2013福建省质检理科数学试卷

2013福建省质检理科数学试卷

‎2013年福建省普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数，为z的共轭复数，则下列结论正确的是 A． B． C． D．‎ ‎2．已知向量，则“”是“”的 ‎．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件 ‎．充要条件 ．既不充分也不必要条件 A B C D ‎ ‎3．函数的图象大致是 ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为 A．3 B．126 C. 127 D. 128‎ ‎5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是 ‎．若，则 ．若，则 ‎ ‎．若，则 ．若，则 ‎6．已知函数的图象关于点对称，则的值可以是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为．如果为正三角形，那么等于 ‎． ． ． ． ‎ ‎8．在矩形中，，，为矩形内一点，且. 若 ‎，则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎9．若函数有且只有2个不同的零点，则实数的取值范围是 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎10．设数集满足下列两个条件：‎ ‎（1）；（2）若则．‎ 现给出如下论断：‎ ‎①中必有一个为0； ②中必有一个为1；‎ ‎③若且，则；④存在互不相等的，使得．‎ 其中正确论断的个数是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．展开式中含项的系数等于 ．‎ ‎12．若变量满足约束条件则的最大值为 ．‎ ‎13．已知直线l：与圆：在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点, 则的面积等于 ．‎ ‎14．如图，为区间上的等分点，直线，，和曲线所围成的区域为，图中个矩形构成的阴影区域为，在中任取一点，则该点取自的概率等于 ．‎ ‎15．定义两个实数间的一种新运算“*”：.‎ 当时，.对任意实数，给出如下结论：‎ ‎①； ②； ‎ ‎ ③； ④.‎ 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (本小题满分13分)‎ 某几何体的三视图和直观图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ 国Ⅳ标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如下（单位：）‎ A ‎85‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎60‎ ‎90‎ B ‎70‎ ‎95‎ ‎75‎ ‎ ‎ 由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等.‎ ‎（Ⅰ）求表格中与的值；‎ ‎（Ⅱ）从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过”的车辆数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ 如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距‎16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东海里处 . ‎ ‎（Ⅰ）求此时该外国船只与D岛的距离；‎ ‎（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行. 为了将该船拦截在离D岛‎12海里处，不让其进入D岛‎12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求 其速度的最小值.‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎19. (本小题满分13分)‎ 如图1，椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且垂直于轴. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）给出命题：“已知是椭圆上异于的一点，直线分别交直线：（为常数）于不同两点，点在直线上. 若直线与椭圆有且只有一个公共点，则为线段的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明;‎ ‎（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点的直线，并写出作图步骤.‎ 注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行. ‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 已知函数的图象在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求的值及的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)是否存在平行于直线且与曲线没有公共点的直线？证明你的结论；‎ ‎(Ⅲ)设数列满足,,若是单调数列，求实数的取值范围.‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． ‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 ‎ 已知矩阵，向量．‎ ‎ (Ⅰ) 求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； ‎ ‎ （Ⅱ）求．‎ ‎（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 如图，在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系.‎ ‎（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求证：,并说明等号成立的条件；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2013年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1．； 2．； 3．； 4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．．‎ ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．‎ ‎ 11．24； 12．9； 13．； 14．； 15．①②③④．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16.本小题主要考查简单几何体的三视图，直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱中，，,且，．…………………………………2分 以点为原点，分别以、所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得 ‎，‎ ‎．………………4分 ‎，‎ 又，．……………………………………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，， ‎ 设平面的法向量为则 令，得平面的一个法向量为………………………10分 由（Ⅰ）知，是平面的法向量，…………………………………11分 ‎．