A佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测数学试题 Word版含解析

A佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测数学试题 Word版含解析

- 1 - A 佳教育·2020 年 3 月湖湘名校高二线上自主联合检测 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸及 答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.计算： （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 . 故选：B． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的计算能力，是一道基础题. 2.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先分别求出集合 A、B，再按交集运算即可. 2 3 1 i i − =− 5 2 2 i+ 5 2 2 i− 5 2 2 i− + 5 2 2 i− − 2 3 1 i i − =− ( )( ) ( )( ) 2 3 1 5 5 1 1 2 2 2 i i i i i i − + −= = −− + { }2 2 3 0A x x x= − − < { }2 4xB x= < A B = ( )3,1− ( )1,2− ( )3,2− ( )2,3 - 2 - 【详解】∵ ， ，∴ . 故选：B． 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 3.某班学生共有 55 人按照 01，02……55 编号，小罗利用下面的随机数表选取 8 人参加公益 活动，选取的方法是从随机数表（如下）的笫一行的第一列开始从左到右依次选取两个数字， 则选取的第 5 个人的编号为 （ ） A. 37 B. 82 C. 17 D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】 逐一剔除重复的编号. 【详解】从左到右，剔除重复的 54 和超出范围的 82，第五个数是 37. 故选：A． 【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对随机数表法的理解，是一道容 易题. 4.已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简 ，可得 ，利用向量模的计算公式计算即可. 【 详 解 】 ∵ ， ∴ ， 即 ∴ . 故选：D． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及到向量的垂直、向量模的运算，是一道基础题. 5.曲线方程 表示一个圆的充要条件为（ ） A. B. C. D. ( )1 3A = − ， ( )2B = −∞， ( )1 2A B = − ， { }49 54 43 54 8217 37 93 23 78 87 ⋅⋅⋅ ( ),2a λ= ( )1,1b λ= − ( ) ( )a b a b+ ⊥ −    λ = 2− 1− ( ) ( )a b a b+ ⊥ −    2 2| | | |a b=  ( ) ( )a b a b+ ⊥ −    ( ) ( )=0a b a b+ ⋅ −    2 2| | | |a b=  ( )22 4 1 1 1λ λ λ+ = − + ⇒ = − 2 2 4 0x y Ex y+ + − + = 15E > 15E ≥ 2 15E > 2 15E ≥ - 3 - 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用 计算即可. 【详解】表示圆的充要条件是 ，即 . 故选：C． 【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题. 6.若 为等差数列，首项 ， ， 则使得前 项和 成立的最大自然数 是（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】 由 已 知 ， 易 得 且 ， ， 由 前 n 项 和 公 式 易 得 ， . 【详解】∵ ， ，∴ 且 ， 又 而 故使得前 项和 成立的最大自然数 是 2018. 故选：B． 【点睛】本题考查等差数列的性质以及前 n 项和的应用，考查学生的逻辑推理与运算能力， 是一道中档题. 7.函数 的单调递减区间为（ ） 2 2 4 0D E F+ − > ( )22 1 4 4 0E + − − × > 2 15E > { }na 1 0a > 1009 1010 0a a+ > 1009 1010 0a a⋅ < n 0nS > n 0d < 1009 0a > 1010 0a < ( )2018 1009 10101009 0S a a= + > 2019 10102019 0S a= < 1 0a > 1009 1010 0a a⋅ < 0d < 1009 0a > 1010 0a < ( ) ( )1 2018 2018 1009 1010 2018 1009 02 a aS a a += = + > ( )1 2019 2019 1010 2019 2019 02 a aS a += = < n 0nS > n sin cos8 8 π πy x x   = − −       - 4 - A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 化简解析式得 ，利用整体法结合 减区间即可得到答案. 