二00八年高中数学联赛四川赛区初赛试题

二00八年高中数学联赛四川赛区初赛试题

二00八年高中数学联赛四川赛区初赛试题 一、选择题 ‎1、 在公差为4的正项等差数列中，与2的算术平均值等于与2的几何平均值，其中表示数列的前三项和，则为 （ ）‎ ‎（A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 44‎ ‎2、 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女各2人的概率为 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎3、 设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为 （ ）‎ ‎（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4‎ ‎4、 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点为椭圆上的一点，则当取最小值的时候，的值为 （ ）‎ ‎（A） （B）3 （C） 5 （D） ‎ ‎5、 设则的最小值为 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） 1 （D）‎ ‎6、 设集合，则集合的非空真子集的个数为 （ ）‎ ‎（A）13 （B） 14 （C） 15 （D） 16‎ 二、填空题 ‎7、 设数列满足：，则的最大公约数为 ‎________________ .‎ ‎8、 函数对任意的满足，且，则＝__________.‎ ‎9、 已知正实数满足，则的最小值为__________________ .‎ ‎10、 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）‎ 小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、‎7”‎号数字涂相同 的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _______ 种。‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11、 数列、满足：，且，则＝_________. ‎ ‎12、 函数的最小值为__________________ . ‎ 三、解答题 ‎13、 已知，，其中正整数．‎ ‎（1）求证：对于一切的正整数，都；‎ ‎（2）求的最小值，其中约定．‎ ‎14、 是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明．‎ ‎15、 设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足．延长分别交抛物线于点 ‎（如图）．求四边形面积的最小值．‎ ‎16、 已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）．求证：．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A ‎ ‎2、C ‎3、B ‎4、B ‎5、C ‎6、B ‎ 二、填空题 ‎7、3 ‎ ‎8、 ‎ ‎9、‎ ‎10、108‎ ‎11、‎ ‎12、8 ‎ 三、解答题 ‎13、‎ ‎（1）证明：对于一切的正整数，‎ ‎．5分 ‎（2）由不等式知 ‎ ‎ ‎ 当时，等于成立，所以有最小值．‎ ‎14、‎ 解：存在符合条件的二次函数． ‎ 设，则当时有： ①；‎ ‎ ②；③．‎ 联立①、②、③，解得．于是，．10分 下面证明：二次函数符合条件．‎ 因为，‎ 同理：； ‎ ‎．‎ 所以，所求的二次函数符合条件． ‎ ‎15、 解：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．‎ 因直线过焦点，所以，直线的方程为．‎ 联立方程组，消得 由根与系数的关系知：， ‎ 于是 ‎ ‎ 　　　　 ‎ 又因为，所以直线的斜率为，‎ 从而直线的方程为：，同理可得 ．‎ 故 当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32． ‎ ‎16、 ‎ 证明：如图，连结．‎ ‎∵ 分别与⊙相切于 ‎∴ ‎ ‎∵和都是⊙的半径，‎ ‎ ‎ ‎∴ 由对称性知，且于． ‎ ‎∴ ，即 ‎ 又∵，∴∽‎ ‎∴ ‎ 过作两圆的公切线，则 又∵，即 ‎∴ ‎ ‎ ‎ 故． ‎