‎ 故二面角的余弦值为．……………………………13分 解法二：‎ ‎（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱中，，,且，．………………………………………2分 ‎，， ‎ ‎，，……………………4分 ‎，．…………………………………………5分 由正方形可得，，又，．………………7分 ‎（Ⅱ）同解法一．‎ ‎17．本题主要考查概率统计中数据平均值与方差、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．‎ 解:(Ⅰ)依题意得，，‎ 又，‎ ‎ ，‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ 解得或 …………6分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)可得B种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为3,随机变量．‎ ‎，，．…………9分 故的分布列为 ‎ ……………………………………… 11分 ‎∴． ………………………………………………13分 ‎ ‎18.本小题主要考查余弦定理等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．‎ 解法一：（Ⅰ）依题意，在中，由余弦定理：‎ 此时该外国船只与岛距离海里 5分 ‎（Ⅱ）在中作于点。‎ 由正弦定理： 6分 在中 ‎ ‎ 7分 在上取点使得,连接, .‎ 在中， ， ∴ ∴‎ 在中， ‎ ‎∴， 9分 又该外国船只到达点的时间小时。 10分 则我海监船速度海里/小时。 12分 ‎(注：取“=”叩1分)‎ ‎∴我海监船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往点E处拦截。 13分 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）在中作于点。‎ 在中， ‎ 在上取点使得,连接, .‎ 在中，，‎ 所以 7分 所以在中，‎ ‎ 9分 国为该外国船只到达点C的时间小时。 10分 所以我海监船速度海里/小时。 12分 所以我海监船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截。 13分 ‎(注：取“=”扣1分)‎ 解法三：以A点为原点，以AD所在的直线为轴建立直角坐标系，如图。‎ ‎（Ⅰ）依题意，，, ‎ 所以,.‎ 此时该外国船只距与D岛距离海里 5分 ‎（Ⅱ）以点D为圆心，以12为半径作圆D，则圆D的方程为： ‎ 在中作于点，则直线的方程为： 7分 设直线与圆D在第一象限的交点为点 ，联接。‎ 联立解得， 8分 所以，，‎ 所以，所以。‎ 国为该外国船只到达点的时间小时， 10分 所以我海监船速度海里/小时。 12分 所以我海监船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截。 13分 ‎19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．‎ 解法一：（Ⅰ）因为为椭圆上一点，垂直于轴，所以在中，，，，又因为所以所以，‎ 所以椭圆的方程为.…………………………………………4分 ‎（Ⅱ）逆命题：“已知是椭圆上一点，直线分别交直线：（为常数）于两点，若为线段的中点，则直线与椭圆有且只有一个公共点”，为真命题.……………6分 证明如下：‎ 设，则，‎ 又，，所以，，‎ 设的中点，则，，‎ 又因为，所以，即点，………8分 所以，‎ 则，即.‎ 联立方程，消并化简得：， ……………9分 所以，‎ 所以直线与椭圆有且只有一个公共点.…………………10分 ‎（Ⅲ）如图，①任作一条直线垂直于实轴；②作直线分别交直线于两点；③作线段的中点，则直线即为所求的直线.………………………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）因为为椭圆上一点，垂直于轴，‎ 所以即 解得 所以椭圆的方程为. …………………………………………4分 ‎（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一.‎ ‎20．本题考查函数的导数、导数的应用、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、分类讨论思想等.满分14分.‎ 解法一：(Ⅰ)依题意，，…………………………………………1分 由可得解得 所以，.…………………………………………3分 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎2‎ ‎ +‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎2‎ 所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，. ………5分 ‎(Ⅱ)与直线平行的直线设为，‎ 由得，即 ①…………6分 当时，方程①有唯一解，此时曲线与直线有公共点；‎ 当时，方程①无解，此时直线与曲线没有公共点.‎ 故存在直线与曲线没有公共点. ……………………………………8分 ‎(Ⅲ)，‎ 下面先用数学归纳法证明：当时，.‎ 证： ①当n=1时，>2不等式成立.‎ ② 假设当n=k时，不等式成立，即.‎ 则，于是.‎ 故当n=k+1时，不等式成立.‎ 根据①②可知，对于,有.…………………………………………10分 于是，‎ 所以，即是单调递减数列.‎ 当时，，由（Ⅰ）知，,‎ 于是有，故不是单调数列.‎ 当时，<0，.‎ 所以，于是，故不是单调数列.‎ 当时，，，又因为，于是.‎ 所以，故。故是单调递增数列.‎ 当时，.故不是单调数列.‎ 当时，.故不是单调数列.‎ 综上，的取值范围是.…………………………………………14分 解法二：（Ⅰ）、(Ⅱ)同解法一 ‎（Ⅲ）当＞1时，由于，‎ 由（Ⅰ）知：当＞1时，有，且时，＞2.‎ 所以，当时，有，数列不单调；当且时，＞2.‎ 因为，‎ 则当时，有＜.‎ 又，‎ 当1＜＜2时，有＞，数列不单调；‎ 当＞2时，有＜，数列单调递减.‎ 所以，当＞2时，数列单调递减；‎ 当1＜时，数列不单调.‎ 当＜1时，同理可证：当＜0时，数列单调递增；当＜1时，数列不单调.‎ 综上可知：当＜0或＞2时，数列是单调数列；‎ 当＜1或1＜时，数列不是单调数列.‎ ‎21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解法一 : (Ⅰ)矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得,‎ 当时，得,当时，得. ………………………3分 ‎（Ⅱ）由得，解得.‎ 所以 ‎ ………………………7分 解法二: (Ⅰ)同解法一.‎ ‎（Ⅱ）因为,‎ ‎ ‎ ‎ 所以 …………………………………7分 ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）如图，设圆上任意一点的极坐标.连结OD，BD，在中，因为,所以.……………3分 ‎（Ⅱ）由 得直线的普通方程为,‎ ‎ 即直线的普通方程为 ，‎ 由，得圆的直角坐标方程为，‎ 因为圆心到直线的距离为 ，‎ 所以直线与圆的相切.…………7分 ‎（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）由柯西不等式得，‎ 所以. ‎ 当且仅当，即时，等号成立. ………………………………………3分. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又不等式恒成立，‎ 所以，‎ 解得或.‎ 故的取值范围为. …………………………7分