中考数学函数学案

中考数学函数学案

函数 定义 解析式 三种函数 一次函数 二次函数 反比例函数 平面直角坐标系 坐标特征 图像与性质 待定系数法的应用 第五单元 函数 ‎【知识网络】‎ 第一讲 平面直角坐标系 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1． 理解平面直角坐标系的概念，并能根据坐标确定点在直角坐标系中的位置或者由坐标系中的点确定坐标。‎ ‎2．掌握各象限点的坐标的符号特征。 ‎ ‎3．掌握对称点的坐标特征。‎ ‎4．理解坐标轴上，平行于坐标轴的直线上以及各象限角平分线上的点的坐标特征。‎ 二、命题落点 ‎1．利用数形结合的思想，确定点的坐标和对称点的坐标，如例3和例6。‎ ‎2．在中考中引入游戏，在游戏中考察平面直角坐标系的有关知识，如例2和例4。‎ ‎3．利用平面直角坐标系，考察多个知识点的综合题，如例1和例5。 ‎ ‎【典例精析】 ‎ 例1：已知点Q（）在第一象限角平分线上，则m= 。‎ 解析第一象限角平分线上的点的坐标特征是横纵坐标相等，则有：解的：‎ ｍ=2或m= -1,且当m=2或m= -1均有所以m=2或m=-1. .‎ 例2：（2005宜昌市）在5×5方格纸中将图 ‎（1）中的图形N平移后的 位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法 是（ ）‎ A．先向下移动1格，再向左移动1格 B．先向下移动1格，再向左移动2格 C．先向下移动2格，再向左移动1格 D．先向下移动2格，再向左移动2格 解析本题主要考查把平面分成若干行，若干列，然后图形根据平面内的行和列来进行有规律的移动。 答案： C 例3：（2005扬州市）如果点P（x,y）关于原点的对称点为（－2，3），则x+y= 。解析本题主要考查平面直角坐标系中某点关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标特点：关于x轴对称横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于y轴对称横坐标互为相反数、纵坐标不变，关于原点对称横、纵坐标均互为相反数。所以本题中x=2，y=－3，故x+y=－1 答案：－1‎ 例4：（2005杭州）如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋② 的坐标为（－7，－4）,白棋④的坐标为（－6，－8）,那么黑棋①的坐标应该是 .‎ 解析本题主要考查把平面分成若干行，若干列，然后利用行、‎ 列来表示平面上点的位置。‎ 答案：（－3，－7）‎ 例5：（2005济宁市）如图，在方格纸中，有一平行四边形ABCD，则它关于x轴对称图形的顶点坐标是（2，－1）、（4，－1）、（6，－3）和 （ ）‎ ‎ A．（3，4） B．（4，－3） C．（4，3） D．（－4，3）‎ 解析此题是关于平面直角坐标系知识点的一道小综合题，先要确定平面内图形各顶点的坐标，然后再根据平面直角坐标系中某点关于x轴的对称点的坐标特点，即关于x轴对称横坐标不变、纵坐标互为相反数，来找出最后一个顶点关于x轴对称图形的顶点坐标是（4，－3）。‎ 例6：（2005日照）某二元方程的解是若把x看作平面直角坐标系中点的横坐标，y看作平面直角坐标系中点的纵坐标，下面说法正确的是 （ ）‎ A．点（x，y）一定不在第一象限 B．点（x，y）一定不是坐标原点 ‎ C．y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 解析本题是一道函数与方程相结合的小型综合题，把一元二次方程组的特点应用于函数。答案 B ‎【常见误区】‎ ‎1． 在直角坐标系中，学生容易忽视对称点的坐标，角平分线上的坐标，坐标轴上的坐标的特点和规律。某点关于x轴或y轴对称，则对称点坐标的横坐标或纵坐标保持不变容易混淆。其次，在第一、三象限的角平分线的坐标的横纵坐标的相等，在第二、四象限的角平分线上的坐标的横纵坐标互为相反数，在历次中考中时均是考察的重点，也是最容易出错的地方。‎ ‎2．试题的人性化设计，使学生的应试方式发生变化，难度增大。 游戏题、趣味性的智力竞赛题的引入中考,使试题的结构发生了变化，随之，学生的学习的方式也应该发生变化，但是，平时不经常对此类试题进行练习的人就很生疏，给考试增加了不确定的因素。所以平时应该加强此类试题的训练。‎ ‎3．平面直角坐标系与几何知识的融合使学生束手无策，忽视数形结合思想的运用。‎ ‎【基础演练】‎ ‎1． 小明到电影院看电影，若将他电影票上的位置记作（3，6），那么电影票上的位置是 排 ‎ 号。‎ ‎2． 若ab=0，则p点（a，b ）在（）A x轴上 B y轴上 C 坐标原点上 D x轴或y轴上 ‎3． 在平面直角坐标系中点（0，－2）、（0，0）、（3，0）、（0，-4），在轴上的点有 （ ）‎ A．1个； B．2个； C．3个； D．4个； ‎ ‎4．点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标是 ．‎ ‎5．若点A（a, 1）在第一象限内，则点B（a+1，－1）在 （ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎6．点A在第三象限，点A到x轴的距离为4，点A到y轴的距离为3，那么点A的坐标为 ‎ （ ）‎ ‎ A．（4，3） B．（－3，－4） C．（3，4） D．（－4，－3） ‎ ‎7．如果点P1 （—1，3 ）和P2 （1，b ）关于y轴对称，则b = 。 ‎ ‎8. 在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A’点，则A与A’的关系是 （ ） ‎ ‎ A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 ‎ ‎ C．关于原点对称 D．将A点向x轴负方向平移一个单位 参考答案1. 3 6 2. D 3. B 4. P（-1，2） 5. D 6. B 7. 3 8. C ‎ 第二讲 一次函数的图象与性质 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1．正确理解正比例函数、一次函数的概念。‎ ‎2．画出正比例函数和一次函数的图像，并能根据函数图像说出函数的性质以及函数在实际问题中成立的条件。‎ ‎3．熟练掌握确定一次函数关系式的重要方法：待定系数法。‎ ‎4．理解正比例函数和一次函数在解析式和图像上的联系与区别。‎ ‎5．熟练应用一次函数的图像和性质解决实际问题，为生活服务。‎ 二、命题落点 ‎1．正比例函数、一次函数的概念与一元二次方程的相结合，如例1。‎ ‎2．实际生活中的函数图像问题是中考的热点问题，如例3、例4和例6。‎ ‎3．正比例函数y=kx、一次函数y=kx+b（k≠0）中自变量的系数与函数图像所在的象限的关系，如例5。‎ ‎【典例精析】 ‎ 例1：设函数当m为何值时， 它是正比例函数、一次函数？此时它们的图像经过哪几个象限？有何性质？‎ 解析本题主要考察正比例函数、一次函数的概念、图像和性质的综合性问题，题目设计简单，主要是让大家熟悉正比例函数、一次函数知识的应用。‎ 答案：此函数若为一次函数，则，即是解之，得m=1或m=4，且m-2≠0，即是m≠2。‎ 故m=1或m=4.此时，函数图像经过第二、三、四象限，当x增大时，y随x的增大而减小；此函数若为正比例函数，则m-4=0,即是m=4.此时，函数图像经过原点以及第一、三象限，当x增大时，y随x的增大而增大。‎ 例2：（上海市2005年）点A（2，4）在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是　　　　　　　‎ 解析本题首先是考察正比例函数的概念和性质，利用点在函数的图像上，则点A一定在y=kx上，把（2,4）代入得k=2。 答案： y=2x 例3：（常德市2005年）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。