长沙市中考数学模拟试卷一含答案解析

长沙市中考数学模拟试卷一含答案解析

‎2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题3分）‎ ‎1．给出四个数：0，，，1，其中最大的是（　　）‎ A．0 B． C． D．﹣1‎ ‎2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．圆 ‎4．据统计，2015年长沙市的常住人口约为7500000人，将数据7500000用科学记数法表示为（　　）‎ A．7.5×106 B．0.75×107 C．7.5×107 D．75×105‎ ‎5．已知关于x的不等式ax﹣3x+2＞5的一个解是﹣2，则a的取值范围为（　　）‎ A．a＜ B．a＞ C．a＞﹣ D．a＜﹣‎ ‎6．下列说法中，正确的是（　　）‎ A．任何一个数都有平方根 B．任何正数都有两个平方根 C．算术平方根一定大于0 D．一个数不一定有立方根 ‎7．在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（　　）‎ A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，90‎ ‎8．已知一个正n边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有（　　）‎ A．5条 B．6条 C．8条 D．9条 ‎9．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，下列说法错误的是（　　）‎ A．CD=AC﹣BD B．CD=AB﹣BD C．AC+BD=BC+CD D．CD=AB ‎10．如图，已知A是反比例函数y=图象上的一点，过点A向x轴作垂线交x轴于点B，在点A从左往右移动的过程中，△ABO的面积将（　　）‎ A．越来越大 B．越来越小 C．先变大，后变小 D．不变 ‎11．如图，扇形AOB是圆锥的侧面展开图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则阴影部分的面积为（　　）‎ A．12π﹣ B．4π﹣ C．12π﹣9 D．4π﹣9‎ ‎12．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3d分）‎ ‎13．分解因式：2x2﹣8=______．‎ ‎14．如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交BC于点E，AB=4，AD=6，则EC=______．‎ ‎15．化简： +2=______．‎ ‎16．一个不透明的口袋中共放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，若从口袋中随机取出一个球，则取到黄球的概率是______．‎ ‎17．如图所示，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC=8，sinD=，则BC=______．‎ ‎18．规定一种新的运算：a⊗b=，则1⊗2=______．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎19．计算：2cos30°﹣|﹣2|﹣+1．‎ ‎20．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣b（b﹣2a）﹣a2，其中3a=2b．‎ ‎21．长沙市中考体育分值已经提高到了60分，其中的必考项目就有男子引体向上和女子一分钟仰卧起坐，各校为此加强了对体育训练的重视．‎ ‎ 引体向上（男）和一分钟仰卧起坐（女）共16分 单位：次数 分值 ‎ 16‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎ 成绩 男（次）‎ ‎ 8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ 0.5‎ ‎ 女（次）‎ ‎ 45‎ ‎ 40‎ ‎ 36‎ ‎ 32‎ ‎ 28‎ ‎ 25‎ ‎ 22‎ ‎ 20‎ ‎＜19‎ 注：0.5次是指考生从直臂悬垂开始，有正确的引体动作和下杠动作，但未完整完成一次 某中学对全校学生这两项运动的成绩进行了统计，规定分值15分及以上为优秀，12分到14分为良好，6分到10分为合格，6分以下不合格，在全校800名初三学生中，随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，求：‎ ‎（1）某女生说她得了12分，请问她一分钟做了多少次仰卧起坐；‎ ‎（2）请问一共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；‎ ‎（3）根据抽样结果估计，本校项目由多少学生能够得优秀？‎ ‎22．如图，在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠APD的角平分线PO交AD于O点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AD于点B，过D作DE⊥PO交PO的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若PA=6，tan∠PDA=，求半径OA及OE的长．‎ ‎23．某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．‎ ‎（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元；‎ ‎（2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，但不超过140万元．则有哪几种购车方案？并写出哪种方案所需的购车费用最低．‎ ‎24．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE、BD．‎ ‎（1）求证：△AGE≌△DAB；‎ ‎（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连接AF，求∠AFE的度数．‎ ‎25．若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，我们把它们称为根与系数的关系定理，请你参考上述定理，解答下列问题：‎ 设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．抛物线的顶点为C，且△ABC为等腰三角形．‎ ‎（1）求A、B两点之间的距离（用字母a、b、c表示）‎ ‎（2）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值；‎ ‎（3）设抛物线y=x2+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？