2014龙岩3月份质检理数试卷(2)

2014龙岩3月份质检理数试卷(2)

福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），‎ 全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上.‎ ‎2. 答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”.‎ 参考公式：‎ 锥体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 柱体体积公式 ‎ V=Sh ‎ 其中S为底面面积，h为高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合则从集合到的映射共有 ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3. 下列说法正确的是 A．若“”为假命题，则，均为假命题 ‎ B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“使得”的否定是：“ 均有”‎ D．在中，若A是最大角，则“”是“为钝角三角形”的充要条件 ‎4. 计算的结果为 A．1 B． C． D．‎ ‎5. 如图所示程序，若最终输出的结果为，则在程序中横线 ？ 处应填入的语句为 S=0‎ n=2‎ i=1‎ DO ‎ ‎ ‎ i=i+1‎ LOOP UNTIL ？ ‎ PRINT ‎ END ‎（第5题图）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6. 已知平行四边形中，,‎ 则等于 A．1 B． ‎ C．2 D．‎ ‎7. 公比不为1的等比数列的前项和为，且 成等差数列．若，则=‎ A． B． ‎ C．7 D．40‎ ‎8. 已知实数满足：，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎9. 在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示不超过的最大整数，如，已知，令，且，则 A．8 B．‎5 ‎C．7 D．1‎ ‎10.已知方程的根为和，且函数 的极大值点、极小值点分别为、，其中，则有 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置上）‎ ‎11．二项式的展开式中常数项等于 .‎ ‎（第13题图）‎ ‎12．在中，角的对边分别为，若，，，则的周长是 .‎ ‎13．如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点 为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区 域（图中阴影部分）．若在此三角形内随机取一点，则点 落在区域内的概率为 .‎ ‎14．已知三条不重合的直线和两个不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，则； ②若，且，则；‎ ‎③若,则； ④若，则.‎ 其中正确命题的序号是 .‎ ‎15．将函数的图象绕原点顺时针旋转后可得到双曲线．据此类推得函数的图象的焦距为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题,共80分,把答案填在答题卷的相应位置上）‎ ‎16. （本小题满分13分）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数，，，(为虚数单位)的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为.‎ ‎（Ⅰ）用表示这一事件，求事件的概率；‎ ‎（Ⅱ）设复数的实部为，求的分布列及数学期望.‎ ‎（第17题图）‎ ‎17. （本小题满分13分）如图所示的几何体中，四边形与均为菱形，‎ ‎，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎18. （本小题满分13分） 受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象.通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口. 某港口在某季节每天港口水位的深度（米）是时间（，单位：小时，表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为 ‎. 已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为‎12米，最低水位的深度为‎6米，每天13：00时港口水位的深度恰为‎10.5米.‎ ‎（Ⅰ）试求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为‎7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于‎3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ 已知椭圆过点，且离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过点的直线与该椭圆相交于、两点，试问：在直线上是否存在点，使得是正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）对于任意是否存在实数，使恒为正数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若正项数列满足，，且数列的前项和为，试比较2与的大小，并加以证明. ‎ ‎21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知为矩阵属于特征值的一个特征向量．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值； ‎ ‎（Ⅱ）求矩阵的逆矩阵.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点的极坐标分别为，，曲线的参数方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的面积；‎ ‎（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.‎ 福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A D D C B C A D C B 二、 填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分）‎ ‎11. 20 12. 13. 14. ② 15. 8 ‎ 三、解答题（本大题共6小题,共80分）‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）所有的基本事件个数有（个）……………………………………………3分 包含的基本事件有，，，共4个…………………………5分 ‎.………………………………………………………………………… 6‎ 分 ‎（Ⅱ）的可能取值为，，…………………………………………7分 ‎，，……………………10分 的分布列为 ‎ ‎ ……………… 12分 所以.…………………………………………………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴‎ ‎∵平面，平面 ‎ ‎∴平面…………………………………2分 同理平面………………………………3分 ‎∵‎ ‎∴平面//平面………………………… 4分 ‎∵平面，∴平面……… 5分 ‎（用向量法证明，同等给分）‎ ‎（Ⅱ）连接 ‎∵四边形是菱形，∴.‎ 设，连接 ‎∵，为中点，∴‎ ‎∵四边形是菱形，且，‎ ‎∴为等边三角形 ‎∵为中点，∴，‎ ‎∴平面……6分 ‎∴两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系………………7分 设，∵四边形是菱形，，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 设为平面的法向量，则有，∴‎ 取，得.………………………………………………………9分 又∵，设直线与平面所成的角为 ‎∴‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………13分 ‎18（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，‎ ‎ ∴，………………………………………………………………3分 又，∴，∴‎ ‎ 又，∴，∴……………………………6分 ‎（Ⅱ）令得…………………………………………………8分 ‎∴，∴……………………10分 ‎∵，∴或………………………………………………11分 ‎∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口.‎ ‎ …………………………………………………………13分 ‎19. （本小题满分13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得………………………………………………………………2分 解得…………………………………………………………………………4分 所以椭圆的方程为…………………………………………… 5分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率为0或不存在时，不存在符合题意的点；……………………6分 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为 代入，整理得 设，，则，‎ 设存在符合题意的点，‎ 则 ‎………………………………………8分 设线段的中点，则，所以 因为是正三角形，所以且，即 ‎ ……………9分 ‎ 由得即，所以 所以 ‎…………………10分 由得，‎ 解得，所以…………………………………………………………12分 由得 所以 所以存在符合题意的点……………………………………………………13分 ‎20. （本小题满分14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为,所以，‎ ‎ 当时，；当时，．‎ ‎ 因为在上是单调递增，在上单调递减 ‎ 所以即函数的最大值为．……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）若恒成立，‎ 只需，‎ 设，又，‎ 则只需在上单调递减．‎ 在成立，得，‎ 设，则知函数在上单调递减，在上单调递增，即．‎ 存在实数，使恒为正数． ……9分 ‎(Ⅲ)由得又，‎ 知，． ………………………………………………… 10分 结论：2 ，证明如下：‎ 因为，由(Ⅰ)知，得 所以,‎ 故 ‎ ‎ 即成立，所以.……………………………………………14分 ‎（注：本题第(Ⅲ)问可用数学归纳法证明，递推过程中用第（Ⅰ）问结论. ） ‎ ‎21．（本题满分共14分）‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 解：（Ⅰ）由=得： ……………4分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ) 知 ‎ ‎……………………………………………………… 7分 ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（Ⅰ）解：……………………………………………3分 ‎（Ⅱ）在直角坐标系中 ‎ 所以直线的方程为：………………………………………………4分 ‎ 曲线：是圆心为，半径为的圆…………………………5分 因为直线正好过圆心，所以直线被曲线截得的弦长为……… 7分 ‎（3）解：（Ⅰ）原不等式等价于①：或②：‎ ‎ 或③：‎ ‎ 不等式组①无解；解不等式组②得：；解不等式组③得：‎ ‎ 所以原不等式的解集为 ………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）依题意………………………………………………………………………4分 因为，所以……………………6分 所以，即 ………………………………………………7分