2020届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学（文）试题
秘密★启用前【考试时间：2020 年 1 月 5 日 l5：00-17: 00】
绵阳市高中 2017 级第二次诊断性考试
文科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．设全集 U= {x|x>0}，M={x|l
0，b>0）的右焦点为 F，过 F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线
分别交于 A，B 两点，若四边形 OAFB (O 为坐标原点)的面积为 bc，则双曲
线的离心率为
A. B.2 C. D.3
10.已知圆 C：x2+y2 -2x-8=0，直线 l 经过点 M(2，2)，且将圆 C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面
积之差的绝对值最大时，直线 l 的方程为
A. x-2y+2=0 B. 2x+y-6=0 C.2x-y-2=0 D. x+2y-6=0
11.己知 f(x)为偶函数，且当 x≥0 时， ，则满足不等式 f(log2m)+f( )<
2f (1)的实数 m 的取值范围为
A．（ ，2） B．(0，2) C．(0， )∪(1，2) D．(2，+∞)
12．函数 f(x)=(2ax-1)2 -loga(ax+2）在区间[0， ]上恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是
A.( ， ) B. (1,2] ∪ [3,+∞) C.(1,2) ∪[3, +∞) D.[2,3)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．直线 l1：ax-(a+l)y-1=0 与直线 4x-6y+3=0 平行，则实数 a 的值是 ．
14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如右图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是
____．
15．函数 的图象如右图所示，则 f(x)在区间[-π，π]上的零点之和为
____．
8
1
4
1
8
3
2
1
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
2 3
3
3
1sincos)( xxxxxf +−= m
2
1log
2
1
2
1
a
1
3
1
2
1
)2||,0)(sin(
πϕωϕω <>+= xy
16．过点 M(-1，0)的直线，与抛物线 C: y2=4x 交于 A，B 两点(A 在 M，B 之间)，F 是抛物线 C 的焦点，若 S△
MBF=4S△MAF，则△ABF 的面积为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. (12 允)
每年的 4 月 23 日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调
查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生（其中男生 45 名），统计了每个学生一个月的阅读时间，
其阅读时间 t(小时)的频率分布直方图如图所示：
(1)求样本学生一个月阅读时间 t 的中位数 m.
(2)已知样本中阅读时间低于 m 的女生有 30 名，请根据题目信息完成下面的 2×2 列联表，并判断能否
在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关．
18．(12 分)
已 知 等 差 数 列{an}的 公 差 d=2，a3>0， 且-3 为 a4 与 a7 的 等 比 中 项 ． 数 列{bn}的 通 项 公 式 为
bn= .
(1)求数列{bn}的通项公式；
3
3
2
+na
(2)记 (n∈N*)，求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
19. (12 分)
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 已知(sinA+sinB)(a -b) =c(sinC+sinB).
(l)求 A；
(2)若 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥BC, BC=2 AD，求 sinB．
20．(12 分)
已知椭圆 C： ,动直线 l 过定点(2，0)且交椭圆 C 于 A，B 两点(A，A 不
在 x 轴上）．
(l)若线段 AB 中点 Q 的纵坐标是- ，求直线 l 的方程；
(2)记 A 点关于 x 轴的对称点为 M,若点 N（n，0）满足 ，求 n 的值．
21．(12 分)
己知函数 f(x) =2lnx+ x2-ax，其中 a∈R．
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)若 a≥3，记函数 f(x)有两个极值点 xl，x2(其中 x2>x1)，求 f(x2)-f(xI)的最大值．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题申任选一题做答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）
在平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为 （r>0， 为参数），以坐标原点 O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 经过点 P(2， )，曲线 C2 的直角坐标方程为 x2-y2=1．
(1)求曲线 C1 的普通方程，曲线 C2 的极坐标方程；
(2)若 A(ρ1，α)，B(ρ2，α- )是曲线 C2 上两点，当α∈(0， )时，求
的取值范围．
23.【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）
nnn bac +=
3
12
2
2
=+ yx
3
2
NBMN λ=
2
1
=
+=
ϕ
ϕ
sin
cos1
ry
rx ϕ
3
π
6
π
4
π
22 ||
1
||
1
OBOA
+
已知关于 x 的不等式|x+l|-|2x-l|≤ ，其中 a>0．
(1)当 a=4 时，求不等式的解集；
(2)若该不等式对 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．
a
2
1log