‎ ‎26．如图，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，∠AOC=90°，OA=OC=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NP垂直OA于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．‎ ‎（1）当t为何值时，M和P两点重合；‎ ‎（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，及当t为何值时，S的值最大；‎ ‎（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求NQ的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题3分）‎ ‎1．给出四个数：0，，，1，其中最大的是（　　）‎ A．0 B． C． D．﹣1‎ ‎【考点】实数大小比较．‎ ‎【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可解答．‎ ‎【解答】解：∵＞1，‎ ‎∴0＜＜1＜，‎ ‎∴最大的数是，‎ 故选；B．‎ ‎　‎ ‎2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余角和补角．‎ ‎【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．‎ ‎【解答】解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2=90°，‎ 即选项C中，∠1与∠2互为余角．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．圆 ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确；‎ B、矩形是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项错误；‎ C、正方形是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、圆是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．据统计，2015年长沙市的常住人口约为7500000人，将数据7500000用科学记数法表示为（　　）‎ A．7.5×106 B．0.75×107 C．7.5×107 D．75×105‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将数据7500000用科学记数法表示为7.5×106．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知关于x的不等式ax﹣3x+2＞5的一个解是﹣2，则a的取值范围为（　　）‎ A．a＜ B．a＞ C．a＞﹣ D．a＜﹣‎ ‎【考点】不等式的解集；解一元一次不等式．‎ ‎【分析】先将x=﹣2代入不等式，得到关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax﹣3x+2＞5的一个解是﹣2‎ ‎∴﹣2a+6+2＞5‎ ‎∴﹣2a＞﹣3‎ ‎∴a＜‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．下列说法中，正确的是（　　）‎ A．任何一个数都有平方根 B．任何正数都有两个平方根 C．算术平方根一定大于0 D．一个数不一定有立方根 ‎【考点】立方根；平方根；算术平方根．‎ ‎【分析】根据平方根、算术平方根、立方根，即可解答．‎ ‎【解答】解：A、任何一个数都有平方根，错误，负数没有平方根；‎ B、任何正数都有两个平方根，正确；‎ C、算术平方根一定大于0，错误，0的算术平方根是0；‎ D、任何数都有立方根，故错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（　　）‎ A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，90‎ ‎【考点】众数；中位数．‎ ‎【分析】首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这组数据的众数；然后把这组数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此解答即可．‎ ‎【解答】解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，‎ ‎∴这组数据的众数是80；‎ 把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得 ‎75，80，80，85，90，‎ 所以这组数据的中位数是80．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知一个正n边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有（　　）‎ A．5条 B．6条 C．8条 D．9条 ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线=n﹣3，即可求得对角线的条数．‎ ‎【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，‎ ‎∴每个外角是60度，‎ 则多边形的边数为360°÷60°=6，‎ 则该多边形有6个顶点，‎ 则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6﹣3=3条．‎ ‎∴这个多边形的对角线有（6×3）=9条，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，下列说法错误的是（　　）‎ A．CD=AC﹣BD B．CD=AB﹣BD C．AC+BD=BC+CD D．CD=AB ‎【考点】两点间的距离．‎ ‎【分析】根据线段中点的性质，可得CD、BD与AB、BC的关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：由C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，得 AC=CB，CD=DB．