下面是行驶路程s（米）关于时间t（分）的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是　 （　 ）‎ 解析此题是函数问题在实际生活中的应用。解决此类题目只要抓住题目中的关键问题即可判断对错。例如在题目中小明修车时的路程与时间的关系，很明显选C。 ‎ ‎ 答案：C 例4：（2005年陕西省）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到A地18千米的B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，符合图象描述的说法是（）A．甲在行驶过程中休息了一会B．乙在行驶过程中没有追上甲C．乙比甲先到达B地D．甲的行驶速度比乙的行驶速度大 解析此题是函数的图像问题，通过观察函数的图像，挖掘函数图像告诉你的信息来判断问题。由甲的图像是一条直线，没有中间休息时的时间变化而路程不变化的图像，很明显A错误；由甲乙两人的解析式相交，说明两人在行试过程中相遇，故B错误；D选项可以通过计算判断结果错误。‎ 例5：（湖州2005）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 解析此题也是函数的图像问题，考察正比例函数y=kx的系数k与函数图像所在象限的关系，正比例函数y=kx经过第一、三象限，则k>0.其经过第二、四象限，则k<0。①y=ax,②y=bx在同一个象限，这属于初中内容的延伸，在高中正式学习，不过，此题可以自己通过画图自己验证a与b的大小关系。答案：C 例6：（2005年佛山市）如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中，行使的路程与经过的时间之间的函数关系．请根据图象填空： 出发的早，早了 小时， 先到达，先到 小时，电动自行车的速度 km / h，汽车的速度为 km / h．‎ 解析本题是实际生活中的函数问题，电动自行车的坐标时间是从0小时开始，而汽车是从2小时开始，由此可见，电动自行车先出发2小时。由汽车所用时间的坐标是在3小时到达，而电动自行车的坐标时间是5小时，由此可见，汽车先到达2小时。对于两者的路程都是90km，电动自行车的时间是行使了5小时，而汽车行使了1小时，两者的速度很容易求得。‎ 答案：甲（或电动自行车），2，乙（或汽车），2，18，90 ．‎ 例7：（日照2005年）学校春季运动会期间，负责发放奖品的张也同学，在发放运动鞋（奖品）‎ 时，对运动鞋的鞋码统计如下表：‎ 新鞋码（y）‎ ‎225‎ ‎245‎ ‎…‎ ‎280‎ 原鞋码（x）‎ ‎35‎ ‎39‎ ‎…‎ ‎46‎ 如果获奖运动员李伟领取的奖品是43（原鞋码）的运动鞋，则这双运动鞋的新鞋码是 ‎ （ ）‎ ‎ A．270 B．255 C．260 D．265‎ 解析本题是一道找规律题，只要找出新鞋码与原鞋码的关系即可。答案：D ‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图像不经过（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点（1，-1）且与直线2x+y=5平行，则此一次函数的解析式为 ，其图像经过第 象限。‎ ‎3．如直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m,8）,则a+b= 。‎ ‎4．已知一次函数物图象经过A（-2,-3）,B（1,3）两点.（1）求这个一次函数的解析式;（2）试判断点P（-1,1）是否在这个一次函数的图象上?‎ ‎5．若直线y=3x+6与两坐标轴围成的三角形的面积是24，则b=　　　　。 ‎ ‎6．函数y=-x-4的图像与ｘ轴的交点坐标是　　。函数的最大值是　　。 ‎ ‎7．如图表示某学校秋游活动时，学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系的示意图，请根据示意田回答下列问题： （1）学生何时下车参观第一风景区?参观时间有多长?（2）11:00时该车离开学校有多远?（3）学生何时返回学校，返回学校时车的平均速度是多少?‎ 图9‎ A 路程（千米米）‎ 时间（分）‎ ‎1200‎ ‎26‎ ‎20‎ O B 路程（千米）‎ 时间（分）‎ ‎1200‎ ‎24‎ ‎12‎ O C 路程（千米）‎ 时间（分）‎ ‎1200‎ ‎6‎ O ‎8.小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回，小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行。三人步行的速度不等，小明和爷爷骑自行车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系如图9中的A、B、C表示，根据图象回答下列问题： ‎ ‎ （1）三个图象中哪个对应小明、爸爸、爷爷？‎ ‎ （2）小明家距离目的地多远？小明与爷爷骑自行车的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？‎ 参考答案：‎ ‎1．A 2．y=-2x+1,一、二、四 3．16 4．y=2x+1,不在 5． ‎ ‎6．（-4,0）,最大值是-2 ‎ ‎7．从图 象上可以看出，该校学生上午8点出发，8点到9点、10点半到11点半、14点到16点这些时段路程有发生变化，说明学生是在路途中，而9点到l0点半、11点半到14点这两个时段的路程没有发生变化，说明学生在参观景区或休息。如果同学们能够从图象上获取这些信息，对于上述的几个问题就容易得到解决。 ‎ ‎8．A是爷爷，B是爸爸，C是小明。1200千米。‎ 第三讲 一次函数的应用 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1． 熟练掌握在实际问题中确定一次函数的解析式和自变量的取值范围。‎ ‎2． 能够在同一个直角坐标系中研究多个函数图像的分部情况，从中能提炼出各个函数的区别和联系。‎ ‎3． 理解在实际问题中自变量的取值范围具有的实际意义。‎ ‎4． 会应用一次函数的知识解决实际问题。‎ 二、命题落点 ‎1． 运用待定系数法确定函数的解析式。‎ ‎2． 考察图像的交点问题。把图像的交点问题与方程组的解、不等式问题互化。‎ ‎3． 利用平面几何中最短问题为平台，考察函数问题，注重对称知识的应用。‎ ‎4． 函数与物理知识的相结合。 ‎ ‎【典例精析】 ‎ 例1：（2005年江苏南通市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？‎ 解析本题是一道一次函数应用题，第一小题考察识图能力，通 过待定系数法确定函数的解析式。通过看图可以知道直线经过 ‎320‎ y（桶）‎ x（元/桶）‎ O ‎4‎ ‎5‎ ‎400‎ 两点（4.400），（5.320）。利用这两点代入y＝kx＋b求解，此 时需要解二元一次方程组。考察大家的计算能力。第二小题是 第一小题结论的一个应用，把实际问题转化为函数。也是函数 上某一点的实际意义的应用。我们知道该班学生买饮料每年总 费用为50×120＝6000（元），当y＝380时，，‎ 得 x＝4.25,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380‎ ‎×4.25+780＝2395（元）,显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱 少。第三小题是本题的一个很好的延伸，拓展学生的思维能力。‎ 解：（1）y与x的函数关系式为．‎ ‎ （2）略 ‎ （3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则W ＝xy＝x（－80x+720）＝，∴当 x＝时， ＝1620，要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a≥+780，即 50a≥1620+780，解之，得 a≥48．