中考统计与概率的考法分析

中考统计与概率的考法分析

第三部分 统计与概率的考法分析*本部分由李会芳、缴志清执笔。王洁敏、靳春会、张爱东、张文霞等参与了初稿的撰写和初期的讨论工作。‎ ‎2008年全国各地的中考试题中，对“统计与概率”内容的考查体现出：选取的问题贴近考生，贴近时代；在解决这些现实问题的同时，考生也开阔了视野，增进了对数学价值的认识；题型选用恰当、关注“统计与概率”知识的本质、重视“统计与概率”与其它数学内容的综合和突出“统计与概率”在判断决策中的作用等特点．‎ 一、“统计”的考法分析 ‎ 统计知识在“统计与概率”板块中占有较大的比重，选择恰当的抽样方式、理解各个统计量的含义和掌握描述数据的方法是统计知识的基础，借助各种统计图解决具体问题是统计的重要手段，根据统计结果作出合理决策是学习统计知识的重要应用意义．在2008年全国各地的中考试题中，除了继续突出考查统计的基础知识和基本技能外，还对运用比较和综合统计图中的信息来作出判断和推测提出了较高的要求，这些考法上的变化有助于深入衡量考生对统计知识的理解，对教学具有正确的导向作用．‎ ‎（一）结合问题调查，直接考查考生合理选择抽样方式的能力 结合具体问题情境，选择合理的抽样方式是统计的核心问题之一，也是学习统计知识的起点和基础，选取恰当的具有时代背景和教育意义的背景作为考题素材，可以较好考查考生选择抽样方式的能力，提高试卷的效度．‎ 例1 题目1：下列调查方式中，合适的是（　　） ‎ A．要了解约90万顶救灾帐蓬的质量，采用普查的方式 B．要了解外地游客对旅游景点“新疆民街”的满意程度，采用抽样调查的方式 C．要保证“神舟七号”飞船成功发射，对主要零部件的检查采用抽样调查的方式 D．要了解全疆初中考生考生的业余爱好，采用普查的方式 ‎ 【2008年新疆建设兵团中考试题】‎ 题目2：下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ）‎ A．了解某班考生“‎50米跑”的成绩 B．了解一批灯泡的使用寿命 C．了解一批炮弹的杀伤半径 D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂 ‎【2008年福建省福州市中考试题】‎ 考法评析： 关于抽样问题的考查在中考试卷中属于对基础知识、基本技能的考查，一般采用单项选择题或填空题．以上两题均采用直接考查考生根据实际问题合理选择抽样方式的能力，具有较高的效度和信度．‎ ‎（二）借助统计图表，综合考查考生获取运用数据信息的能力 部分省市的中考试题在对统计知识的考查中，不仅关注了考生读取统计图中的信息、利用信息解决具体问题的能力，而且还关注了考生综合运用统计知识解决简单实际问题的能力，较好提升了对考生读图、释图、作图、评图能力和应用意识的考查力度．‎ 例2 图1是我国2003~2007年粮食产量及其增长速度的统计图，下列说法不正确的是（ ）‎ A．这5年中，我国粮食产量先增后减 ‎ B．后4年中，我国粮食产量逐年增加 C．这5年中，2004年我国粮食产量年增长率最大 ‎%‎ 万吨 ‎2003~2007年粮食产量及其增长速度 粮食产量 比上年增长 ‎43071‎ ‎44347‎ ‎48412‎ ‎49000‎ ‎48745‎ 图1‎ ‎2003‎ ‎2004‎ ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎38000‎ ‎40000‎ ‎42000‎ ‎44000‎ ‎46000‎ ‎48000‎ ‎50000‎ ‎52000‎ ‎-10‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎-5‎ ‎-5.1‎ ‎9.0‎ ‎1.1‎ ‎2.9‎ ‎0.7‎ D．后4年中，2007年我国粮食产量年增长率最小 ‎【2008年安徽省中考试题】‎ 考法评析：本题将折线图和条形图结合在一起，设计自然合理，要求考生根据给出的问题选项准确选用图形获得解答，较好地实现了对考生在数据的图像表征和数值表征的比较中发现其意义异同的考查．‎ 例3 今年6月奥运圣火将在历史名城遵义传递．为迎接奥运圣火的到来，我市某中学积极组织考生开展体育活动，为此，该校抽取若干名考生对“你最喜欢的球类运动项目是什么？”进行问卷调查．整理收集到的数据绘制成如下统计图（图2－1，图2－2）．