【详解】 ， 由 ，得 ， . 故选：B． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调区间的求法，涉及到二倍角公式的运用，是一道基 础题. 8.平面内向图形 ： 内投 1000 个点，则点落在 所确定的区域内的点 大约有（ ） A. 182 B. 818 C. 240 D. 318 【答案】D 【解析】 【分析】 先算出点落入阴影区域的概率，再利用随机模拟数估计概率即可. 【详解】可行域如图 3 7,4 4kπ π kπ π + +   k Z∈ 3 7 8 8kπ π,kπ π + +   k Z∈ 1 3 4 4kπ π,kπ π − +   k Z∈ 1 3,8 8kπ π kπ π − +   k Z∈ 1 sin 22 4 πy x = −   siny x= 1sin cos sin 28 8 2 4 π π πy x x x     = − − = −           32 2 22 4 2 π π πkπ x kπ+ < − < + 3 7 8 8 π πkπ x kπ+ < < + k Z∈ C 2 2 1x y+ ≤ 1 0 1 0 0 x y x y y − + >  + − <  > 1S =阴 - 5 - . 故选：D． 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，涉及到作出不等式组所表示的平面区域，是一道容 易题. 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，则“{an}是等差数列”是“ 是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列的定义证明求解. 【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以 所以 ， 所以 常数， 所以 是等差数列． 证“必要条件”因为 是等差数列，所以设数列 的公差为 ， 则 所以 当 时， 所以 当 时满足. 所以 常数， 所以{an}是等差数列. 故选 C. 【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题. 1 3181000 S xP xS π = = = ⇒ ≈阴 圆 { }nS n ( ) 1 1 2n n nS na d −= + 1 1 2 nS na dn −= + 1 1 1 1 1 2 2 2 n nS S n n da d a dn n + −   − = + − + = =   +     { }nS n { }nS n { }nS n t ( )1 1 ,nS a n tn = + − ( )1 1 ,nS na n n t= + − 2n ≥ ( ) ( ) ( )( )1 1 11 1 1 2 ,n n na S S na n n t n a n n t−= − = + − − − − − − ( )1 2 1 ,na a n t= + − 1n = ( )1 1 12 2 1 2n na a a nt a n t t+ − = + − − − = = - 6 - 10.已知椭圆 的右焦点为 ，直线 ： ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点） ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由已知计算出 ， ，利用 即可建立 的关系. 【详解】由题意，知 ，直线与两渐近线的交点分别为 和 ， 所以 ，所以 ，即 ， 所以离心率 . 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，关键是建立起 的关系，考查学生的基本计 算能力，是一道容易题. 11.已知斜三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形， ， ， 与 、 都成 角，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ， ， ，则 ， ，分别计算出 ， 2 2 14 3 x y+ = F l 2x = − l ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > A B 3AB OF= O 5 3 5 4 5 OF AB 3AB OF= , ,a b c 1OF = 22, bA a  −   22, bB a  − −   4bAB a = 4 3b a = 3 4 b a = 2 24 3 5 4 4 ce a += = = , ,a b c 1 1 1ABC A B C− ABC 2AB AC= = 1 2CC = 1AA AB AC 60 1AB 1BC 1 4 15 5 10 5 1 6 AB a=  AC b=  1AA c=  1AB a c= +   1BC b c a= + −    1 1AB BC⋅  - 7 - ，利用 计算即可. 【详解】设 ， ， ，则 ， ， ，从而 ， ， ， ， 所以 . 故选：D． 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查了空间向量的基本定理的应用，也可以通过平移， 构造三角形，解三角形来解决. 12.已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 不等式 可化为 ，分 ， 两种情况讨论即可. 