‎ A、CD=CB﹣BD=AC﹣BD，故A正确；‎ B、CD=CB﹣BD=AB﹣BD，故B正确；‎ C、AC+BD=BC+CD，故C正确；‎ D、CD=BC=AB，故D错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，已知A是反比例函数y=图象上的一点，过点A向x轴作垂线交x轴于点B，在点A从左往右移动的过程中，△ABO的面积将（　　）‎ A．越来越大 B．越来越小 C．先变大，后变小 D．不变 ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】由点A在反比例函数图象上以及AB⊥x轴于点B，结合反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ABO=|k|，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上的一点，且AB⊥x轴于点B，‎ ‎∴S△ABO=|k|，‎ ‎∴点A从左往右移动的过程中，△ABO的面积不变．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．如图，扇形AOB是圆锥的侧面展开图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则阴影部分的面积为（　　）‎ A．12π﹣ B．4π﹣ C．12π﹣9 D．4π﹣9‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】首先求得展开扇形的圆心角的度数，从而求得圆心到线AB的长，用扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×2π=4πcm，‎ 扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=4π×180÷6π=120°．‎ 作OC⊥AB于点C，‎ ‎∴OC=OA=3，AB=2AC=2×3=6，‎ ‎∴S阴影=S扇形﹣S△AOB=﹣×3×6=12π﹣9，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2时，S取到最小值为： =0，即可得出图象．‎ ‎【解答】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，‎ ‎∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，‎ ‎∴tan60°==，‎ 解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，‎ ‎∴S△ABP=×PA×AB=（2﹣x）••（﹣x+2）=x2﹣2x+2，‎ 故此函数为二次函数，‎ ‎∵a=＞0，‎ ‎∴当x=﹣=2时，S取到最小值为： =0，‎ 根据图象得出只有D符合要求．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3d分）‎ ‎13．分解因式：2x2﹣8=　2（x+2）（x﹣2）　．‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法．‎ ‎【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．‎ ‎【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．‎ ‎　‎ ‎14．如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交BC于点E，AB=4，AD=6，则EC=　2　．‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC=6，DC=AB=4，AD∥BC，推出∠DAE=∠BEA，根据AE平分∠BAD，能证出∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的判定得到AB=BE=4，根据EC=BC﹣BE，代入即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC=6，DC=AB=4，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE=∠BEA，‎ ‎∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠DAE=∠BAE，‎ ‎∴∠BAE=∠BEA，‎ ‎∴AB=BE=4，‎ ‎∴EC=BC﹣BE=6﹣4=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．化简： +2=　　．‎ ‎【考点】分式的加减法．‎ ‎【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=+=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．一个不透明的口袋中共放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，若从口袋中随机取出一个球，则取到黄球的概率是　　．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】用黄球的个数除以球的总个数可得．‎ ‎【解答】解：∵不透明的袋中有除颜色外没有其他任何区别的3个红球和11个黄球，共14个球，其中黄球有11个，‎ ‎∴从口袋中随机取出一个球，则取到黄球的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．如图所示，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC=8，sinD=，则BC=　6　．‎ ‎【考点】圆周角定理；解直角三角形．‎ ‎【分析】根据圆周角定理得到∠D=∠A，设BC=3x，根据正弦的定义得到AB=5x，根据勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 由圆周角定理得，∠D=∠A，又sinD=，‎ ‎∴sinA=，即=，‎ 设BC=3x，则AB=5x，‎ 由勾股定理得，（5x）2﹣（3x）2=82，‎ 解得，x=2，‎ 则BC=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎18．规定一种新的运算：a⊗b=，则1⊗2=　﹣　．‎ ‎【考点】有理数的混合运算．‎ ‎【分析】根据2大于1，利用题中的新定义计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵2＞1，‎ ‎∴1⊗2=﹣1=﹣，‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎19．