高中数学人教a版选修4-4阶段质量检测（一）b卷word版含解析

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阶段质量检测（一） B卷 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 6分，满分 60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A．(π，0) B．(π，2π) C．(－π，0) D．(－2π，0) 解析：选 A x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)． 2．在极坐标系中，已知 A 2，π 6 、B 6，－ π 6 ，则 OA、OB的夹角为( ) A.π 6 B．0 C.π 3 D.5π 6 解析：选 C 如图所示，夹角为 π 3 . 3．在同一平面直角坐标系中，将曲线 y＝1 3 cos 2x按伸缩变换 x′＝2x， y′＝3y 后为( ) A．y＝cos x B．y＝3cosx 2 C．y＝2cosx 3 D．y＝1 2 cos 3x 解析：选 A 由 x′＝2x， y′＝3y， 得 x＝x′ 2 ， y＝y′ 3 . 代入 y＝1 3 cos 2x，得 y′ 3 ＝ 1 3 cos x′. ∴y′＝cos x′，即曲线 y＝cos x. 4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A. 1，π 2 B. 1，－ π 2 C．(1,0) D．(1，π) 解析：选 B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，化成 标准方程为 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为 1，－ π 2 . 5．曲线θ＝2π 3 与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) A．1 B. 3 C．3 3 D．6 解析：选 C 极坐标方程θ＝2π 3 ，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心 C 3，π 2 ， ∠AOC＝π 6 ，∴|AO|＝2×3×cos π 6 ＝6× 3 2 ＝3 3. 6．点M 1，7π 6 关于直线θ＝π 4 (ρ∈R)的对称点的极坐标为( ) A. 1，4π 3 B. 1，2π 3 C. 1，π 3 D. 1，－ 7π 6 解析：选A 法一：点M 1，7π 6 关于直线θ＝π 4 (ρ∈R)的对称点为 1，7π 6 ＋ π 6 ，即 1，4π 3 . 法二：点M 1，7π 6 的直角坐标为 cos 7π 6 ，sin 7π 6 ＝－ 3 2 ，－ 1 2 ， 直线θ＝π 4 (ρ∈R)，即直线 y＝x， 点 － 3 2 ，－ 1 2 关于直线 y＝x的对称点为－ 1 2 ，－ 3 2 ， 再化为极坐标即 1，4π 3 . 7．极坐标方程ρsin2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 解析：选 C 由ρsin2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin2θ－2ρcos θ＝0， ∴化为直角坐标方程是 y2－2x＝0，即 x＝1 2 y2，表示抛物线． 8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A．ρcos θ＝1 2 B．ρcos θ＝2 C．ρ＝4sin θ＋π 3 D．ρ＝4sin θ－π 3 解析：选 B 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ， 即 x2＋y2＝4y，即 x2＋(y－2)2＝4. 由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切． 9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线 tan θ＝1的距离为( ) A. 2 2 B. 2 C．2 D．2 2 解析：选 B 圆ρ＝4cos θ的圆心 C(2,0)，如图，|OC|＝2， 在 Rt△COD中，∠ODC＝π 2 ，∠COD＝π 4 ， ∴|CD|＝ 2. 10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin θ＋π 4 (r>0)的公共弦所在直线的方程为( ) A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C. 2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D. 2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 解析：选 D 圆ρ＝r的直角坐标方程为 x2＋y2＝r2，① 圆ρ＝－2rsin θ＋π 4 ＝－2rsin θcos π 4 ＋cos θsin π 4 ＝－ 2r(sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝－ 2r(ρsin θ＋ρcos θ) ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2， ∴x2＋y2＋ 2rx＋ 2ry＝0.② ①－②整理得 2(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线 2(x＋y) ＝－r化为极坐标方程为 2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r. 二、填空题(本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分．把答案填写在题中的横线上) 11．直线 xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程为________． 解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0， 取θ－α＝π 2 . 答案：θ＝π 2 ＋α 13换题内容 13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为________． 12．在极坐标系中，若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为________． 