2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题（教师版）
2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题
一、选择题
．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足,
则下列结论中错误的是 （ ）
A．若,则可以取3个不同的值
B．若,则数列是周期为的数列
C．且,存在,是周期为的数列
D．且,数列是周期数列
【答案】 D．
．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,,.给出下列结论:
① ; ② ;
③ 的值是中最大的;④ 使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】 B．
二、填空题
．（2013届北京市延庆县一模数学理）
2
4
（14题图）
以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第次操作完成后，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为，则 ； .
【答案】； （这里为中的所有奇数）
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.
【答案】
解：由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以
．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,,in)(n是不小于3的正整数),若对任意的p,q∈{1,2,3,,n},当p
iq,则称ip,
iq是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于___________;若数组(i1,i2,i3,,in)的逆序数为n,则数组(in,in-l,i1)的逆序数为___________.
【答案】
．（2013北京朝阳二模数学理科试题）数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,,,;当时,,,,.则当时,______;试写出______.
【答案】63,
．（2013届北京西城区一模理科）记实数中的最大数为，最小数为.设△的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为．
（ⅰ）若△为等腰三角形，则______；（ⅱ）设，则的取值范围是______．
【答案】，．
．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，，即。两边平方得，即，即，即，即数列的任意两项之和为，所以，即。所以，解得或（舍去）。
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①；②若，；③，
则 ， ．
【答案】
解：根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。
．（2013北京东城高三二模数学理科）在数列中,若对任意的,都有(为常数),则称数列 为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:
①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;
②若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;
③若数列满足,,(),则该数列不是比等差数列;
④若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.
其中所有真命题的序号是___.
【答案】 ①③
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
【答案】；
解：因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.
．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为
比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:
①若数列满足,则该数列不是比等差数列;
②若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;
③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;
④若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.
其中所有真命题的序号是____ .
【答案】 ①②
三、解答题
．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）已知数集具有性质P:对任意
的,,使得成立.
(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质P,并说明理由;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)若,求数集中所有元素的和的最小值.
【答案】
解:(Ⅰ)因为 3, 所以 不具有性质P.
因为 ,所以具有性质P
(Ⅱ)因为集合具有性质P:
即对任意的 ,使得成立,
又因为,所以
所以,所以
即,
将上述不等式相加得
所以
(Ⅲ)最小值为
首先注意到,根据性质P,得到
所以易知数集A的元素都是整数.
构造或者,这两个集合具有性质P, 此时元素和为147.
下面,我们证明147是最小的和
假设数集,满足最小(存在性显然,因为满足的数集只有有限个).
第一步:首先说明集合中至少有8个元素:
由(Ⅱ)可知
又,所以,
所以
第二步:证明:
若,设,因为,为了使得最小,在集合
中一定不含有元素,使得,从而 ;
假设,根据性质P,对,有,使得
显然, 所以
而此时集合中至少还有5个不同于的元素,
从而,矛盾,
所以,进而,且;
同理可证:
(同理可以证明:若,则
假设.
因为根据性质P,有,使得
显然, 所以,
而此时集合中至少还有4个不同于的元素
从而,矛盾,
所以,且
同理可以证明:若,则
假设
因为根据性质P,有,使得
显然, 所以
而此时集合中至少还有3个不同于的元素
从而,矛盾,
所以,且 )
至此,我们得到了.
根据性质P,有,使得
我们需要考虑如下几种情形:
①, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素,才能得到元素8,
则;
②,此时集合中至少还需要一个大于4的元素,才能得到元素7,
则;
③,此时集合的和最小,为147;
④,此时集合的和最小,为147
．（2013届北京海滨一模理科）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.
（Ⅰ）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；
（Ⅱ）求证：若与重合，一定为偶数；
（Ⅲ）若，且，记，求的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）因为为非零整数）
故或，所以点的相关点有8个………………2分
又因为，即
所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上………………4分
（Ⅱ）依题意与重合
则，
即，
两式相加得
（*）
因为
故为奇数，
于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，
所以一定为偶数………………8分
（Ⅲ）令，
依题意，
因为
………………10分
因为有，且为非零整数，
所以当的个数越多，则的值越大，
而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大
而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大.
当时，令所有的都为1，都取2，
则.
当时，
若，
此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大
此时=.
若,令,其余的中有个，个1.
相应的，对于，有,其余的都为2，
则
当时，令
则相应的取
则=+
综上，………………13分
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）请写出一个，使得；
（Ⅱ）是否存在，使得？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．
【答案】（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
………………3分
（Ⅱ）解：不存在，使得． ………………4分
证明如下：
假设存在，使得．
因为， ，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个， 个，从而． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②
①、②相矛盾，从而不存在，使得． ………………8分
（Ⅲ）解：记这个实数之积为．
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有．
从而有． ③ ………………10分
注意到， ．
下面考虑，，，，，，，中的个数：
由③知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，
所以． ………………12分
对数表：，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以 ，．
所以．
由的任意性知，的取值集合为．……………13分
．（2011年高考（北京理））若数列满足,则称为E数列.记
(Ⅰ)写出一个满足,且的E数列;
(Ⅱ)若,证明:E数列是递增数列的充要条件是;
(Ⅲ)对任意给定的整数,是否存在首项为0的E数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由.
【答案】【命题立意】本题为新定义题,在理解新定义的基础上,学会信息迁移,把新信息转化为所学的知识解答.理解递增数列的含义和充要条件的概念.考查学生综合分析转化问题的能力和逻辑推理能力和综合探究的能力.