‎ 根据统计图2－1，图2－2提供的信息，解答下列问题：‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 乒乓球 羽毛球 篮球 足球 ‎0‎ ‎（运动项目）‎ 人数（人）‎ 图2－1‎ 乒乓球 足球 篮球 羽毛球 ‎15%‎ 图2－2‎ ‎（1）参加问卷调查的考生有 名；‎ ‎（2）将统计图2－1中“足球”部分补充完整；‎ ‎（3）在统计图2－2中，“乒乓球”部分扇形所对应的圆心角是 度；‎ ‎（4）若全校共有2000名考生，估计全校喜欢“篮球”的考生有 名．‎ ‎【2008年贵州省遵义市中考试题】‎ 考法评析：本题围绕条形统计图和扇形统计图的形式呈现问题，既考查了考生直接从单张图中获取所需信息和考生作图及对统计量的理解和计算能力，又考查了考生综合利用两张统计图处理信息的能力．此外，这类考法能让考生在解答问题的同时进一步认识统计的现实价值，具有较好的教育性．‎ 例4 根据图3－1、图3－2和表1所提供的信息，解答下列问题：‎ ‎39%‎ ‎30%‎ 第一产业 第二产业 第三产业 图3－2‎ ‎2003-2007年海南省生产总值统计图 单位：亿元 图3－1‎ ‎2003年 ‎2004年 ‎2005年 ‎2006年 ‎2007年 ‎2007年海南省各产业的产值所占比例统计图 表1：2005-2007年海南省常住人口统计表 年份 ‎2005年 ‎2006年 ‎2007年 常住人口 ‎（万人）‎ ‎822‎ ‎832‎ ‎841‎ ‎（1）2007年海南省生产总值是2003年的 倍（精确到0.1）；‎ ‎（2）2007年海南省第一产业的产值占当年全省生产总值的百分比为 %, 第一产业的产值为 亿元（精确到1亿）；‎ ‎（3）2007年海南省人均生产总值为 元（精确到1元），比上一年增长 %（精确到0.1%）.‎ ‎（注：生产总值=第一产业的产值+第二产业的产值+第三产业的产值）‎ ‎ 【2008年海南省中考试题】‎ 考法评析：本题给出了三张具体的统计图，要求考生从图中获得信息解决问题，较为有效地考查了考生阅读图表的能力，考试结果具有较好的效度和信度．‎ 例5 表1为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的条形统计图如图4.‎ 表1：篮球、足球、乒乓球门票价格 比赛项目 票价（元/张）‎ 篮球 ‎1000‎ 足 球 ‎800‎ 乒乓球 图4‎ x 依据上列图、表，回答下列问题：‎ ‎（1）其中观看男篮比赛的门票有 张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的 %；‎ ‎（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀），问员工小亮抽到足球门票的概率是 ；‎ ‎（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的，试求每张乒乓球门票的价格.‎ ‎【2008年福建省龙岩市中考试题】‎ 考法评析：本题的考法有两个鲜明特点：第一，题目的综合性较强，既考查了考生的读图、释图能力，又考查了概率计算；第二，在本题的三个小题中，都是根据现实情境和两张统计图进行了相关考查，但是它们的考查视角和方式有所不同，试题形式灵活巧妙。这样的设计较好地保证了题目的信度和效度．‎ ‎（三）变换视角，突出考查考生对统计量本质的理解 在以往的中考试题中，对统计量的考查一般有两种方式：其一，计算给定数据组的中位数、平均数和众数等集中量数和方差、极差等离散量数；其二，针对具体情境选择某一统计量来估计给定数据组的集中程度和离散程度．2008年对这部分内容的考法有了新的变化．‎ 例6 题目1：跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得，他们的平均成绩都是5.68，甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，那么成绩较为稳定的是 （填“甲”或“乙”）．‎ ‎【2008年湖北省咸宁市中考试卷】‎ A B C D 组别 人数 题目2：国家规定“中小考生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了某区300名初中考生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图5所示，其中分组情况是：‎ Ａ组：； Ｂ组：；‎ 图5‎ Ｃ组：； Ｄ组：．‎ 根据上述信息，你认为本次调查数据的中位数落在（ ）‎ A．B组 B．C组 C．D组 D．A组 ‎【2008年山东省枣庄市中考试卷】‎ 考法评析：以上两题采用了直接考查某一统计量的属性，以及给定某一统计量反过来要求考生估计数据值，这样的考查能有效的凸现出考生对统计量本质的理解，具有较好的效度。本题设计令人耳目一新，值得借鉴。