所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯． ‎ 例2：公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米。（1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式。（2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站，汽车若按原速能否按时到达？若能是在几点几分，若不能，车速最少应提高到多少？ ‎ 解析 根据已知可确定车速为40千米/时，故（1）便可解决：y=40x+10,由已知可知从P地到C站，须在4小时内走完，而实际这段路程需4.25小时，所以按原速度不能按时到达；从P地到B站，用去时间3.5小时，故剩下的30千米，必须在0.5小时内走完。 ‎ 答案：（1）y=40x+10（2）当y=150+30=180（千米）时，则汽车按原速不能按时到达。当y=150（千米）时，设提速后车速为v,则[（12-8）-3.5]v=30 v=60（千米/时）‎ 例3：（2005年陕西省） 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：‎ 印数x（册）‎ ‎5000‎ ‎8000‎ ‎10000‎ ‎15000‎ ‎…‎ 成本y（元）‎ ‎28500‎ ‎36000‎ ‎41000‎ ‎53500‎ ‎…‎ ‎ （1）经过对于表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；‎ ‎ （2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？‎ 解析该读物投入的成本与印数的关系通过如上表格体现出来，正是列表法求函数关系式的表示方法。根据一次函数当表达式，把上面几组数据代入求解。而当出版社投入成本为48000元时，利用求得的函数关系式求解。答案：（1） （2）‎ 例4：（2005年河北省）在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示. 请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？‎ 解析此题考察函数图像在实际问题中的应用。解决此类问题关键是挖掘图像隐含的条件。例如两根蜡烛燃烧前的高度即是时间为0，与ｙ轴相交；燃烧完毕的时间即是高度为0，与ｘ轴相交。第二小题利用待定系数法，根据图中告诉我们的点的坐标求函数解析式。第三小题可以通过列方程或不等式解决，也可以直接观察图像解决。由题意得，解得 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等.由观察图象可知：当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低.答案：（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时；（2）（3）当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等.当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低.‎ O AO BO ‎5O Y（升）O X（小时）‎ ‎30O 例5：（2005年临沂市） 如图，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线y=－x是运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B． C． D．‎ 解析线段AB最短即是点A到直线ｙ=-x的距离。过点A作直线y=-x的垂线，垂足即是点B。利用直线y=-x上点的坐标的特点解几何问题。答案：B 例7：（吉林省2005年）两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息解答问题：（1）求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若桌面上有12个碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度。‎ 解析 现实生活中有趣的函数问题。由此可见，中考问题来源于生活,应用于生活。‎ 答案：（1）设函数关系式为，根据题意得 之间的函数关系式为 （2）当.∴桌面上12个整齐叠放的饭碗的高度是22.5cm.‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．某电信公同推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元。一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图3，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 元．‎ ‎2．某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元 . 小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张.（1）写出零星租碟方式应付金额 y1（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；（2）写出会员卡租碟方式应付金额y2（元 ）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；（3）小彬选取哪种租碟方式更合算？‎ ‎3．下面两幅统计图（如图1、图2），反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况.请你通过图中信息回答下面的问题. （1）通过对图1的分析，写出一条你认为正确的结论；（2）通过对图2的分析，写出一条你认为正确的结论；3）2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？‎ 时间/年 ‎500‎ ‎2000年 ‎2003年 人数/个 ‎1000‎ ‎1500‎ ‎2000‎ ‎625‎ ‎600‎ ‎1105‎ ‎2000‎ ‎1997年 甲校 乙校 甲、乙两校参加课外活动的学生人数统计图（1997~2003年）‎ 图 1 1）1）‎ t （时）‎ s（千米）‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎120‎ ‎180‎ O ‎12%‎ ‎38%‎ ‎50%‎ ‎60%‎ ‎30%‎ ‎10%‎ ‎2003年甲、乙两校学生参加课外活动情况统计图 文体活动 科技活动 其他 ‎（图2）‎ ‎（ ）‎ ‎4．“五一黄金周”的某一天,小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发,到距离180千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息,解答下列问题：‎ ‎ （1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？‎ ‎ （2）求出返程途中,s（千米）与时间t（时）的函是数关系,并回答小明全家到家是什么时间？‎ ‎ （3）若出发时汽车油箱中存油15升,该汽车的油箱总容量为35升,汽车每行驶1千米耗油升.请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议.（加油所用时间忽略不计）‎ ‎5． 某医药研究所开发了一种新药，在试验效果时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫克6微克（1微克＝毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量ｙ（微克）随时间ｘ（小时）的变化如下图所示。