【详解】不等式 可化为 （*）． 1 1,AB BC  1 1 1 1 1 1 cos , | || | AB BCAB BC AB BC ⋅=      AB a=  AC b=  1AA c=  0a b⋅ =  2a c⋅ =  2b c⋅ =  1AB a c= +   1BC b c a= + −    2 2 1 1 2AB BC a b b c c a⋅ = ⋅ + ⋅ + − =        2 2 1 2 4 4 4 2 3AB a c a c= + + ⋅ = + + =     2 2 2 1 2 2 2 4 4 4 2 3BC a b c b c a b a c= + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ = + + =          1 1 1 1 1 1 1cos , 6| || | AB BCAB BC AB BC ⋅= =      ( ) 2 14 2 3, 2 1 12 , 2 x x x f x x xx  − + ≤=   + > a R∈ x ( ) 2 af x x≥ − R a 39 47,8 8  −   474, 8  −   4,4 3 −  39 ,4 38  −   ( ) 2 af x x≥ − ( ) ( ) 2 af x x f x− ≤ − ≤ 1 2x ≤ 1 2x > ( ) 2 af x x≥ − ( ) ( ) 2 af x x f x− ≤ − ≤ - 8 - 当 时，（*）式即 ． 即 ． 又 （当 时取等号） （当 时取等号）． 所以 ， 当 时，（*）式为 ， ． 又 （当 时取等号）， （当 时取等号），所以 ． 综上， ． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式求最值，是一 道有一定难度的题. 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分． 13.命题：“ ，不等式 ”的否定形式是__________． 【答案】 ，不等式 【解析】 【分析】 的否定为 . 【详解】根据特称命题的否定是全称命题，知“ ，不等式 ”的 否定为“ ，不等式 ”. 故答案为： ，不等式 . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，关键是理解特称命题、全称命题的含义，是 1 2x ≤ 2 24 2 3 4 2 32 ax x x x x− + − ≤ − ≤ − + 2 24 3 4 3 32 ax x x x− + − ≤ − ≤ − + 2 2 1 47 474 3 4 8 16 16x x x − + − = − − − ≤ −   1 4x = 2 2 3 39 394 3 3 4 8 16 16x x x − + = − + ≥   3 4x = 39 47 8 8a− ≤ ≤ 1 2x > 1 12 22 ax x xx x − − ≤ − ≤ + 1 13 2 ax xx x − − ≤ − ≤ + 1 13 3 2 3x xx x  − − = − + ≤ −   3 3x = 1 12 2x xx x + ≥ + = 1x = 4 4 3a− ≤ ≤ 474 8a− ≤ ≤ x R∃ ∈ 2 3 0ax x+ + > x R∀ ∈ 2 3 0ax x+ + ≤ , ( )x M p x∃ ∈ , ( )x M p x∀ ∈ ¬ x R∃ ∈ 2 3 0ax x+ + > x R∀ ∈ 2 3 0ax x+ + ≤ x R∀ ∈ 2 3 0ax x+ + ≤ - 9 - 一道容易题. 14.在长方体 中， ， ， ，若体对角线长为 ， 则长方体的表面积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知， ，表面积 ，利用基本不等式 ， 计算即可得到答案. 【详解】由已知得， ，所以 ，所以长方体表面积 因为 ， ， 所以 ，∴ ，当且仅当 等号成立， 故表面积 . 故答案为： . 【点睛】本题考查长方体表面积的计算，涉及到基本不等式求最值，考查学生的运算求解能 力，是一道中档题. 15.在平行四边形 中， ， ， ， 是 上一点， 最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 将 用 表示，即 ，只需求出 即可. 【详解】由余弦定理可得， ， 设 ， 1 1 1 1ABCD A B C D− AB a= AD b= 1 3 2AA = 5 2 32 48 2+ 2 2 32a b+ = ( )2 6 2S ab a b= + + 2 22ab a b≤ + ( )2 2 22( )a b a b+ ≤ + 2 2 2 2(3 2) (5 2)a b+ + = 2 2 32a b+ = ( )2 6 2S ab a b= + + 2 22 32ab a b≤ + = ( )22 2 2 22 2 2a b a b ab a b+ ≥ + + = + ( )2 2 22 2 64a b a b+ ≤ + = 8a b+ ≤ 4a b= = ( )2 6 2 32 48 2S ab a b= + + ≤ + 32 48 2+ ABCD 2AB = 1BC = 120ABC∠ = ° P AC ( )PA PB PD⋅ +   7 8 − ( )PA PB PD⋅ +   AC ( )PA PB PD⋅ + =   2 222AC ACλ λ− + ⋅  | |AC 2 2 2 cos120 1 4 2 7AC AB BC AB BC= + − ⋅ = + + = (0 1)AP ACλ λ= ≤ ≤  - 10 - ，当 时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值问题，考查学生的运算求解能力、数形结合的思想， 是一道中档题. 