‎ ‎（四）利用统计图表和统计量，重点考查考生的决策推断能力 统计中的各种统计图表是呈现和描述数据较为直观的方式，考生容易从中了解数据全貌，进而分析数据背后蕴含的信息和规律，2008年的许多中考统计类试题中，注重对各种统计图表和统计量的合理使用，要求考生通过比较和综合统计图中的信息作出判断和推测，较好地考查了考生的决策推断能力．‎ 例7 题目1：某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图6－1和图6－2所示的统计图．根据图中信息解答下列问题： ‎ 图6－1‎ 图6－2‎ ‎（1）哪一种品牌粽子的销售量最大？‎ ‎（2）补全图5－1中的条形统计图．‎ ‎（3）写出A品牌粽子在图5－2中所对应的圆心角的度数．‎ ‎（4）根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议．‎ ‎【2008年广东省深圳市中考试题】‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 图7－1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎26‎ ‎37‎ ‎9‎ 塑料袋数／个 人数／位 ‎“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ‎“限塑令”实施后，使用各种 购物袋的人数分布统计图 其它 ‎5%‎ 收费塑料购物袋 ‎_______％‎ 自备袋 ‎46%‎ 押金式环保袋24%‎ 图7－2‎ 题目2：为减少环境污染，自‎2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，图7－1和图7－2是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：‎ ‎“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表 处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋 再次购物使用 其它 选该项的人数占 总人数的百分比 ‎5%‎ ‎35%‎ ‎49%‎ ‎11%‎ 请你根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全图7－1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？‎ ‎（2）补全图7－2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．‎ ‎ 【2008年北京市中考试题】‎ 考法评析：两题的设计有两个共同的特色：其一，问题的背景是考生所熟悉的，有助于考生对问题的理解；其二，题目采取了层层递进、环环相扣的策略设计每小题的内容。这样的设计有利于考查考生的探究能力、统计观念和数学表达能力，具有较好的信度、效度和可推广性。需要指出的是，题目2的“某班同学于6月上旬的一天，…”，若改为“某班同学于‎6月8日‎2008年 6月8‎日为星期日，该同学有时间进行社会调查．‎ ，…”可能更显命题工作的严谨性。‎ 二、“概率”的考法分析 ‎《课程标准》对概率部分的要求主要体现在两方面：一是从事件本身发生的可能性来把握概率；二是通过大量重复试验用频率来估计概率．结合实际背景，考查概率知识的有关概念，以及计算简单随机事件的概率等内容仍然是2008年数学中考的主要形式．同时，加强统计与概率之间的联系，在中考试题中将两者有机融合在一起，在2008年的中考试题中已经有所体现，这种考法上的变化，对教学具有正确的导向作用．‎ ‎（一）直接考查概率的相关概念 ‎《课程标准》对概率部分的内容要求比较低，2008年各地中考数学试题对概率相关概念的考查，大都以丰富的现实情境为背景，以直接考查的形式来呈现，使试题更加符合《课程标准》的要求．‎ 图1‎ 例1 题目1：如图1，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是（ ）‎ A.必然事件（必然发生的事件）‎ B.不可能事件（不可能发生的事件）‎ C.确定事件（必然发生或不可能发生的事件）‎ D.