（1）分别求出时ｙ与ｘ之间的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为４微克或４微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？‎ O ‎2O ‎6O ‎3O ‎10‎ ｘ（小时）‎ Y（微克）‎ ‎6． 小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢，现在小明让小亮先跑若干米，两人的路程（米）分别与小明追赶时间（秒）的函数关系如右上图所示。‎ ‎ （1）小明让小亮先跑了多少米？‎ ‎ （2）分别求出表示小明、小亮的路程与时间的函数关系式。‎ ‎ （3）谁将赢得这场比赛？请说明理由。‎ ‎7．某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用是900元，需天，每吨售价4500元.现将这50吨原料全部加工完.⑴设其中精加工x吨，获利y完，求y与x的函数关系式；（不要求写自变量的范围）⑵如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？‎ 参考答案：‎ ‎1. 10。 2．（1）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）当x＞20时，选择会员卡方式合算当x=20时，两种方式一样当x＜20时，选择零星租碟方式合算 ‎ ‎3．（1）1997年至2003年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长的快 ‎ （2）甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动的人数多；‎ ‎ （3）‎ ‎4．解：（1）由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了4小时.　‎ ‎ （2）设，由（14,180）及（15,120）得　　　解得　∴（14≤t≤17）令，得 ‎ ‎ （3）加油时间正确、加油量正确。本题答案不惟一，只要合理即可，但需注意合理性主要体现在：①9:30前必须加一次油；②若8:30前将油箱加满，则当天在油用完前的适当时间必须第二次加油；③全程可多次加油，但加油总量至少为25升. ‎ ‎5．（1）时　ｙ=3x,时　　　‎ ‎ （2）有效时间是6小时。‎ ‎6．（1）小明让小亮先跑5米 ‎ ‎ （2）小明：经过（，），，‎ ‎∴，。∴小亮：经过（，），（，‎ ‎），，∴⑶小明百米赛跑： 小亮赢得这场比赛。‎ ‎7．（1）y=200x+20000 ‎ ‎ （2）设精加工x吨，则粗加工（50-x）吨.由题意知x＋（50-x）≤20，解得x≤20.当x=20时，最大值y=200×20+20000=24000（元）.故30天粗加工，20天精加工可获得最大利润，最大利润是24000元 第四讲 反比例函数的图象与性质 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1．理解反比例函数的概念，利用待定系数法求反比例函数的解析式。‎ ‎2．掌握函数值随自变量变化而变化的规律。‎ ‎3．根据实际情况确定反比例函数的解析式以及相应的自变量取值范围。‎ 二、命题落点 ‎1．利用待定系数法求反比例函数的解析式或者求反比例函数自变量的系数，如例1。‎ ‎2．反比例函数的增减性，如例2。‎ ‎3．反比例函数与其他学科的联系，如例3和例4。‎ ‎4．反比例函数在计算与比较时要灵活运用“图像的点的横纵坐标之积为常量ｋ”这个性质。‎ ‎【典例精析】 ‎ 例1：（2005年无锡市）反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为 .‎ 解析函数图像经过点（2，-1），则把点坐标代入解析式即可。 答案：k=-2.‎ 例2：（2005东营市）在反比例函数（k<0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且>>0，则的值为 （A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数 解析此题可以利用反比例函数的增减性来解决。在第二、四象限ｙ随ｘ第增大而增大，所以选A。‎ 例3：（扬州市2005年）已知力F对一物体所作的功是15焦，则力F与此物体在力方向上移动的距离S之间函数关系式的图像大致是（ ）．‎ ‎ ‎ 解析此题是一道多学科综合性问题，是近几年中考的热点问题。在确定函数关系式时需要注意函数成立的条件，使它符合实际意义。根据物理的知识点W=FS.是反比例函数，而在实际生活中S是不可能为负数的，所以S只能取正数，其图像也只能在第一象限。答案：B.‎ 例4：（2005年河北省）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（） 成反比例，图2表示的是该电路中电流I与电阻R之间关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 解析此题比较简单，可以通过观察图像确定解析式。 答案：C 。‎ 例5：（2005年绍兴市）反比例函数的图象在（　　　　　）‎ ‎ A．第一、三象限 B．第二、四象限　　C．第一、二象限　D．第三、四象限 解析此题考察反比例函数中常数与函数图像所在的象限之间的规律。在中，如果K>0,函数的图像经过第一、三象限；如果K<0，则函数的图像经过第二、四象限。答案：A 例6：（威海市二○○五）已知双曲线经过点（－1，3），如果A（），B（）两点在该双曲线上，且＜＜0，那么 ．‎ 解析此题设计的很巧妙，首先通过待定系数法确定函数的解析式，然后再考察函数的增减性。函数图像在第一、三象限ｙ随ｘ的增大而减小、在第二、四象限ｙ随ｘ第增大而增大。‎ 答案：＜。‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．已知点A在反比例函数y=-的图像上，且点A的纵坐标是2，则点A的横坐标是___.‎ ‎2．已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数的图象在（　　）‎ ‎ A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 ‎3．已知反比例函数的图像上两点A，B，当时，有。则ｍ的取值范围是 （　　）‎ ‎ A．ｍ<0 　　 B．m>0 　　 C． D．‎ ‎4．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则函数可确定为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．如果反比例函数在其象限内，y随x的增大而减小，那么它的图象分布在（ 　）‎ ‎ A．第一、二象限　B．第一、三象限 C．第二、三象限　 D．第二、四象限 ‎6. 如图4，、、是双曲线上的三点。过这三点分别作y轴的垂线 、 、 ，设它们的面积分别是、、，则： ‎ ‎ A． ＜＜ B．＜＜‎ ‎ C．＜＜ D．＝＝‎ ‎7．已知:反比例函数和一次函数，其中一次函数的图像经过点（k,5）.（1求反比例函数的解析式；（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标。‎ 参考答案：‎ ‎ 1. -3. 2．D. 3．D 4．A. 5. B. 6. D 7．（1）y＝ （2）A的坐标为（，2）　 ‎ 第五讲 反比例函数的应用 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1．反比例函数值随自变量的变化而变化的规律。‎ ‎2．根据实际情况确定反比例函数的解析式以及相应的自变量取值范围。‎ ‎3．根据实际情况，会画出反比例函数的图像。