计算：2cos30°﹣|﹣2|﹣+1．‎ ‎【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=2×﹣2+﹣2+1=﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣b（b﹣2a）﹣a2，其中3a=2b．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=4a2﹣4ab+b2﹣b2+2ab﹣a2=3a2﹣2ab，‎ 由3a=2b，得到a=b，‎ 则原式=b2﹣b2=0．‎ ‎　‎ ‎21．长沙市中考体育分值已经提高到了60分，其中的必考项目就有男子引体向上和女子一分钟仰卧起坐，各校为此加强了对体育训练的重视．‎ ‎ 引体向上（男）和一分钟仰卧起坐（女）共16分 单位：次数 分值 ‎ 16‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎ 成绩 男（次）‎ ‎ 8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ 0.5‎ ‎ 女（次）‎ ‎ 45‎ ‎ 40‎ ‎ 36‎ ‎ 32‎ ‎ 28‎ ‎ 25‎ ‎ 22‎ ‎ 20‎ ‎＜19‎ 注：0.5次是指考生从直臂悬垂开始，有正确的引体动作和下杠动作，但未完整完成一次 某中学对全校学生这两项运动的成绩进行了统计，规定分值15分及以上为优秀，12分到14分为良好，6分到10分为合格，6分以下不合格，在全校800名初三学生中，随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，求：‎ ‎（1）某女生说她得了12分，请问她一分钟做了多少次仰卧起坐；‎ ‎（2）请问一共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；‎ ‎（3）根据抽样结果估计，本校项目由多少学生能够得优秀？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）由表格即可知答案；‎ ‎（2）根据“优秀”的人数及其占被调查学生的百分比可得总人数，总人数乘以“不合格”的百分比可得对应人数，由个等级人数之和等于总人数可得“良好”的人数，补全条形图；‎ ‎（3）用样本中“优秀”的人数所占百分比乘以全校总人数可得．‎ ‎【解答】解：（1）由表可知，她一分钟做了28次仰卧起坐；‎ ‎（2）一共抽取学生有：10÷20%=50（人），‎ ‎“不合格”的学生有50×10%=5（人），“良好”的学生有50﹣10﹣15﹣5=20（人），‎ 补全统计图如图：‎ ‎（3）800×20%=160（人），‎ 答：根据抽样结果估计，全校有160名学生能够取得优秀．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠APD的角平分线PO交AD于O点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AD于点B，过D作DE⊥PO交PO的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若PA=6，tan∠PDA=，求半径OA及OE的长．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）作OC⊥PD于C，根据角平分线的性质得出OC=OA，即可判定PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）根据已知求得AD，PC，根据勾股定理求得PD，得出CD，设半径为x，则OD=8﹣x，在RT△ODC中，根据勾股定理得出（8﹣x）2=x2+42，解得半径为3，然后根据勾股定理求得OP，进而证得△POA∽△DOE，根据相似三角形的性质即可求得．‎ ‎【解答】（1）证明：作OC⊥PD于C，‎ ‎∵OP是∠APD的角平分线，OA⊥PA，OC⊥PD，‎ ‎∴OC=OA，‎ ‎∴PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵PA=6，tan∠PDA==，‎ ‎∴AD=8，‎ ‎∴PD==10，‎ ‎∵PA⊥OA，‎ ‎∴PA是⊙O的切线，‎ ‎∵PD是⊙O的切线，‎ ‎∴PC=PA=6，‎ ‎∴CD=PD﹣PC=4，‎ 设半径为x，则OD=8﹣x，‎ 在RT△ODC中，OD2=OC2+CD2，‎ ‎∴（8﹣x）2=x2+42，‎ 解得x=3，‎ ‎∴半径OA=3，‎ ‎∴OD=8﹣3=5，‎ 在RT△AOP中，OP==3，‎ ‎∵∠PAO=∠E=90°，∠POA=∠DOE，‎ ‎∴△POA∽△DOE，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴OE=．‎ ‎　‎ ‎23．某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．‎ ‎（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元；‎ ‎（2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，但不超过140万元．则有哪几种购车方案？并写出哪种方案所需的购车费用最低．‎ ‎【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；‎ ‎（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．‎ ‎【解答】解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则 ‎，‎ 解得．‎ 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；‎ ‎（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得 ‎，‎ 解得 2≤a≤3．‎ ‎∵a是正整数，‎ ‎∴a=2或a=3．‎ ‎∴共有两种方案：‎ 方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；‎ 方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．‎ 方案二：购买3辆A型车和3辆B型车所需的购车费用最低．‎ ‎　‎ ‎24．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE、BD．‎ ‎（1）求证：△AGE≌△DAB；‎ ‎（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连接AF，求∠AFE的度数．