不确定事件（随机事件）‎ ‎【2008年甘肃省白银市中考试题】‎ 题目2：下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨 ‎ B “抛一枚硬币正面朝上的概率是‎0.5”‎表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 ‎ C “彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖 D “抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数 ‎【2008年广州省广州市中考试题】‎ 考法评析：两道题都是直接考查考生对概率相关概念的理解情况．题目1以发生在考生身边的游戏为素材，对各种事件的含义进行了全面考查；题目2则结合多种情境考查考生对概率意义的理解情况．两道题目考查目标基础，问题呈现自然，具有较好的效度和信度．‎ ‎（二）综合考查对简单随机事件概率的理解 在2008年全国各地的中考概率试题中，加强了对简单随机事件概率知识的考查力度，背景丰富，考法灵活，较好体现了对概率知识的准确定位，对教学起到了正确的导向作用．‎ 例2 题目1：从围棋盒中抓出一大把棋子，所抓出棋子的个数是奇数的概率为 ____ ．‎ ‎【2008年湖北省宜昌市中考试题】‎ 题目2：六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．‎ ‎（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；‎ ‎（2）请你估计袋中白球接近多少个？‎ ‎【2008年辽宁省大连市中考试题】‎ 考法评析：两题虽然都是对简单随机事件概率的计算问题的考查，但它们在考查方式上有些变化．题目1求抓出棋子的个数为奇数的概率，解决这个问题的思维障碍是设置的“抓出一大把棋子”，完成这个动作没有具体、明确的背景，考生要发现题目的本质在于抓出的棋子个数为奇数还是偶数的二选一问题，需要一定的思维能力；而题目2则是以考生身边的具体事例为背景，将随机事件概率的意义隐含在具体解决问题的过程之中．因此，两题都较好地体现了对概率内涵理解的考查，具有较好的效度．‎ ‎（三）结合具体情境，考查应用概率的意识 ‎ 结合具体情境体会概率的意义，并用概率来判断结论，这种考查考生应用概率知识解决实际问题的试题，在2008年的中考试题中体现的仍然比较突出．‎ 例3 题目1：袋中放有一套（五枚）北京2008年奥运会吉祥物福娃纪念币，依次取出（不放回）两枚纪念币，恰好能够组成“欢迎”的概率是 ( )‎ 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 图2‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎ ‎【2008年山东省威海市中考试题】‎ 题目2： “一方有难，八方支援”．四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川．‎ ‎（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；‎ ‎（2）求恰好选中医生甲和护士A的概率．‎ ‎【2008年浙江省义乌市中考试题（义乌市用）】‎ 考法评析：题目1以北京奥运会福娃纪念币为背景考查不放回的简单概率事件问题，题目2以汶川地震救援选派医生、护士为背景考查用树状图或列表法求事件的概率问题，这样的考法不仅考查了概率计算的基础知识和基本技能，而且在一定程度上还渗透了利用这两个社会热点问题对考生进行爱国主义教育，较好地保证了题目的效度和教育性．‎ 例4 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌(图3)，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．‎ ‎（1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？ ‎ ‎（2）如果用分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用，，分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图（树形图）法加以说明．‎ 小刚 小明 A1‎ B1‎ C1‎ A B C 图3‎ ‎ 【2008年辽宁省沈阳市中考试题】‎ 考法评析：本题以民间游戏“象、虎、鼠”三种牌为背景，考查游戏胜出的概率．‎ 题目设置了难度层次不同的两个的问题，使题目的难度呈现具有良好的梯度，有助于提高试题的区分度．题目除文字叙述外，还利用图片展现其直观性，使问题呈现更加明了，有助于提高试题的信度．‎ 例5 题目1：甲乙两名同学做摸牌游戏．他们在桌上放了一副扑克牌中的4张牌，牌面分别是J，Q，K，K．