‎ ‎4．根据反比例函数的定义，确定反比例函数解析式中字母的值。‎ ‎5．能利用反比例函数的性质解决某些实际问题。‎ 二、命题落点 ‎1．反比例函数的概念和性质在实际情况中的体现。 2．反比例函数的图像特征和变化趋势。‎ ‎3．反比例函数中“图像的点的横纵坐标之积为常量”。4．在图像中体现ｙ随ｘ的变化规律。‎ ‎【典例精析】 ‎ 例1：（2005安徽省）已知函数（1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象；（2）求这两个函数图象的交点坐标；（3）观察图象，当x在什么范围内时？‎ 解析此题考察一次函数、反比例函数的概念和图像，第一小题需要利用描点法画出函数的图像；第二小题求两个函数的交点坐标即使求两个函数的公共部分，利用方程组求解。第三小题考察学生的观察能力，通过第一小题的画图和第二小题的求交点坐标，观察两个函数函数值的关系。‎ 答案：（1）图略（2）解 的两个交点坐标分别为A（－2，－3），B（3，2）（3）观察图象可知，当 例2：（浙江省2005年）两个反比例函数，‎ 在第一象限内的图象如图所示, 点P1，P2，P3，…，‎ P2 005在反比例函数图象上，它们的横坐标分别 是x1，x2，x3，…，x2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，‎ 共2 005个连续奇数，过点P1， P2，P3，…，P2 005分 别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），‎ Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2 005（x2 005，y2 005），‎ 则y2 005= ．‎ 解析此题可以通过反比例函数的坐标的关系来解决。首先 这两个反比例函数的横坐标相同，我们可以利用 ‎ 求出横坐标，再带入求出纵坐标。在此需要利用奇数 的规律求出第2005个奇数是几或者用2n-1来表示奇数。‎ 答案： 2004.5‎ 例3：（2005年盐城市）如图，反比例函数与 直线相交于点A，A点的横坐标为－1，‎ 则此反比例函数的解析式为（）A．　B．　‎ C．　　　　　D．　　‎ 解析交点既在反比例函数的图像上又在正比例函数的图像上，所以利用点A的横坐标代入y= -2x 求出点A的纵坐标，再代入反比例函数解析式即可求K. 答案：C.‎ 例4：（济南市2005年）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）s（mm2）的反比例函数，其图象如图所示.（1）写出y与s的函数关系式（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？‎ 解析现实生活中反比例函数的应用。观察图像利用待定系数法求函数解析式。‎ 答案：，80。‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．如果每盒圆珠笔有12支,售价18元,那么圆珠笔的售价y （元）与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是 （ ） ‎ ‎ A． B． C．y=12x D．y=18x ‎2．下列函数中，反比例函数是（）A B C D ‎ ‎3．已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过 （ ）‎ ‎ A．（－,－） B．（,－） C．（－，） D．（0，0）‎ ‎4．如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在 （ ）‎ ‎ A．第一、三象限　 B．第一、二象限 ‎ ‎ C．第二、四象限　 D．第三、四象限 ‎5．若与－3成反比例，与成正比例，则是的 （ ）‎ ‎ A．正比例函数　　 B．反比例函数　　 C．一次函数　　 D．不能确定 ‎6．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是 （ ）‎ ‎ A．－1或1 　 B．小于的任意实数 ‎ ‎ C．－1　　 　 Ｄ．不能确定 ‎7．函数的图象经过点（－4，6），则下列各点中在图象上的是 （ ）‎ ‎ A．（3，8） B．（3，－8） C．（－8，－3） D．（－4，－6）‎ ‎8． 同学们都做过《代数》课本第三册第87页第4题：某礼堂共有25排座位，第一排共有20个座位，后面每一排比前一排多一个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式并写出自变量n的取值范围为．答案是：每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式是m=n+19;自变量n的取值范围为1≤n≤‎ ‎25，且n为正整数．上题中，在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：（1）若后面每一排都比前一排多2个座位时，，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式为__；（1≤n≤25，且n为正整数）．（2）若后排每一排比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式分别为___，__（1≤n≤25，且n为正整数）．‎ ‎ （3）某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式，并指出自变量n的取值范围．‎ 参考答案：‎ ‎1．A . 2.D. 3.A. 4.A. 5.A. 6.C. 7.B.‎ ‎8.（1）m=2n+18；（2）m=3n+17；m=4n+16；（3）m=bn+a－b,1≤n≤p．‎ 第六讲 二次函数及其图象、性质 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1．理解并掌握二次函数的概念以及图像的性质。‎ ‎2．会用待定系数法求二次函数的解析式。‎ ‎3．会求二次函数的顶点坐标、对称轴及其与坐标轴的交点坐标。‎ ‎4．能够利用顶点式和配方法确定二次函数的最值问题。‎ 二、命题落点 ‎1．结合图像考察二次函数的增减性、最值和图像的对称性。‎ ‎2．结合一元二次方程根的判别式，判断抛物线与ｘ轴交点情况。‎ ‎3．利用顶点的变化解决二次函数图像的平移问题。‎ ‎4．利用二次函数解析式的三种形式确定函数解析式。‎ ‎5．考察二次函数解析式的系数与图像的关系。‎ ‎【典例精析】 ‎ 例1：（2005年南通市）已知抛物线 经过（-1,0）,（0,-3）,（2,-3）三点.‎ ‎ （1）求这条抛物线的解析式;‎ ‎ （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.‎ 解析利用一般式求二次函数的解析式，然后把一般式化成顶点式求顶点坐标和对称轴或者利用顶点坐标和对称轴的公式直接求顶点坐标。‎ 答案：（1）‎ ‎ （2）开口向上,,顶点（1,-4）.‎ 例2：（2005年绍兴市）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 ‎（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（） （A）0.71s　　　（B）　0.70s　　（C）0.63s　　　（D）0.36s　‎ 解析把小敏的动作图与函数图像结合起来，确定函数的最值问题。‎ 此题考察大家的数形结合思想。‎ 答案：D 例3：（2005年南通市）二次函数的图象如图所示,‎ 若,,则A、‎ B、 C、 D ‎ 解析此题考察函数的图像，把,图像上找 出来即可判断M、N、P的大小。4a+2b+c 、a-b+c是自变量ｘ为2、-1时函数 ‎ 4a+2b是函数解析式的常数为0时的函数值。