16.已知函数 ，若函数 有四个零点，则 实数的 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 或 ，作出函数 的图象，易知 有 3 个根，所以 有一个根，结合图象即可得到答案. 【详解】令 ，得 ，对 ， ， 列表如下： 1 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 3 递减 极小值 递增 ∴ 的大致图象： ( ) ( ) ( )2 2PA PB PD AP AB AD AP AC AC ACλ λ⋅ + = − ⋅ + − = − ⋅ −          2 2 22 2 1 72 7 14 14 4 8AC ACλ λ λ λ λ = − + ⋅ = − + = − −     7 8 ≥ − 1 4 λ = 7 8 − ( ) 3 3 1f x x x= − + ( ) ( ) ( ) ( )2 1g x f x a f x a= + − −   a ( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞ ( ) ( ) ( )2 1 0f x a f x a+ − − = ⇒   ( ) 1f x = ( )f x a= − ( )f x ( ) 1f x = ( )f x a= − ( )' 23 3 0f x x= − = 1x = ± x ( )'f x ( )f x x ( ), 1−∞ − 1− ( )1,1− ( )1,+∞ ( )'f x ( )f x 1− ( )f x - 11 - 由 ，得 或 ， 当 时，有 3 个根，只需 有一个根，从而 或 ， 解得 或 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，考查学生数形结合思想以及数学运算 能力，是一道中档题. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知向量 ， ． （1）求 的最小正周期； （2）求 在 上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为 ，最小值为 ． 【解析】 【分析】 （1）利用向量数量积的坐标运算及倍角公式，可得 ； （2） ，利用整体换元法求值域. ( ) ( ) ( )2 1 0f x a f x a+ − − =   ( ) 1f x = ( )f x a= − ( ) 1f x = ( )f x a= − 1a− < − 3a− > 3a < − 1a > ( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞ ( )1 sin ,sina x x= + ( )cos ,1b x= ( ) sin cosf x a b x x= ⋅ − −  ( ) sin cosg x a b x x= ⋅ −  ,4 π π −   π 2 1− ( ) 1 sin 22f x x= ( ) 2 sin 4g x x π = +   - 12 - 详解】（1）∵ ， ∴ ∴ . （2） ∵ ，∴ ∴ ∴ ，故 的最大值为 ，最小值为 ． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的周期、与最值，涉及到向量数量积的坐标运算、倍角公 式、辅助角公式，是一道容易题. 18. 等差数列 中， ， ． （1）求数列 的通项式 ； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】 （ 1 ） 利 用 ， 代 入 已 知 即 可 得 到 及 公 差 d ， 利 用 计算即可. （2）利用错位相减法. 【详解】∵数列 为等差数列， ， ∴ ∴ . 【 在 【 ( )1 sin ,sina x x= + ( )cos ,1b x= ( ) ( ) 11 sin cos sin sin cos sin cos sin 22f x x x x x x x x x= + + − − = = 2 2T π π= = ( ) (1 sin )cos sin sin cos sin cos 2 sin 4 πg x x x x x x x x x = + + − = + = +   ,4 πx π ∈ −   50 4 4 π πx≤ + ≤ 2 sin 12 4 πx − ≤ + ≤   ( )1 2g x− ≤ ≤ ( )g x 2 1− { }na 5 15S = 1 7 10a a+ = { }na na 3 3 n n n ab += { }nb n nT 2 3na n= − 3 2 3 1 2 2 3 n n nT +  = −    5 35S a= 1 7 42a a a+ = 3 4,a a ( )3 3na a n d-= + { }na 5 15S = 1 7 10a a+ = 3 3 4 4 5 15 3 22 10 5 a a da a = = ⇒ ⇒ = = =  ( )3 3 2 3na a n d n- == -+ - 13 - （2） ∴ . 【点睛】本题考查等差数列的性质求通项公式以及错位相减法求数列前 n 项和，考查学生的 数学运算能力，是一道中档题. 19.