游戏规则是：将牌面全部朝下，从这4张牌中随机取1张牌记下结果放回，洗匀后再随机取1张牌，若两次取出的牌中都没有K，则甲获胜，否则乙获胜．你认为甲乙两人谁获胜的可能性大？用列表或画树状图的方法说明理由．‎ ‎【2008年山西省太原市中考试题】‎ 红 黄 蓝 图4‎ 题目2：如图4，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯口朝上．我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏．‎ ‎（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；‎ ‎（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率．‎ ‎【2008年陕西省中考试题】‎ 考法评析： 这两题是2008年中考试题中考查考生利用概率解决实际问题的意识和能力的较为有代表性的题目．它们的问题背景都与游戏有关，都是考生身边比较熟悉的知识和事物，但摆脱了每年必考的摸球、转盘等常规问题情境．试题集中于概率自身提出解答的要求，考生需要掌握列表法或画树状图求概率的技能才能计算出所求随机事件的概率．这样的题目较好地保证了对概率自身的考查，具有较好的效度．‎ ‎（四）通过模拟实验，考查用频率估计概率的思想 初中数学的概率内容与现实生活紧密相连，要帮助考生了解随机现象，学会计算简单随机事件发生的可能性和从频率的角度理解概率，进而为决策判断提供依据，这种呈现统计与概率联系的试题在2008年的中考试题中具有较好的体现．‎ 例6 题目1：在研究抛掷分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正六面体骰子时，提出了一个问题：连续抛掷三次骰子，正面朝上的点数是三个连续整数的概率有多大？‎ 假设下表是几位同学抛掷骰子的实验数据：‎ ‎ 同学编号 抛掷情况 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 抛掷次数 ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎350‎ ‎400‎ ‎450‎ 正面朝上的点数是 三个连续整数的次数 ‎10‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎41‎ 请你根据这些数据估计上面问题的答案大约是 . ‎ ‎【2008年广东省佛山市中考试题】‎ 题目2：在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：‎ 摸球的次数 ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎800‎ ‎1000‎ ‎3000‎ 摸到白球的次数 ‎65‎ ‎124‎ ‎178‎ ‎302‎ ‎481‎ ‎599‎ ‎1803‎ 摸到白球的频率 ‎0.65‎ ‎0.62‎ ‎0.593‎ ‎0.604‎ ‎0.601‎ ‎0.599‎ ‎0.601‎ ‎（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.1）‎ ‎（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率 ．‎ ‎（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？‎ ‎【2008年贵州省贵阳市中考题】‎ 考法评析：以上两题着眼点都是考查用频率估计概率的基本思想，它们均利用了摸球实验这一模型，通过表格的方式展现实验数据，要求考生通过频率来估计概率．随着重复实验次数的增加，频率逐渐稳定的特点，进而使用这一频率估计相应的概率．上述两题的考法设计符合课程标准的要求，命题方式较为新颖，较好体现了统计与概率之间的联系．‎ ‎_‎ ‎1000‎ ‎_‎ ‎800‎ ‎_‎ ‎600‎ ‎_‎ ‎400‎ ‎_‎ ‎200‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎£©‎ ‎¸ö ‎£¨‎ ÏúÊÛÁ¿‎ ‎_‎ ‎1200‎ ‎_‎ ‎400‎ ‎_‎ Æ·ÅÆ ‎_‎ ‎1400‎ ‎_‎ ‎1200‎ ‎_‎ Æ·ÅÆ C ‎_‎ ‎6‎ ‎ ‎ ͼ‎ ‎_‎ B Æ·ÅÆ ‎_‎ A Æ·ÅÆ ‎_‎ ͼ‎ ‎ ‎ ‎7‎ ‎_‎ C Æ·ÅÆ ‎_‎ ‎ 50‎ ‎%‎