答案：C 例4：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，‎ 出以下结论：① a+b+c<0；② a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . ‎ 其中所有正确结论的序 ‎ A．③④　B. ②③　C. ①④　D. ①②③‎ 解析此题考察函数的图像，①②是ｘ为1、-1时的函数值，通过横坐标在图像上找出纵坐标即可解答；③需要利用对称轴进行公式变形解决。答案B.‎ 例5：（2005年温州市）若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝_________（只要求写出一个）‎ 解析二次函数与坐标轴没有交点即是△<0.利用确定C的取值。答案：答案不惟一 例6：（重庆市2005年） 抛物线的顶点坐标是（ ）‎ ‎ A．（－2，3） B．（2，3） C．（－2，－3） D．（2，－3）‎ 解析此题很简单，需要熟记二次函数的顶点式中各个字母代表的意义。答案B ‎【常见误区】‎ ‎1．顶点式、交点式在求二次函数的解析式时不会灵活应用。‎ ‎2．把几何问题中线段转化成坐标或把坐标转化成几何图形的线段时容易出错。‎ ‎3．二次函数与一元二次方程跟的判别式的关系理解不透。‎ ‎4．平移二次函数的图像顶点坐标不知如何变化。‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．抛物线y= （ x – 1）2 – 7的对称轴是直线 ..‎ ‎2．如下图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，‎ ‎），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D.（1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式.‎ ‎3．已知二次函数。（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标。‎ B C A x O y D ‎4．如图9，抛物线与x的负半轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线的一个交点是，且OA=OC．求抛物线的解析式．‎ ‎5．如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.（1）设矩形的一边为（m），面积为（m2），求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎6．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。‎ ‎7．已知：抛物线的解析式为求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值。‎ ‎8．已知抛物线y＝x2＋x－.（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长.‎ 参考答案：1． X=1. 2.（1） （2）先求出点C（2，0），故 1． B（-2,0）,. 4．解：把x=1，y=m代入，得m=6，把x=1，y=6代入 得b+c=5①令x=0，得y=c，∴点C的坐标是（0，c），又OA=OC，∴点A的坐标为（—c，0）∴，又c＞0，得c—b=—1②解①、②所组成的方程组，得 ‎∴‎ ‎4．（1） 由已知，矩形的另一边长为则= = 自变量的取值范围是0＜＜18.（2）∵ == 当=9时（0＜9＜18＝，苗圃的面积最大 最大面积是81 又解: ∵ =－1＜0，有最大值， ‎ ‎ ∴ 当 =时（0＜9＜18＝， （） ‎ ‎5．等 6. ‎ ‎7．顶点坐标（-1,-3）,对称轴是直线x=-1, ‎ ‎8．（1）（2）先求出点C（2，0），故 第七讲 二次函数的应用 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1．在实际问题中利用待定系数法求二次函数解析式。‎ ‎2．能够把实际问题分析、转化为函数问题。‎ ‎3．理解函数思想和数形结合思想在实际问题中的意义。‎ ‎4．利用函数问题，考查一元二次方程的问题，例如根的判别式、根与系数的关系。‎ 二、命题落点 ‎1．利用函数并与方程、不等式联系在一起解决实际生活中的利率、利润、生产方案的设计等问题。‎ ‎2．实际问题中二次函数自变量的取值范围的实际意义。‎ ‎3．根据具体情况灵活选择适当的方法确定二次函数的解析式。‎ ‎4．利用实际问题建立直角坐标系解决问题。如例4。‎ ‎【典例精析】 ‎ 例1：（丽水市2005年）‎ 某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）‎ 解析首先利用告诉的图形求出一个点的坐标，代入抛物线的 解析式即可。本题由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点A的坐 标为（0.6，0.6），代入y=ax2，得a=， 所以抛物线的解 析式为y=x2.在此其中需要 将线段转化为坐标，同时注意坐标的符号。其次一段栅栏所需立柱的 总长度可以看出与各点的纵坐标有关。解：（1）解析式为y=x2.（2）2.3米.‎ 例2：（重庆市2005年）随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是每吨0.5万元，这种水果市场上的销售量（吨）是每吨的销售价（万元）的一次函数，且时，；时，。（1）求出销售量（吨）与每吨的销售价（万元）之间的函数关系式；（2）若销售利润为（万元），请写出与之间的函数关系式，并求出销售价为每吨2万元时的销售利润。‎ 解析以生活的热点问题为依托，考查函数解析式的确定方法：待定系数法。其次，在此基础上加以延伸演变成函数应用题，其中，销售利润＝销售额－成本。‎ 答案：（1）（2）当时，故此时的销售利润是1.5万元 例3：（吉林省2005年） 如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m，一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处，根据这些条件，请你求出该大门的高h。‎ 解析求出该大门的高即是求二次函数的定点坐标的纵坐标也是求出函数的最大值。首先建立直角坐标系，求出二次函数的解析式。即可得结果。此题的最大的难点是如何建立直角坐标系。如图①，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为由题意知B、C两点坐标分别为B（18，0），C（17，1.7）把B、C两点坐标代入抛物线解析式解得抛物线的解析式为所以该大门的高h为8.1m.此题还可以用第二种解法如图②，建立平面直角坐标系设抛物线解析式为由题意得B、C两点坐标分别为B（9，－h），C（8，－h+1.7）.解得 该大门的高h为8.1m.此题还可以以AB所在直线为x 轴，AB中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为 答案：8.1m 例4：（2005年宜昌市）如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.（结果精确到0.1米）‎ 解析 此题是明显的实际问题，如果解决此题需要构造直角坐标系，利用直角坐标系求出函数的图像确定函数解析式来解决。如图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面（上竖直钢拉索与桥面连接点，不答此点不扣分）所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. 则A（0，0.5），B（－450, 94.5）， C（450，94.5）.由题意，设抛物线为：y＝ax2＋0.5，再把C点（450，94.5）代入求的或，由此确定了函数的解析式，当x=350时,y=57.4；当x=400时,y=74.8。垂直钢拉索的长即是距离桥两端主塔100米处两点的纵坐标的绝对值。 