如图，在三棱锥 中， ， ， ， 为 的中点，点 在线段 上运动． （1）当 ，试确定 的位置； （2）若 与 夹角为 ， ，试求二面角 的余弦值． 【答案】（1） 在 的中点（2） 【解析】 分析】 （1）若 ，结合已知条件有 ，可得 面 ， ，因为 ，所以可得 为 的中点； （2）以 D 为原点，建立空间直角坐标系，分别计算面 的法向量为 ，面 的法向量 【 3 123 3 n n n n ab n +  = =    1 21 1 12 4 23 3 3 n nT n     = + +⋅⋅⋅+           ( )2 11 1 1 12 2 1 23 3 3 3 n n nT n n +     = +⋅⋅⋅+ − +           1 2 11 1 1 1 12 23 3 3 3 3 n n n nT T n +        − = + +⋅⋅⋅+ −                  1 1 113 32 1 3 2 3 12 213 3 2 2 31 3 n n n n n nT n T +   −     +    = − ⇒ = −      − P ABC− PA AB⊥ PA BC⊥ AB BC= E PC D AC BD PC⊥ D PB ABC 3 π 2 3ABC π∠ = E BA P− − D AC 2 5 5 BD PC⊥ PA BD⊥ BD ⊥ PAC BD AC⊥ AB BC= D AC ABE 1n ABP - 14 - 为 ，利用 计算. 【详解】（1）当 运动到 的中点有 . ∵ ，∴ 又∵ ， ， ∴ 面 ，∴ 而 ，∴ 面 又∵ 面 ，∴ （2）当 在 的中点时，（如图）建立空间坐标系，设 的长为一个单位，则由题可以 知道坐标为 ， ， ， ． 设面 的法向量为 则 ，令 ，则 所以 ， 设面 的法向量为 则 ，令 ，则 所以 ， ， 2n 1 2 1 2 1 2 cos , | || | n nn n n n ⋅< >=      D AC BD PC⊥ AB BC= BD AC⊥ PA AB⊥ PA BC⊥ AB BC B∩ = PA ⊥ ABC PA BD⊥ AC PA A∩ = BD ⊥ PAC PC ⊂ PAC BD PC⊥ D AC BD ( )0, 3,0A − ( )1,0,0B ( )0,0, 3E ( )0, 3,2 3P − ABE ( )1 1 1 1, ,n x y z= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1, 3,0 3 0 , , 0, 3, 3 3 3 0 n AB x y z x y n AE x y z y z  ⋅ = ⋅ = + = ⋅ = ⋅ = + =     1 1z = 1 11, 3y x= − = ( )1 3, 1,1n = − ABP ( )2 2 2 2, ,n x y z= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 1, 3,0 3 0 , , 0,0,2 3 2 3 0 n AB x y z x y n AP x y z z  ⋅ = ⋅ = + = ⋅ = ⋅ = =     2 1y = 2 23, 0x z= − = ( )2 3,1,0n = − ( ) ( ) 1 2 3, 1,1 3,1,0 2 5cos , 55 4 n n − ⋅ − < >= = − ⋅   - 15 - 设二面角 的大小为 ， 则 ， 所以二面角 的余弦值为 【点睛】本题考查线面垂直的应用以及坐标法求二面角的大小，考查学生的运算求解能力， 要注意点的坐标的准确性，是一道中档题. 20.某市 2019 年引进天然气作为能源，并将该项目工程承包给中昱公司．已知中昱公司为该 市铺设天然气管道的固定成本为 35 万元，每年的管道维修此用为 5 万元．此外，该市若开通 千户使用天然气用户 ，公司每年还需投入成本 万元，且 ．通过市场调研，公司决定从每户天然气新 用户征收开户费用 2500 元，且用户开通天然气后，公司每年平均从每户使用天然气的过程中 获利 360 元． （1）设该市 2019 年共发展使用天然气用户 千户，求中昱公司这一年利润 （万元）关 于 的函数关系式； （2）在（1）的条件下，当 等于多少 最大？且 最大值为多少？ 【答案】（1） ， （2）当 时，公司 利润达最大为 1080 万元． 【解析】 【分析】 （1）由已知， ，分段代入 即可； （2）分别求出分段函数每一分支的最值，比较大小即可得到答案. 【详解】（1）由题可知： ， 即 ， E BA P− − θ 2 5cos 5 θ = E BA P− − 2 5 5 x ( )x R+∈ ( )f x ( ) ( ) 210 200 ,0 10 10000287 1320, 10 x x x f x x x x Rx +  + < <=  + − ≥ ∈ x ( )W x x x ( )W x ( )W x ( ) 210 86 40,0 10 100001280 , 10 x x x W x x xx − + − < <=  − − ≥ ( )x R+∈ 100x = ( ) ( )250 36 40W x x x f x= + − − ( )f x ( ) ( ) ( )250 36 40 286 40W x x x f x x f x= + − − = − − ( ) 210 86 40,0 10 100001280 , 10 x x x W x x xx − + − < <=  − − ≥ ( )x R+∈ - 16 - （2）由（1）可知当 时， （万元） 当 时， （万元），当且仅当 时取等号 故当本年度发展客户 100 千户时公司利润达最大为 1080 万元． 