解析： 将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－ 3 3 ≤k≤ 3 3 . 答案： － 3 3 ， 3 3 13．已知点 M 的柱坐标为 2π 3 ， 2π 3 ， 2π 3 ，则点 M 的直角坐标为________，球坐标为 ________． 解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)， 柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)， 由 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z 得 x＝2π 3 cos 2π 3 ＝－ π 3 ， y＝2π 3 sin 2π 3 ＝ 3π 3 ， z＝2π 3 ， 由 r＝ x2＋y2＋z2， cos φ＝z r ， 得 r＝2 2π 3 ， cos φ＝ 2 2 . 即 r＝2 2π 3 ， φ＝π 4 . ∴点M的直角坐标为 － π 3 ， 3π 3 ， 2π 3 ，球坐标为 2 2π 3 ， π 4 ， 2π 3 . 答案： － π 3 ， 3π 3 ， 2π 3 2 2π 3 ， π 4 ， 2π 3 14．在极坐标系中，定点 A(1，π 2 )，点 B 在直线 l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段 AB最短时，点 B的极坐标是________． 解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为 x＋y＝0，点A 1，π 2 化为直角坐标得 A(0,1)，如图，过 A作 AB⊥直线 l于 B，因为△AOB 为 等腰直角三角形，又因为|OA|＝1， 则|OB|＝ 2 2 ，θ＝3π 4 ，故 B点的极坐标是 B 2 2 ， 3π 4 . 答案： 2 2 ， 3π 4 三、解答题(本大题共 6个小题，满分 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15．(本小题满分 10分)在极坐标系中，求圆心 A为 1，π 4 ，半径为 1 的圆的极坐标方 程． 解：在极坐标系中，设点 P(ρ，θ)是圆上任意一点，则有 r2＝OP2＋OA2－2OP·OA·cos θ－π 4 ， 即 1＝ρ2＋1－2ρcos θ－π 4 . 即ρ2－2ρcos θ－π 4 ＝0为所求圆的极坐标方程． 16．(本小题满分 12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos θ＋π 3 ＝1表示的两个图形的位置 关系是什么？ 解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ， 化为普通方程为 x2＋y2＝－2x， 即(x＋1)2＋y2＝1表示圆， 圆心为(－1,0)，半径为 1. 将ρcos θ＋π 3 ＝1化为普通方程为 x－ 3y－2＝0， ∵圆心(－1,0)到直线的距离为 |－1－2| 1＋3 ＝ 3 2 ＞1， ∴直线与圆相离． 17．(本小题满分 12分)极坐标系中，求点 m， π 3 (m＞0)到直线ρcos θ－π 3 ＝2的距离． 解：将直线极坐标方程化为ρcos θcos π 3 ＋sin θsin π 3 ＝2，化为直角坐标方程为 x＋ 3y －4＝0， 点 m， π 3 的直角坐标为 m 2 ， 3m 2 ， ∴点 m 2 ， 3m 2 到直线 x＋ 3y－4＝0的距离为 m 2 ＋ 3· 3m 2 －4 1＋3 ＝ 2|m－2| 2 ＝|m－2|. 18．(本小题满分 12 分)在极坐标系中，O 为极点，已知圆 C 的圆心为 2，π 3 ，半径 r ＝1，P在圆 C上运动． (1)求圆 C的极坐标方程； (2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O为原点，以极轴为 x轴正 半轴)中，若 Q为线段 OP的中点，求点 Q轨迹的直角坐标方程． 解：(1)设圆 C上任一点坐标为(ρ，θ)， 由余弦定理得 12＝ρ2＋22－2·2ρcos θ－π 3 ， 所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－π 3 ＋3＝0. (2)设 Q(x，y)，则 P(2x,2y)， 由于圆 C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝1，P在圆 C上， 所以(2x－1)2＋(2y－ 3)2＝1， 则 Q的直角坐标方程为 x－1 2 2＋ y－ 3 2 2＝ 1 4 . 19．(本小题满分 12分)在极坐标系中，已知圆C经过点 P 2，π 4 ，圆心为直线ρsin θ－π 3 ＝－ 3 2 与极轴的交点，求圆 C的极坐标方程． 解：在ρsin θ－π 3 ＝－ 3 2 中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆 C的圆心坐标为(1,0)． 因为圆 C经过点 P 2，π 4 ， 所以圆 C的半径 PC ＝  22＋12－2×1× 2cos π 4 ＝1，于是圆 C过极点，所以圆 C的极坐标方程为ρ＝ 2cos θ. 20．(本小题满分 12分)在直角坐标系 xOy中，以 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρcos θ－π 3 ＝1，M，N分别为曲线 C与 x轴，y轴的交点． (1)写出曲线 C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设M，N的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos θ－π 3 ＝1， ∴ρcos θ·cosπ 3 ＋ρsin θ·sinπ 3 ＝1. 又 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， ∴ 1 2 x＋ 3 2 y＝1. 即曲线 C的直角坐标方程为 x＋ 3y－2＝0. 令 y＝0，则 x＝2；令 x＝0，则 y＝2 3 3 . ∴M(2,0)，N 0，2 3 3 . ∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为 2 3 3 ， π 2 . (2)M、N连线的中点 P的直角坐标为 1， 3 3 ， 直线 OP的极角为θ＝π 6 . ∴直线 OP的极坐标方程为θ＝π 6 (ρ∈R)．