答案：离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米,离桥两端主塔50米处竖直钢拉索的长约为74.8米. ‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系．⑴求y关于x的函数关系式；⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值； ⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？‎ 1． 一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限 作等边△ABC，（1） 求△ABC的面积；（2） 如果在第二象限内有一点P（），试用含的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时的值；（3） 在轴上，存在这样的点M，使△MAB为等腰三角形.请直接写出所有符合要求的点M的坐标.‎ ‎5m ‎1m ‎10m ‎?‎ ‎80‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x（元）‎ y（万件）‎ ‎ ‎ P x A O C y B ‎3．上图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．‎ ‎ （1）求抛物线的解析式.‎ ‎ （2）求两盏景观灯之间的水平距离. ‎ ‎4． 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从 亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年 初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t y O x 个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下 列问题：‎ ‎（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间 t（月）之间的函数关系式；‎ ‎ （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；‎ ‎ （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？‎ ‎5．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.‎ ‎ （1）如果增加台机器，每天的生产总量为个，请你写出与之间的关系式；‎ ‎ （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？‎ ‎ 3 4 5 6‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ s（万元）‎ t（月）‎ O ‎4‎ ‎32‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c.‎ ‎ （1）若a＝2，c＝－3，且二次函数的图象经过点（－1，－2），‎ 求b的值 ‎ （2）若a＝2，b＋c＝－2，b＞c，且二次函数的图象经过点 ‎（p，－2），求证：b≥0；‎ ‎ （3）若a＋b＋c＝0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点 ‎（q，－a），试问自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c 所对应的函数值y是否大于0？并证明你的结论。‎ ‎7． 装厂生产某品牌衬衣，每件成本40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订货，决定当一次定购量超过100件时，每多定一件，订购的全部衬衣的出厂单价就降低0.02元。另据市场调查，销售商一次订购量不会超过550件。①设销售商一次订购量为x件，衬衣的实际出厂价为y元，请写出当一次订购量超过100件时，y与x的函数关系式②求当销售商一次订购多少件衬衣时，可使该厂获得利润6000元？（售出一件衬衣的利润=实际出厂单价－成本）‎ 参考答案：‎ ‎1．解：（1）设，它过点（60，5），（80，4）∴解得∴‎ ‎ （2）∴当元时，最大年获得为60万元．⑶令，得，整理得： 解得：，由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．‎ ‎2．解：根据条件，A、B两点的坐标分别是（）、（）.（1）在△ABO中，由勾股定理，得.所以正△ABC的高是，从而△ABC的面积是.（2） 过P作PD垂直OB于D，则四边形ABPO的面积.当△ABP的面积与△ABC的面积相等时， 四边形ABPO的面积－△AOP的面积＝△ABC的面积，‎ 即.解得. ‎ ‎ （3） 符合要求的点M的坐标分别是（）、（）、（）、（）. ‎ ‎3．解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）,设抛物线的解析式是y=a（x－5）2＋5,把（0，1）代入y=a（x－5）2＋5得a=－∴y=－（x－5）2＋5（0≤x≤10）（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=－（x－5）2＋5 ‎ ‎ ∴ （x－5）2=1 ∴x1= x2= ∴ 两景观灯间的距离为5米．‎ 1． 解：（1）设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c,‎ 由题意得解得 ∴s=‎ ‎ （2）把s=30代入s=得30=解得t1=10，t2=-6（舍）‎ ‎ （3）把t=7代入，得 s= 把t=8代入，得s=,16-10.5=5.5 ‎ ‎ 第8个月公司获利润5.5万元．‎ ‎5．（1）根据题意得： 整理得：‎ ‎ （2）∵∴当x＝8时，y最大＝30976‎ 既：增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是30976件.‎ ‎6．（1）b=1.（2）证明略。 7. ①y=60－（x－100）×0.02=62－0.02x；②当x=100时，y=2000元。因获利6000元故x＞100，于是得（62－0.02x）x－40x=6000解得x=500。‎ 单元测试题 一、选择题:（每题3分，共18分）‎ ‎1．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（ ）A. （2，1） B. （-2，-1） C. （-2，1） D. （2，-1）‎ ‎2．将函数进行配方正确的结果应为 （ ）‎ ‎ A． B． C D ‎ ‎3．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ 满足ｋｂ＞０且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过 ‎ （ ） ‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎4． 已知点A（2，0）、点B（－，0）、点C（0，1），以A、B、C三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5． 已知、、都是正数，且，则下列四个点中，在正比例函数图象上的点的坐标是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．甲乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快若某人离开A地的距离S与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只可 ‎ A．