2018有关中考数学试题分类汇编线与圆的位置关系

2018有关中考数学试题分类汇编线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系 ‎1、（福建德化）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．‎ ‎(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．‎ 答案：1）直线CE与⊙O相切。‎ 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ， ‎ 又 ∵∠ACB=∠DCE ‎ ∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90‎ ‎∴∠AE0+∠DEC=90 ∴∠OEC=90 ∴直线CE与⊙O相切。‎ ‎（2）∵tan∠ACB=，BC=2 ∴AB=BC∠ACB= AC=‎ 又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ∴DE=DC•tan∠DCE=1‎ 方法一：在Rt△CDE中，CE=，‎ 连接OE，设⊙O的半径为r，‎ 则在Rt△COE中，即 解得：r=‎ 方法二：AE=CD-AE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=‎ ‎ 在Rt△AMO中，OA=‎ ‎20．(2010年北京崇文区) 如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆 于点，交于点使．‎ C A O B E D ‎（1）判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【关键词】切线的证明、弦长的计算 ‎【答案】解：（1）与的相切．证明如下：‎ ‎ ‎ ‎． ‎ 又，‎ ‎． ‎ 即与的相切．‎ ‎（2）解：连接．是直径，‎ C A O B E D ‎1‎ ‎2‎ 在中，，‎ ‎,‎ ‎．．‎ ‎,‎ 在中，，‎ ‎=．‎ ‎8．（2010年门头沟区）如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，‎ P A O B 第8题 ‎,点在数轴上运动，若过点且与平行的直 线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是 ‎ A．－1≤≤1 B．≤≤ C．0≤≤ D．＞ ‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】C ‎19. （2010年门头沟区）已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，‎ AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ C O B A D M E N ‎（2）若cm，cm，求⊙O的半径.‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】（1）证明：连接OD．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎．‎ ‎ ∵AD平分∠CAM，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴DO∥MN．‎ ‎，‎ ‎∴DE⊥OD．………………………………………………………………………………1分 ‎∵D在⊙O上， ‎ 是⊙O的切线．……………………………………………………………………2分 ‎（2）解：，，，‎ ‎．………………………………………………3分 连接．是⊙O的直径，‎ ‎． ‎ ‎，‎ ‎．………………………………………………………………4分 ‎．‎ ‎． ‎ ‎∴（cm）．‎ ‎⊙O的半径是7.5cm．‎ ‎1.（2010年台湾省） 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，‎ A C B D 图(四)‎ ‎ 且与交于另一点D。若ÐA=70°，ÐB=60°，则 的度数为何？ (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。‎ ‎【关键词】直线和圆的位置关系 ‎【答案】C ‎2.（2010年山东省济南市）如图，是⊙的切线，为切点，是⊙的弦，过作于点．若，，．‎ ‎ ‎ 求：（1）⊙的半径； ‎ ‎（2）AC的值．‎ ‎【关键词】直线和圆的位置关系 ‎【答案】‎ 解①∵AB是⊙O的切线，A为切点 ‎∴OA⊥AB ………..…………………………1’‎ 在Rt△AOB中，‎ AO===5 ………..…….2’‎ ‎∴⊙O的半径为5‎ ‎②∵OH⊥AC ‎∴在Rt△AOH中 AH=== ……….3’‎ 又∵OH⊥AC ‎∴AC=2AH=2 ……………….……..4’‎ x O P y ‎18、（2010年宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为___________。‎ 答案：（，2）或（，2）‎ ‎（2010年重庆市潼南县） 如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】相离 ‎14．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.‎ 解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离.‎ 答案：相离.‎ ‎1.(2010年山东聊城)如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．‎ ‎（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；‎ ‎（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．‎ 第24题 A C B D E O ‎·‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】（1）∵AB为直径,∴∠ADB=90° AD=3 BD=4 AB=5‎ 由Rt△ABC∽Rt△ABD可得：‎ ‎ ∴BC==‎ ‎（2）连接OD,‎ ‎∵BD⊥AC E为BC中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB, ∵OB=OD ‎∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°,‎ ‎∴ED与⊙O相切.‎ ‎1. (2010年兰州市)（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.‎ ‎ （1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求证：BC=AB；‎ ‎ （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.‎ ‎【关键词】‎ 切线的判定 ‎【答案】‎ 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ‎ ‎ ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ‎ ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分 ‎ ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分 ‎∵OC是⊙O的半径 ‎ ‎ ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分 ‎ （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ‎ ‎ ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ‎ ∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分 ‎ ∴BC=OC ‎ ∴BC=AB ………………………………………………………6分 ‎ (3)连接MA,MB ‎ ‎ ∵点M是弧AB的中点 ‎ ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ‎ ‎∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ‎ ‎ ∵∠BMC=∠BMN ‎ ∴△MBN∽△MCB ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴BM2=MC·MN ……………………8分 ‎ ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ‎ ‎ ∴∠AMB=90°,AM=BM ‎ ∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分 ‎ ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分 ‎（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．‎ ‎•‎ P B A E O C D 求证：（1）PD=PE；‎ ‎（2）．‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】证明：(1)连接OC、OD………………1分 ‎∴OD⊥PD ，OC⊥AB ‎∴∠PDE=—∠ODE，‎ ‎∠PED=∠CEO=—∠C 又∵∠C=∠ODE ‎∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分 ‎∴PE=PD …………………………………………5分 ‎(2) 连接AD、BD ………………………………………6分 ‎∴∠ADB= ‎ ‎∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A ‎∴PDB∽PAD …………………………………………………8分 ‎∴ ∴‎ ‎∴ ‎ ‎8. （2010年安徽中考）如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为………………（ ）‎ A）B）C）D） ‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】C ‎13. （2010年安徽中考） 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500‎ ‎，点D是BAC上一点，则∠D＝_______________‎ ‎【关键词】圆内接三角形 ‎【答案】400‎ ‎20．