北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试

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北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试 一、选择题 ‎1、已知复数，则复数的模为（　　）‎ A． 2‎ B． ‎ C．1‎ D．0‎ ‎2、设是定义在上的奇函数，当时，，则（　　）‎ A．-3‎ B．-1‎ C．1‎ D．3‎ ‎3、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．4‎ D．‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎4、执行右面的框图，若输入实数，‎ ‎ 则输出结果为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5、以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ‎ ‎ ①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ ‎ ②若为假命题，则、均为假命题； ‎ ‎ ③命题：存在,使得，则：任意,都有；④在中,是的充分不必要条件.‎ A．1‎ B．2‎ C．3‎ D．4‎ ‎6、对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的 上确界,若，且，则的上确界为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．-4‎ ‎7、设集合，,,则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C．‎ D．‎ 二、填空题 ‎8、已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎9、在中，若，则 ．‎ ‎10、已知向量，，，若与垂直，则 ．‎ ‎11、若实数满足条件则的最大值为 ．‎ ‎12、已知函数，当且时，‎ ‎ 函数的零点，则 ．‎ ‎13、统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀．则及格人数是 ；优秀率为 ．‎ 三、解答题 ‎14、‎ 对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “类数列”．‎ ‎ （Ⅰ）若，，，数列、是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”；‎ ‎ （Ⅲ）若数列满足，，为常数．求数列前项的和．并判断是否为“类数列”，说明理由．‎ ‎15、‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎16、‎ 甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：‎ 甲 乙 ‎1‎ ‎8‎ ‎ 6 0 0‎ ‎2‎ ‎4 4 ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0 ‎ ‎ （Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；‎ ‎（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．‎ ‎（注：方差 其中为，，的平均数） ‎ ‎17、‎ ‎ 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．‎ ‎ （Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求证：平面．‎ ‎18、‎ ‎ 已知椭圆（）过点（0，2），离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，求.‎ ‎19、‎ ‎ 已知 ‎ （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；‎ ‎ （Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值； 若不存在，说明理由.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎2、A ‎3、B ‎4、D ‎5、C ‎6、B ‎7、A 二、填空题 ‎8、72‎ ‎9、‎ ‎10、‎ ‎11、4‎ ‎12、2‎ ‎13、‎ ‎800, 20%‎ 三、解答题 ‎14、‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为则有 ‎ 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为； ‎ ‎ 因为，则有，.‎ ‎ 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为. ‎ ‎ （Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则存在实常数，‎ ‎ 使得对于任意都成立，‎ ‎ 且有对于任意都成立， ‎ ‎ 因此对于任意都成立，‎ ‎ 故数列也是“类数列”． ‎ ‎ 对应的实常数分别为． ‎ ‎ （Ⅲ）因为 则有，， ‎ ‎ 故数列前2012项的和 ‎ +++‎ ‎ ‎ ‎ 若数列是“类数列”，则存在实常数 ‎ 使得对于任意都成立，‎ ‎ 且有对于任意都成立，‎ ‎ 因此对于任意都成立，‎ ‎ 而，且，‎ ‎ 则有对于任意都成立，可以得到 ，‎ ‎ 当时，，，，经检验满足条件.‎ ‎ 当 时，，，经检验满足条件.‎ ‎ 因此当且仅当或时，数列是“类数列”. 对应的实常数分别为或． ‎ ‎ ‎ ‎15、‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）因为，所以 ‎ ‎ 当时，即时，的最大值为；‎ 当时，即时，的最小值为. ‎ ‎16、‎ ‎ 解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数 ‎ ； ‎ ‎ .‎ ‎ （Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：‎ ‎ （18，20）（18，20）（18，26）（18，32）‎ ‎ （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）‎ ‎ （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）‎ ‎ （30，20）（30，20）（30，26）（30，32） ‎ ‎ 得分和超过55分的结果有： （24，32）（24，32）(30，26)（30，32） ‎ ‎ 求得分和超过55分的概率为. ‎ ‎ ‎ ‎17、‎ 解：（Ⅰ）证明：取中点，连结．‎ 在△中，分别为的中点， ‎ 所以∥，且．‎ 由已知∥，，‎ 所以∥，且．‎ ‎ 所以四边形为平行四边形． ‎ 所以∥．‎ 又因为平面，且平面，‎ 所以∥平面． ‎ ‎（Ⅱ）证明：在矩形中，．‎ 又因为平面平面， 且平面平面，‎ 所以平面．‎ 所以． ‎ 在直角梯形中，，，可得．‎ 在△中，，‎ 因为，所以．‎ 因为,所以平面 ‎18、‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ‎ ‎ 结合，解得 ‎ ‎ 所以，椭圆的方程为. ‎ ‎ （Ⅱ）由 得 ‎ ‎ 即，经验证. ‎ ‎ 设.‎ ‎ 所以， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ 因为点到直线的距离， ‎ ‎ 所以. ‎ ‎19、‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，‎ ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 当时，，所以，‎ ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. ‎ ‎ （Ⅱ）因为在处有极值，所以， 由（Ⅰ）知，所以 ‎ ‎ 经检验，时在处有极值． ‎ ‎ 所以，令解得； 因为的定义域为，所以的解集为， 即的单调递增区间为. ‎ ‎ （Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，‎ ‎ ① 当时，因为，所以 ， 所以在上单调递减，‎ ‎ ，解得，舍去. ‎ ‎ ②当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ ，解得，满足条件.‎ ‎ ③ 当时，因为，所以，‎ ‎ 所以在上单调递减，， 解得，舍去.‎ ‎ 综上，存在实数，使得当时有最小值3. ‎