甲是图①，乙是图② B．甲是图①，乙是图④‎ ‎ C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④‎ 二、填空题：（每题3分，共18分）‎ ‎7．函数的自变量x的取值范围是_______________.‎ ‎8．一条抛物线的对称轴是ｘ＝１且与ｘ轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是＿＿＿（任写一个）‎ ‎9．已知函数ｙ＝－kｘ（ｋ≠０）与ｙ＝的图象交于Ａ、Ｂ两点，‎ 过点Ａ作ＡＣ垂直于ｙ轴，垂足为点Ｃ，则△ＢＯＣ的面积为＿＿＿‎ ‎10．我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，‎ 那么他乘此出租车最远能到达　　　公里处．‎ ‎11．写出一个图象经过点（-1,-1）,且不经过第一象限的函数表达 式______.‎ ‎12．已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、A（－1，1）、B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°,则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1（ ， ） ，B1（ ， ） .‎ 三、解答题（每题8分，共32分）‎ ‎13．某通迅器材料公司销售一种市场需求较大的新型通讯产 品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总 开支（不含进价）总计120万元.在销售过程中发现，年销 售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的 一次函数关系.（1）求y关于x的函数关系式：（2）试写出 该公司销售该种产品的年获得z（万元）关于销售单价x（‎ 元）的函数关系式（年获利=年销售额－年销售产品总进价－‎ 年总开支）.当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这 个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？‎ ‎14．某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：今年开关的年产量y（万只）与投入的改造经费x（万元）之间满足与成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．（1）求年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．①求平均每只开关所需的生产费用为多少元．（用含y的代数式表示）（生产费用=固定费用+材料费）‎ ‎②如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？（销售利润=销售收入－生产费用－改造费用）‎ ‎15．（2006年长春） 用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示。‎ ‎ （1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？ ‎ ‎ （2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？ ‎ ‎16．如图：已知，直线，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，OB=1．（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；（2）已知二次函数的图象过点A、B、C，求出函数的解折式；（3）（2）中的抛物线的对称轴上存在P，使△PBC为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．‎ 四、解答题：（每题9分，共36分）‎ ‎17．曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系式是Q=已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等试将年利润y（万元）表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？‎ M N P O Q ‎·‎ ‎18．如图，在半径是2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在NQ上有一动点P，且点P到弦MN的距离为。‎ ‎ （1）求弦MN的长；‎ ‎ （2）试求阴影部分面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎ （3）试分析比较，当自变量为何值时，阴影部分面积与的大小关系。 ‎ ‎19．已知抛物线与y轴的交于C点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′。（1）求抛物线的对称轴及C、C′的坐标（可用含m的代数式表示）；（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P的坐标（可用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 ‎ ‎20．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当cm时，求x的值。‎ 答案：‎ ‎1．A。 2.C. 3.A. 4.C. 5.A. 6.B 7. x≤，且x≠-1； 8. 9.2 ‎ ‎10．13 11．答案不唯一,如y=-x-2,或y=-x2等. 12．A1 （，0）， B1（，） ‎ ‎13.（1）y=－x+8. （2）z=yx－40y－120=（－x+8）（x－40）－120=－x2+10x－440∴x=100，最大年获利为60万元.（3）令z=40,得40=－x2+10x－440，解得：x1=80, ‎ x2=120要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间.又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元 ‎15．‎ ‎ （1）由图象可知，当x = 1时，窗户透光面积最大。 ‎ ‎ （2）窗框另一边长为1.5米。 ‎ ‎14．（1）10（2）55（3）略（4） ‎ ‎15．（1）或（2） ‎ ‎16．（1）A（0，2），B（—1，0），C（4，0）（2）解析式：（3）P（1.5，2.5）或P（1.5，—2.5） 17.解：设每年投入x万元，年销量为万件，每件产品的年平均成本为，年平均每件所占广告费为，销售价为,年利润为当x=100时，明显y<0故该公司投入100万元时，该公司亏损 18.⑴∵OM=ON，∠MON=60°∴△MON是等边三角形∴OM=ON=2 ⑵作OH⊥MN于H点，∴NH=MN=1在Rt△OHN中，OH2 = ON2 – NH2 OH= ∴即：⑶令，即∴当时，； 当时，当≤，∴ 注：过O作OP′∥MN交⊙O上一点P′，依等积关系得：，即可下结论 ‎19．解：（1）所求对称轴为直线x＝1 C（0，-m） C′（2，-m）（2）满足条件的P、Q坐标为P（-1，3-m），Q（1，3-m）；P′（3，3-m）。Q（1，3—m）；P″（1，-1-m），Q′（1,1-m）。（3）所求平行四边形周长为或。‎ ‎20．1）∵PQ⊥AP，∴∠CPQ＋∠APB＝90°，又∵∠BAP＋∠APB＝90°，∴∠CPQ＝∠BAP，‎ ‎2,4,6‎ ‎∴tan∠CPQ＝tan∠BAP，因此点在BC上运动时始终有∵，，，∴∴（∵，∴‎ y有最大值，当，（cm）。（2）由（1）知，当cm时，，整理，得，∵，∴，∵，∴当cm时，x的值是或 ‎