（2010年浙江省东阳市）（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4. ‎ ‎（1）求证: ～；‎ ‎(2) 求的值； ‎ ‎（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，‎ 求的度数.‎ ‎【关键词】三角形相似、解直角三角形 ‎【答案】（１）∵点A是弧BC的中点　∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ 又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ　　∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 ‎（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ　∴ＡＢ２＝２×６＝１２　∴ＡＢ＝２‎ 在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 ‎（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，‎ ‎∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 ‎14．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.‎ 解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离.‎ 答案：相离.‎ ‎28.（2010江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．‎ ‎⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．‎ ‎①求k的值；‎ ‎②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、‎ D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．‎ ‎⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）‎ ‎ ‎ ‎【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.‎ ‎②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，‎ ‎∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，‎ ‎∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，‎ ‎∴OD＝PD＝，OP=.‎ ‎∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，‎ ‎∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，‎ ‎∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，‎ 解得m=1或3，‎ ‎∴P的坐标为（1，3）或（3，1）‎ ‎⑵分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。‎ 直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°‎ ‎，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．‎ 当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．‎ 综合以上得：b的值为或．‎ ‎【关键词】一次函数、勾股定理、圆的切线等知识的综合运用 ‎6．（2010年山东省青岛市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】B ‎23．(2010年安徽省芜湖市)（本小题满分12分）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．‎ ‎（1）求证：PM＝PN；‎ ‎（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．‎ ‎【关键词】圆的切线、勾股定理、相似三角形 ‎(1)【证明】：连接OM，．．．．．．．1分 ‎∵MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP．∴∠OMD+∠DMP=90°．‎ ‎∵OA⊥OB，∴∠OND +∠ODM=90°．‎ 又∵∠MNP=∠OND ，∠ODM=∠OMD ，∴∠DMP=∠MNP，∴PM＝PN．．．．4分 ‎(2)解：设BC交OM于点E，∴BD=4，OA=OB=，‎ ‎∴PA=，∴PO=5．．．．5分 ‎∵BC∥MP，OM⊥MP，∴OM⊥BC，BE=．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎∵∠BOM+∠MOP=90°，在Rt△OMP中，∠MPO+∠MOP=90°，‎ ‎∴∠BOM=∠MPO，又∵∠BEO=∠OMP==90°．‎ ‎∴△OMP∽△BEO．∴．．．．．．．．．．．．．．．10分 得：，∴，∴．．．．．．．．．．．．．12分 ‎4．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.‎ 解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离.‎ 答案：相离.‎ ‎21(2010年浙江省金华)．(本题8分)‎ A C B D ‎(第21题图)‎ E F O 如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（1）求证：CF﹦BF；‎ ‎（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ▲ ， ‎ CE的长是 ▲ ．‎ ‎【关键词】直径所对圆周角是直角 ‎【答案】(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°‎ ‎ 又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90°‎ ‎ ∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1‎ ‎ 又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A ‎ ∴∠1﹦∠2,‎ ‎ ∴ CF﹦BF﹒ ‎ ‎(2) ⊙O的半径为5 ， CE的长是﹒ ‎ ‎8．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ‎(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5 ‎ ‎【关键词】直线与圆的关系 ‎【答案】C ‎20．（2010山东德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：BC与⊙O相切；‎ ‎（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．‎ ‎【关键词】切线、角平分线 B A C D E G O F 第20题图 ‎【答案】（1）证明：连接OE，‎ ‎∵AB=AC且D是BC中点，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DAE．‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠OAE=∠OEA．‎ ‎∴∠OEA=∠DAE．‎ ‎∴OE∥AD．‎ ‎∴OE⊥BC．‎ ‎∴BC是⊙O的切线 ‎（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，‎ ‎∴∠B=∠C=30°．‎ ‎∴∠EOB =60°．‎ ‎∴∠EAO =∠EAG =30°．‎ ‎∴∠EFG =30°．‎ ‎（2010年四川省眉山）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 ‎【关键词】真假命题和一些几何概念 ‎【答案】C C P D O B A E ‎（2010年广东省广州市）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ ‎【关键词】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 ‎【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．‎ 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．‎ ‎（2）∠ACB是定值.‎ 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，‎ 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，‎ 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；‎ ‎（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．‎ ‎∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.‎ ‎∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．‎ 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，‎ ‎∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，‎ ‎∴△ABC的周长为．‎