【点睛】本题考查函数模型及其应用，涉及到分段函数模型，考查学生求解分段函数的最值， 是一道中档题. 21.已知椭圆 的左右顶点分别记为 、 ，其长轴的长为 4，离心率为 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）记 的中点为 ，若动点 的横坐标恒为 ，过点 作 ∥ 交椭圆于点 ， 直线 交椭圆于点 ，求证： 、 、 三点共线． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）直接法求椭圆的标准方程； （2）设 的坐标为 ，用 分别表示 、 、 的坐标，再利用斜率相等，即 证明. 【详解】（1）由题可知 ， ；∴ ， ，故 所以椭圆方程为： （2）设 的坐标为 ， ， ， , 0 10x< < ( ) ( )210 4,3 144.9 144.9W x x= − − + ≤ 10x ≥ ( ) 100001280 1080W x x x  = − + ≤   100x = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > A B 2 2 OB P H 5 2 A AM PH M BH N M P N 2 2 14 2 x y+ = H 0 5 ,2 y     0y M P N PM PNk k= 2 4a = 2 2 c a = 2 4a = 2 2c = 2 2b = 2 2 14 2 x y+ = H 0 5 ,2 y     ( ),M MM x y ( ),N NN x y (1,0)P - 17 - ∴ ∴ 的方程为 ，代入椭圆方程 ，得 故 ∴ 又∵ ，∴ 为 代入椭圆方程 ， 得 ∴ ， 故 ， ∴ ，故 、 、 三点共线． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆中的共线问题，考查学生数学运算能力，解析几 何中，三点共线的问题通常采用斜率来证明，是一道中档题. 22.已知函数 ． （1）若 使得 成立，试求 的取值范围： （2）当 在点 处的切线与函数 的图象交于点 时， 若 的面积为 ，试求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）若 使得 成立，转化为 在 的最大值大于等于 0 即可 ； 0 02 5 312 PH AM y yk K= = = − AMl 02 ( 2)3 yy x= + 2 2 14 2 x y+ = 2 0 2 0 18 16 9 8M yx y −= + 0 2 0 24 9 8M yy y = + 0 2 0 8 1 3 8 M PM M y yk x y = =− − 0 025 22 BH yk y= = − BNl 02 ( 2)y y x= − 2 2 14 2 x y+ = 2 0 2 0 2 16 1 8N yx y − += + 0 2 0 8 1 8N yy y −= + 0 0 2 2 0 0 8 8 1 3 8 3 8 N PN N y y yk x y y −= = =− − + − PM PNk k= M P N ( ) lnx xf x e x e a= − + 0 1 ,1x e  ∃ ∈   ( )0 0f x ≥ a ( ) ( ) x f x ag x e −= ( )( )1, 1A g ( ) 2y f x= − B ABO∆ 1e − a a e≥ a e= 0 1 ,1x e  ∃ ∈   ( )0 0f x ≥ ( )f x 1 ,1x e  ∈   - 18 - （2） 可得 B 的坐标，将 B 代入 即可. 【详解】（1）∴ ∴ 令 ，则 ， ∴ 在 上单调递减，∴ ， ∴ ，故 在 上单调递增，∴ ， ∴ ，即 . （2）由题可知 ，故切点为 ，∵ ，∴ 所以切线方程为： ，交 轴于 ，交 轴于 ， 设切线交函数于点 ，因为 ，故 ， 又 ，故 B 的位置只能在 C 的上方. 如图，则 面积为 ， 或 （舍），故 ， 所以函数 过点 ，∴ ∴ ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数能成立问题、切线所围成的面积问题，考查学生运算求 的 1 1 12ABO ACO CBO BS S S OC y e= + = + = −△ △ △ ( )f x ( ) lnx xf x e x e a= − + ( )' 1 1ln ln 1x x x xf x e x e e e xx x  = + − = + −   ( ) 1ln 1xg x x = + − ( )' 2 1 1 0g x x x = − ≤ 1 ,1x e   ∈     ( )g x 1 ,1x e  ∈   ( ) ( )1 0g x g≥ = ( )' 0f x ≥ ( )f x 1 ,1e      ( ) ( )max 1f x f a e= = − 0a e− ≥ a e≥ ( ) ln 1g x x= − ( )1, 1A − ( )' 1g x x = ( )' 1 1g = 2y x= − x ( )2,0C y (0, 2)D − ( ),B BB x y 0Bx > 2 0By + > 1 2 1 1 12AOC AODS S e∆ ∆= = × × = < − ABO∆ 1 1 12ABO ACO CBO BS S S OC y e= + = + = −△ △ △ 2By e= − By e= − ( ), 2B e e − ( ) 2y f x= − ( ), 2e e − ln 2 2e ee e e a e− + − = − a e= - 19 - 解能力，是一道中档题. - 20 -