂直平分线上？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．‎ 针对训练：‎ ‎1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为点D.‎ ‎(1)求抛物线和直线AD的解析式；‎ ‎(2)直线AD与y轴交于点F，点E是点C关于对称轴的对称点，点P是线段AE上一动点，将△AFP沿着FP所在的直线翻折得到△A′FP，当△A′FP与△AED重叠部分为直角三角形时，求AP的长．‎ ‎2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B.抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，并且与直线相交于点C.已知点C的横坐标为－4.‎ ‎(1)求二次函数的解析式以及cos∠BAO的值；‎ ‎(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点(不与点A、点C重合)．过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，作PF⊥AC于点F.当△PEF的周长与△ADE的周长之比等于∶2时，求出点D的坐标并求出此时△PEF的周长；‎ ‎(3)在(2)的条件下，将△ADE绕平面内一点M按顺时针方向旋转90°后得到△A1D1E1，点A、D、E的对应点分别是A1、D1、E1.若△A1D1E1的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点A1的坐标．‎ 抛物线与与平移、折叠、旋转相关的动态问题答案 例1. 　解：(1)由题意得：‎ ⇒∴y＝x2－x－，‎ 点C坐标为.‎ ‎(2)如图，连接DE，延长FD交y轴于点G，‎ ‎∵点K为点D关于直线BE的对称点，∴S△KEF＝S△DEF.当y＝0时，x2－x－＝0，解得：x1＝－1，x2＝3.‎ ‎∴A(3，0)，B(－1，0)．∵B(－1，0)，E(0，1)，‎ ‎∴直线BE的解析式为y＝x＋1.‎ 解方程x＋1＝x2－x－，得：x1＝－1，x2＝5.‎ 则F(5，6)．∵点D坐标为(1，－2)，‎ ‎∴直线DF的解析式为y＝2x－4.则G(0，－4)．‎ ‎∴S△KEF＝S△DEF＝S△EFG－S△EDG ‎＝×(1＋4)×(5－1)＝10.‎ ‎(3)旋转后的图形如图：由直线y＝x＋1可得：∠FBA＝45°.‎ 则逆时针旋转45°得到△FK′E′且FE′⊥x轴．‎ ‎∵E(0，1)，F(5，6)，∴FE′＝FE＝5 ，则E′(5，6－5 )．‎ 作MT⊥FE′于点T，连接NM，NE′，则△MFT为等腰直角三角形，‎ ‎∵FM＝t，∴FT＝MT＝t，则M(5－t，6－t)．∵N(t－1，0)，‎ 当点N在线段ME′的垂直平分线上时，‎ NM＝NE′，∴(5－t－t＋1)2＋(6－t)2＝(t－1－5)2＋(0－6＋5 )2，解得：t1＝<4，t2＝6－<4，‎ 当t1＝时，N1，‎ 当t2＝6－时，N2.‎ 针对训练：‎ ‎1. 解：(1)抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3，‎ 直线AD的解析式为y＝2x＋2.‎ ‎(2)共分4种情况：‎ ‎①∠FRP＝90°，如图①，FA′交AE于点R.‎ F(0，2)，AF＝＝DF，‎ E(2，3)，∴DE＝，AD＝2 ，AE＝3 .‎ ‎∵DE2＋AE2＝20＝AD2，∴∠DEA＝90°.‎ ‎∵∠FRA＝∠DEA＝90°，∴FR∥DE.‎ ‎∵F为DA的中点，∴FR为△DAE中位线，‎ ‎∴AR＝AE＝ ，FR＝DE＝.‎ ‎∴x＝.‎ ‎∴AP＝－＝；‎ 过P点作PK⊥AF于K点，在△PKF和△PRF中，‎ ‎△PKF≌△PRF.∴PK＝PR，FK＝FR.‎ 设PR＝PK＝x，则PA＝－x，AK＝AF－KF＝－，∵AK2＋PK2＝AP2，‎ ‎∴(－)2＋x2＝(－x)2，‎ ‎②∠FPA′＝90°，如图②，‎ 由①可知FP为△DAE的中位线，‎ ‎∴AP＝AE＝ ；‎ ‎③∠PFA′＝90°，如图③，‎ ‎∵FA＝FD，PF⊥AD，‎ ‎∴PF为AD的垂直平分线，∴AP＝DP.‎ 设AP＝x，则PE＝3 －x，‎ ‎∵PE2＋DE2＝PD2，‎ ‎∴(3 －x)2＋2＝x2，∴x＝，‎ ‎∴AP＝；‎ ‎④∠PK′F＝90°，如图④，‎ 过点F作FW⊥AE于点W，‎ 由①可知，FW＝DE＝，AW＝AE＝，‎ ‎∵∠WPF＝∠K′PF，FK′⊥PK′，FW⊥AP，‎ ‎∴FK′＝FW＝，∴AK′＝＋.‎ ‎∵∠K′AP＝∠EAD，∠AK′P＝∠AED＝90°，∴△AK′P∽△AED，‎ ‎∴＝，＝，∴PK′＝，‎ ‎∴PW＝PK′＝，‎ ‎∴AP＝AW＋WP＝＋＝.‎ 综上，AP的长度为或或或.‎ ‎2. 解：(1)对于y＝－x＋3，‎ 当x＝－4，y＝5，∴C(－4，5)，‎ 当y＝0，x＝6，∴A(6，0)，‎ 当x＝0，y＝3，∴B(0，3)．‎ 将A(6，0)和C(－4，5)代入y＝x2＋bx＋c，‎ 得解得 ‎∴二次函数的解析式为y＝x2－x－3.‎ 在Rt△AOB中，AB＝＝3 ，‎ 则cos∠BAO＝＝；‎ ‎(2)∵PD⊥x轴，PF⊥AE于F，∴∠EDA＝∠PFE＝90°.∵∠PEF＝∠PEF，∴△PEF∽△AED，∴＝，‎ 设D(a，0)，P(a，a2－a－3)，E(a，－a＋3)，‎ PE＝－a2＋a＋6，AE＝＝(6－a)．‎ 由题得：＝，解得a1＝1，a2＝6(舍)．‎ ‎∴D(1，0)，E(1，)，此时C△PEF＝＋；‎ ‎(3)当A1、E1在抛物线上，如图①，‎ 设A1(b，b2－b－3)，D1(b，b2－b＋2)，E1(b＋，b2－b＋2)，‎ 则(b＋)2－(b＋)－3＝b2－b＋2，‎ 解得b＝，∴A1(，－)，‎ 当D1、E1在抛物线上，如图②，此时D1、E1关于对称轴对称，设xD1＝c，则xE1＝＋c.‎ ‎∵＝2，解得c＝，∴A1(，－)．‎