高中数学必修4：1_3_1三角函数的诱导公式（一）(教、学案)

高中数学必修4：1_3_1三角函数的诱导公式（一）(教、学案)

‎1. 3.1‎三角函数的诱导公式（一）‎ 一、教学目标：‎ ‎1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 ‎2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。‎ 二、重点与难点：‎ 重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。‎ 难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；‎ 三、学法与教学用具：‎ ‎（1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；‎ ‎（2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．‎ 四、教学过程：‎ 创设情境：我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？‎ 我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想 研探新知 ‎1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：‎ ‎ （公式一）‎ 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。‎ ‎【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成 ‎，是不对的 ‎【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？‎ ‎ 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？‎ ‎ 若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：‎ ‎ （公式二）‎ 特别地，角与角的终边关于轴对称，故有 ‎ （公式三）‎ 特别地，角与角的终边关于原点对称，故有 ‎ （公式四）‎ 所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。‎ ‎【说明】：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；‎ ‎③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；‎ ‎【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：‎ ‎①化负角的三角函数为正角的三角函数；‎ ‎②化为内的三角函数；‎ ‎③化为锐角的三角函数。‎ 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。‎ ‎2、例题分析：‎ 例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．‎ 分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内 角的三角函数的值。‎ 解：（1）（诱导公式一）‎ ‎（诱导公式二）‎ ‎．‎ ‎（2）（诱导公式三）‎ ‎（诱导公式一）‎ ‎（诱导公式二）‎ ‎．‎ 方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：‎ ‎①化负角的三角函数为正角的三角函数；‎ ‎②化为内的三角函数；‎ ‎③化为锐角的三角函数。‎ 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。‎ 例2 化简．‎ 解：原式 ‎．‎ ‎3 课堂练习：‎ ‎（1）．若，则的取值集合为 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎（2）．已知那么 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）．设角的值等于 （ ）‎ ‎ A． B．－ C． D．－‎ ‎（4）．当时，的值为 （ ）‎ ‎ A．－1 B．‎1 ‎C．±1 D．与取值有关 ‎（5）．设为常数），且 ‎ 那么 A．1 B．‎3 C．5 D．7 （ ）‎ ‎（6）．已知则 . ‎ ‎4、课堂练习答案：‎ ‎（1）、D （2）、C （3）、C （4）、A （5）、C （6）、 2‎ ‎5、作业：根据情况安排 ‎6 板书设计：‎ ‎ 三角函数的诱导公式（一）‎ 基本概念： 例1 课堂练习 ‎ 例2 ‎ ‎1.3.1三角函数的诱导公式（一）‎ 课前预习学案 预习目标：‎ 回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。‎ 预习内容：‎ ‎1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；‎ ‎2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。‎ 提出疑惑：‎ 我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？‎ 我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢？‎ 课内探究学案 一、学习目标：‎ ‎（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 ‎（2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。‎ 二、重点与难点：‎ 重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。‎ 难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；‎ 三、学习过程：‎ ‎（一）研探新知 ‎1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：‎ ‎ （公式一）‎ 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。‎ ‎【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成 ‎，是不对的 ‎【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？‎ ‎ 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？‎ ‎ 若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：‎ ‎ （公式二）‎ 特别地，角与角的终边关于轴对称，故有 ‎ （公式三）‎ 特别地，角与角的终边关于原点对称，故有 ‎ （公式四）‎ 所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。‎ ‎【说明】：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；‎ ‎③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；‎ ‎【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：‎ ‎① ；‎ ‎② ；‎ ‎③ 。‎ 可概括为：“ ”（有时也直接化到锐角求值）。‎ ‎（二）、例题分析：‎ 例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．‎ 分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内 角的三角函数的值。‎ 例2 化简．‎ ‎（三） 课堂练习：‎ ‎（1）．若，则的取值集合为 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎（2）．已知那么 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）．设角的值等于 （ ）‎ ‎ A． B．－ C． D．－‎ ‎（4）．当时，的值为 （ ）‎ ‎ A．－1 B．‎1 ‎C．±1 D．与取值有关 ‎（5）．设为常数），且 ‎ 那么 A．1 B．‎3 C．5 D．7 （ ）‎ ‎（6）．已知则 . ‎ 课后练习与提高 一、选择题 ‎ ‎1．已知，则值为（ ）‎ A. B. — C. D. —‎ ‎2．cos (+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ ） ‎ A. B. C. D. —‎ ‎3．化简：得（ ）‎ A. B. C. D.±‎ ‎4．已知，，那么的值是（ ） ‎ A B C D ‎ 二、填空题 ‎5．如果且那么的终边在第 象限 ‎6．求值：2sin(－1110º) －sin960º+＝　　　　　　．‎ 三、解答题 ‎7．设，求的值．‎ ‎8．已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。‎ ‎∴　　＝＝‎ ‎8．解： ∵sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) ‎ ‎∴- sin(3p - a) = 2cos(4p - a)‎ ‎∴- sin(p - a) = 2cos(- a) ‎ ‎∴sina = - 2cosa 且cosa ¹ 0‎ ‎∴ ‎