【解析】(Ⅰ)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列.(答案不唯一.0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列)
(Ⅱ)必要性:因为E数列是递增数列,所以
所以是首项为12,公差为1的等差数列.所以
充分性:由于,,,所以,
即,又因为,,所以
故,即是递增数列.综上,结论得证
(Ⅲ)令,则,
因为
所以
因为,所以为偶数.
所以为偶数.
所以要使,必须使为偶数,即4整除,也就是或
当时,E数列的项满足,()时,有,.
当时,E数列的项满足E数列的项满足,(),时,有,.
当或时,不能被4整除,即不是偶数,所以不存在E数列使得有,成立
．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知等差数列的通项公式为an=3n-2,等比数列中,.记集合 ,,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列的前4项;
(Ⅱ)把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,求数列的通项公式,并说明理由;
(Ⅲ)求数列的前n项和
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列的公比为q,
,则q3=8,q=2,bn=2n-1,
数列的前4项为1,4,7,10,数列{bn}的前4项为1,2,4,8,
数列的前4项为1,2,4,7;
(Ⅱ)据集合B中元素2,8,32,128A,猜测数列的通项公式为dn =22n-1.
dn=b2n ,只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2nA().
证明如下:
b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1,
若m∈N*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1∈A,则b2n+1∈A.因为b1∈A,重复使用上述结论,即得b2n-1∈A().
同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1” 数列的公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2同时属于A或同时不属于A,
当n=1时,显然b2=2A,即有b4=2A,重复使用上述结论,
即得b2nA,dn =22n-1;
(Ⅲ)(1)当n=1时,所以因为,所以S1=1;
(2)当n≥2时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2nA,则,且k0时,据期待数列的条件①②得：
由得，
………7分
当d<0时，
同理可得
由得，
……8分
（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；……………………9分
当k0且xn>1,则x2=l.
(Ⅲ)若数列{xn}只有2013项且具有性质P,x1=-1,x3 =2,求{xn}的所有项和S2013.
【答案】
．（2013届北京西城区一模理科）已知集合．
对于，，定义；
；与之间的距离为．
（Ⅰ）当时，设，．若，求；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则；
（ⅱ）设，且．是否一定，使？
说明理由；
（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）解：当时，由，
得 ，即 ．
由 ，得 ，或． ………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设，，．
因为 ，使 ，
所以 ，使得 ，
即 ，使得 ，其中．
所以 与同为非负数或同为负数． 5分
所以
．……6分
（ⅱ）解：设，且，此时不一定，使得． ………………7分
反例如下：取，，，
则 ，，，显然．
因为，，
所以不存在，使得． …8分
（Ⅲ）解法一：因为 ，
设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；时，．
所以
因为 ，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．因为
；
又 ，
所以
．即 ． ……………12分
对于 ，，有 ，，且，
．
综上，的最大值为． 13分
解法二：首先证明如下引理：设，则有 ．
证明：因为 ，，
所以 ，
即 ．
所以
……11分
上式等号成立的条件为，或，所以 ． 12分
对于 ，，有 ，，且，
．
综上，的最大值为． 13分
．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））数列的各项都是正数,前项和为,且对任意
,都有.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求数列的通项公式.
【答案】证明:(I)当时,
因为,所以
当时, ①
②
①-②得,
因为 所以,
即 因为适合上式
所以
(Ⅱ)由(I)知 ③
当时, ④
③-④得-
因为 ,所以
所以数列是等差数列,首项为1,公差为1,可得
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．
记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：当时，．
【答案】（Ⅰ）解：， ………………………………2分
； ………………………………4分
（Ⅱ）解：，． ………………………………6分
因为 ，
所以 ． ………………………………8分
（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明． …………9分
事实上，当时，
．
下面证明．
法一：对任何，
………………10分
……………………………………11分
…………………………12分
所以 ．…………………………13分
法二：对任何，
当时，
；………………………………………10分
当时，
综上，． ………………………………………13分
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.
【答案】证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9
（Ⅱ）当时，数表为
此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. …………………………………………………………6分
猜想“特征值”为. ……………………………………………………………7分
（Ⅲ）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.
①当这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………10分
②当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，
当它们中的一个数与在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有.
综上可得. ………………………………………………………………13分
．（2013届北京大兴区一模理科）已知数列的各项均为正整数，且，
设集合。
性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。
性质2 若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。
性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；
（Ⅰ）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；
（Ⅱ）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。
（Ⅲ）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。
【答案】解：（Ⅰ）；
为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；
（Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有
，即
，其中，必有，
所以仅存在唯一一组（）使成立，
即数列为阶完备数列；
，对，，则，因为，则，所以，即
（Ⅲ）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为
，。
下面用数学归纳法证明
显然时命题成立，假设当（时命题成立，即
当时，只需证
由于对称性只写出了元素正的部分，其中
既中正的部分的个元素统一为，其中
则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，
中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示
其中
中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，
所以当时命题成立。
即{}为阶完美数列，
．（2010年高考（北京理））已知集合对于,,定义A与B的差为
A与B之间的距离为
(Ⅰ)证明:,且;
(Ⅱ)证明:三个数中至少有一个是偶数;
(Ⅲ) 设P,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为(P),
证明:(P)≤.
【答案】证明:(I)设,,
因为,,所以,
从而
又
由题意知,,.
当时,;
当时,
所以
(II)设,,
,,.
记,由(I)可知
，
所以中1的个数为,的1的个数为｡
设是使成立的的个数,则
由此可知,三个数不可能都是奇数,
即,,三个数中至少有一个是偶数｡
(III),其中表示中所有两个元素间距离的总和,设种所有元素的第个位置的数字中共有个1,个0,则=
由于,所以
从而
