2018届河南省百校联盟TOP20一月联考数学理卷(全国Ⅰ卷)

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2018届河南省百校联盟TOP20一月联考数学理卷(全国Ⅰ卷)

www.ks5u.com 百校联盟2018届TOP20一月联考(全国Ⅰ卷)‎ 理科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集为实数集,已知集合,则图中阴影部分所表示的集合为( )‎ A. B.或 C. D. ‎ ‎2.若,则( )‎ A. B. C.16 D.8‎ ‎3.某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站,乘客到达该车站的时刻是任意的,则一个乘客侯车时间超过 7分钟的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.命题,命题函数在上有零点,则是的( )‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.如图所示,程序输出的结果为,则判断框中应填( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知,则函数的图象大致为( )‎ A. B.‎ ‎ ‎ C. D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图均为直角梯形,俯视图为两个正方形,则该几何体的表面积为( )‎ A. B.‎61 C.62 D.73‎ ‎8.根据天文物理学和数学原理,月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个,椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36万千米,月球轨道上点与椭圆两焦点构成的三角形面积约为(万千米)2,,则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数,则下面 4 个结论:‎ ‎①函数图象的对称轴为 ‎②将图象向右平移1个单位后,得到的函数为奇函数 ‎③函数的单调递增区间为 ‎④经过点的直线和图象一定有交点 正确结论的个数是( )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4 ‎ ‎10.如图所示,四棱锥中,底面为菱形,,侧面为等边三角形且垂直于底面,分别为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.双曲线,,方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点,,,,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.函数满足,,若存在,使得成立,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 向量,且,则的坐标为 .‎ ‎14. 若满足约束条件则的最小值为 .‎ ‎15.若,则 ‎ .‎ ‎16.中,角的对边分别为,若,,则外接圆面积的最小值为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 正项数列满足,,数列为等差数列,,.‎ ‎(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ ‎18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过‎20克的为合格.‎ ‎(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件,求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率;‎ ‎(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;‎ ‎(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用表示乙车间的零件个数,求的分布列与数学期望.‎ ‎19.如图所示,在底面为正方形的四棱柱中,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知点,过点且与轴垂直的直线为,轴,交于点,直线垂直平分,交于点.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)记点的轨迹为曲线,直线与曲线交于不同两点,且(为常数),直线与平行,且与曲线相切,切点为,试问的面积是否为定值.若为定值,求出的面积;若不是定值,说明理由.‎ ‎21.函数在处的切线斜率为.‎ ‎(1)讨论函数的单调性; ‎ ‎(2)设,,对任意的,存在,使得成立,求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,椭圆的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求经过椭圆右焦点且与直线垂直的直线的极坐标方程;‎ ‎(2)若为椭圆上任意-点,当点到直线距离最小时,求点的直角坐标.‎ ‎23.选修4一5:不等式选讲 函数,,函数的最小值为. ‎ ‎(1)求不等式组的解集;‎ ‎(2),求证:.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CADCB 6-10: ACBAB 11、12:AA 二、填空题 ‎13. 或 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. (1)由题可得,∵,∴,‎ ‎∴,∴是首项为,公比为3的等比数列. ‎ ‎∴,.∴,‎ ‎∴∴∴.‎ ‎(2)由(1)得,,则,‎ 所以,‎ 令 ①,②,‎ 一、 ‎②得.‎ 所以. .‎ ‎18.(1)甲车间合格零件数为4,乙车间合格的零件数为2,‎ ‎∴.‎ ‎(2)设事件表示“2件合格,2件不合格”;事件表示“3件合格,1件不合格”;事件表示“4件全合格”; 事件表示“检测通过”;事件表示“检测良好”.‎ ‎∴,‎ ‎∴.故所求概率为.‎ ‎(3)可能取值为0,1,2.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 分别列为 ‎∴.‎ ‎19.(1)证明:连接交于,∴为中点,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,为公共边.‎ ‎∴,∴.‎ 又,∴平面. ‎ ‎∵,∴为平行四边形.‎ ‎∴,∴平面,‎ 又在平面内,∴平面平面. ‎ ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎∵,∴为等边三角形,∴.‎ 又,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴,,‎ ‎.‎ 设平面的一个法向量为,‎ ‎∴ 即 ∴.‎ 令,∴.‎ 设与平面所成角为.‎ ‎∴.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.(1)由题意得,即动点到点的距离和到直线的距离相等,‎ 根据抛物线定义可知点轨迹方程为.‎ ‎(2)设直线方程为,‎ 联立得 .‎ ‎∴.‎ 设中点为,∴.‎ 设切线方程为,‎ 联立得 .‎ ‎∴,∴,∴切点的横坐标为,∴ .‎ ‎∴轴.‎ ‎∵,∴,∴.‎ ‎∴,‎ ‎∵为常数,∴的面积为定值. ‎ ‎21.(1)的定义域为,‎ ‎,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴,.‎ ‎(ⅰ)当时,,在上单调递增;‎ ‎(ⅱ)当时,令,,‎ ‎,,时,,‎ 则在上单调递增,在上单调递减;‎ ‎(ⅲ)当时,,时,值大于0,则在上单调递增.‎ 综上所述,时,上单调递增区间为;时,的单调递增区间为,单调递 减区间为 .‎ ‎(2),由题意得,‎ ‎,‎ 设 ,,‎ 设,,‎ 当时,,∴,∴单调递减,‎ 则当时,,∴,∴单调递减,∴,∴,∴单调递减,‎ ‎∴,,‎ 令,∴,∴,∴,‎ ‎∴,∴,∴或,‎ 又因为,所以的取值范围为. ‎ ‎22.(1)椭圆方程,,‎ 直线的直角坐标方程为,‎ ‎∴与垂直的直线斜率为,‎ ‎∴直线方程为,即,‎ 则极坐标方程为. ‎ ‎(2)设,点到直线的距离,‎ 此时,‎ 当时,取最小值,此时,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴点坐标为.‎ ‎23.(1),∴。‎ 解,得,∴.‎ 设.‎ ‎∴的解集为.‎ ‎(2) 所以的最小值为 4.‎ ‎ (当且仅当时,等号成立),‎ ‎∴,∴. ‎
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