江苏省徐州市2021届高三9月月考模拟测试数学试题

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江苏省徐州市2021届高三月考模拟测试 数学试题 ‎ 2020.9‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若复数满足，则复平面内表示的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2．已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．在中，内角，，的对边分别是，，，外接圆半径为，若 ‎，且的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．在中，，，，点为边上一点，且为边上靠近的三等分点，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6．已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（ ）‎ A．1 B．3 C．6 D．7‎ ‎8．已知，，为球的球面上的三个定点，，，为球的球面 上的动点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若的最大值为3，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．关于函数下列结论正确的是（ ）‎ A．图像关于轴对称 B．图像关于原点对称 C．在上单调递增 D．恒大于0‎ ‎10．已知下列四个条件，能推出成立的有 ‎ A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0‎ ‎11．已知，，记，则( )‎ A．的最小值为 B．当最小时， ‎ C．的最小值为 D．当最小时 ‎12．已知符号函数下列说法正确的是（ ）‎ A．函数是奇函数（ ） B．对任意的 C．函数的值域为 D．对任意的 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。‎ ‎13．已知向量a，b的夹角为45º，若a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=________．‎ ‎14．已知函数则=________．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，过点的一条直线与函数的图像交于，两点，则线段长的最小值是 ．‎ ‎16．已知直线与圆相切且与抛物线交于不同的两点,则实数的取值范围是__________‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．(本小题满分10分) ‎ 已知△ABC中，为钝角，而且，，AB边上的高为．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 设数列的前项和为，点在直线上．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）设直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和 ‎ ‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ A B C D E F O 如图，在三棱柱ADE-BCF中，侧面ABCD是为菱形， E在平面ABCD内的射影O恰为线段BD的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥CF；‎ ‎（2）若∠BAD=60º，AE=AB，求二面角E-BC-F的平面角的余弦值．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．‎ ‎（1）若 ，求证：曲线是一个圆；‎ ‎（2）若曲线，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求 出定点 和定值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区，其中是半径为1百米的扇形，．　管理部门欲在该地从到修建小路：在弧上选一点（异于两点），过点修建与平行的小路．问：点选择在何处时，才能使得修建的小路与及的总长最小？并说明理由．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求证：当时，．‎ 江苏省徐州市2021届高三月考模拟测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎ 1．D 2．D 3．A 4．D 5．A 6．D 7．D 8．B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9. ACD 10.ABD 11．AB 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。‎ ‎13． 14．2 15． 16．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（1）由三角形面积可知， ………………2分 ‎，又因为是锐角，所以． ………………4分 ‎（2）由（1）可知，‎ 所以． ………………6分 又因为， ………………8分 因此． ………………10分 ‎18．(1)∵点在直线上，所以 ①‎ 当时， ......2分 当时， ②‎ ① ‎②，得 ......4分 ‎ 所以数列为首项为1，公比为2的等比数列. ......6分 ‎（2） ...7分 ‎ ③‎ ‎ ④ ......9分 ④，得 ‎ ‎ ‎ 所以 ......12分 ‎ ‎ ‎19．（1）证明：如图，连接AC，易知AC∩BD=O．‎ ‎∵ 侧面ABCD是菱形，‎ A B C D E F O z x y ‎∴ AC⊥BD．‎ 又由题知EO⊥面ABCD，AC面ABCD，‎ ‎∴ EO⊥AC，‎ 而EO∩BD=O，且EO，BD面BED，‎ ‎∴ AC⊥面BED．‎ ‎∴ AC⊥ED．‎ ‎∵ CF//ED，‎ ‎∴ AC⊥CF．……………………………………………………………………………5分 ‎（2）解：由（1）知AO⊥BO，OE⊥AO，OE⊥BO，于是以O为坐标原点，OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．设AB=AE=2．‎ ‎∵ 在菱形ABCD中，∠BAD=60º，‎ ‎∴ AO=，BO=1．‎ 在Rt△EAO中，EO==1．‎ 于是O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，E(0，0，1)，C(-，0，0)，‎ ‎∴ =(-，1，0)，=(0，-1，1)，=(-，-1，0)．…………………7分 又由， 可解得F(-，1，1)，于是=(-，0，1)． ……………8分 设平面BCE的法向量为n1=(x1，y1，z1)，‎ 则由n1•=0，n1•=0得 令y1=1，则x1=， z1=1，即n1=(，1，1)．…………10分 同理可得平面BCF的法向量n2=(，-1，1)．‎ ‎∴ cos==‎ 故二面角E-BC-F的平面角的余弦值为．…………………………………………12分 ‎20.（1）证明：设直线与曲线的交点为 ‎ ∴ 即：‎ ‎∴ 在上 ‎∴，‎ ‎∴两式相减得： ‎ ‎∴ 即： ‎ ‎∴曲线是一个圆 ……5分 ‎ （2）存在定点，不论k为何值，为定值.‎ 理由如下：‎ 假设存在点 ，设交点为，‎ 由得，‎ ‎ ，‎ 直线恒过椭圆内定点（0,1），故 恒成立. ……8分 ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，即时 ‎ 故存在定点，不论k为何值，为定值. ……12分 ‎21.解：连接，过作垂足为，过作垂足为，‎ 设，‎ 若，在中，，‎ 若，则，‎ 若，则，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 在中，,‎ ‎ ………………………………6分 所以总路径长，．．．．．．．．．．．．．8分 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令，当时，，‎ 当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当时，总路径最短．‎ 答：当时，总路径最短．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎22．（1）因为，所以．‎ 又因为，所以切线方程为，‎ 即． ………………3分 ‎（2）．‎ 注意到与都是偶函数，因此只需证明时成立，‎ 即成立即可． ………………5分 设，，则．………………6分 设，则，因此在时递增，因 此恒成立．‎ 从而可知在时递增，因此，且等号只在成立．‎ 因此当时，，即． ………………8分 ‎（3）当时，．‎ 由（2）可知，当时，恒成立，因此只需证明当 ‎ 时，即可． ………………10分 设，，则 ‎，‎ 因此当，递增；，递减． ………………11分 又因为，，而且 ‎．‎ 又因为，，所以 ‎，‎ 从而，因此，从而 ‎．‎ 因此可知，当，恒成立，‎ 即． ………………12分