‎ ‎【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）根据SAS判定△AGE和△DAB全等；‎ ‎（2）证明四边形DEFB是平行四边形，△AEF是个等边三角形．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，‎ ‎∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，‎ ‎∴△AGD是等边三角形，‎ AG=GD=AD，∠AGD=60°．‎ ‎∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，‎ ‎∴在△AGE与△DAB中，‎ ‎，‎ ‎∴△AGE≌△DAB（SAS）；‎ ‎（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．‎ ‎∵EF∥DB，DG∥BC，‎ ‎∴四边形BFED是平行四边形．‎ ‎∴EF=BD，‎ ‎∴EF=AE．‎ ‎∵∠DBC=∠DEF，‎ ‎∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．‎ ‎∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．‎ ‎　‎ ‎25．若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，我们把它们称为根与系数的关系定理，请你参考上述定理，解答下列问题：‎ 设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．抛物线的顶点为C，且△ABC为等腰三角形．‎ ‎（1）求A、B两点之间的距离（用字母a、b、c表示）‎ ‎（2）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值；‎ ‎（3）设抛物线y=x2+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）令二次函数解析式中y=0，根据根与系数的关系可得出“x1+x2=﹣，x1•x2=”，利用配方法即可求出|x2﹣x1|的值，由此即可得出结论；‎ ‎（2）利用配方法将二次函数解析式转化成顶点式，由此即可求出点C的坐标，再根据等腰直角三角形的性质可得出2×||=，利用换元解方程即可求出b2﹣4ac的值；‎ ‎（3）由（2）的结论即可得出关于k的方程，解方程即可得出抛物线的解析式，画出函数图象，由此可得出若要使∠ACB=60°，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为n（n＞0），则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1﹣n，结合（1）（2）的结论即可得出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）令y=ax2+bx+c（a≠0）中y=0，则有ax2+bx+c=0，‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ ‎∴|x2﹣x1|===．‎ ‎（2）∵二次函数y=ax2+bx+c=a+，‎ ‎∴点C的坐标为（﹣，），‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴2×||=，‎ 令=m，则有m2﹣2m=0，‎ 解得：m=2，或m=0，‎ ‎∵二次函数与x轴有两个不相同的交点，‎ ‎∴m==2，‎ ‎∴b2﹣4ac=4．‎ ‎（3）∵∠ACB=90°，‎ ‎∴b2﹣4ac=k2﹣4=4，‎ 解得：k=±2．‎ 选k=﹣2，画出图形，如图所示．‎ 若要使∠ACB=60°，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为n（n＞0），则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1﹣n，‎ 由（1）可知AB==2，‎ 由（2）可知点C（﹣，），即（，﹣1﹣n），‎ ‎∵△ABC为等腰三角形，且∠ACB=60°，‎ ‎∴﹣yC=AB，即1+n=，‎ 解得：n=﹣1（舍去），或n=2．‎ 故将抛物线往下平移2个单位长度，能使∠ACB=60°．‎ ‎　‎ ‎26．如图，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，∠AOC=90°，OA=OC=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NP垂直OA于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．‎ ‎（1）当t为何值时，M和P两点重合；‎ ‎（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，及当t为何值时，S的值最大；‎ ‎（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求NQ的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）用t可表示出BN、OM，则可表示出CN，又由△OAC为等腰直角三角形，MN⊥OA，可得到CN=NQ，AP=PQ，当M、P重合时，则有AM=PQ，可得到关于t的方程，可求得t；‎ ‎（2）由（1）可用t分别表示出AM、PQ，可表示出△AQM的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值；‎ ‎（3）由于∠OAC=45°，故当△AQM为直角三角形只能有QM⊥OA和MQ⊥AQ两种情况，当QM⊥OA时，则M、P重合，由（1）可得到t的值，当MQ⊥AQ时，则有MP=PQ，可得到关于t的方程可，可求得t的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵OA=OC=4，∠AOC=90°，‎ ‎∴∠OAC=45°，‎ ‎∵OA∥BC，‎ ‎∴∠BCA=∠OAC=45°，‎ ‎∵NP⊥OA，‎ ‎∴CN=NQ，PQ=AP，‎ 当运动t秒时，则有BN=t，OM=2t，且BC=3，‎ ‎∴CN=NQ=BC﹣BN=3﹣t，AP=PQ=PN﹣NQ=4﹣（3﹣t）=t+1，AM=OA﹣OM=4﹣2t，‎ 当M和P重合时，则有AM=PQ，即t+1=4﹣2t，解得t=1，‎ ‎∴当t的值为1秒时，M和P两点重合；‎ ‎（2）当运动时间为t秒时，由（1）可知PQ=t+1，AM=4﹣2t，‎ ‎∴S=AM•PQ=（t+1）（4﹣2t）=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∵OA=4，‎ ‎∴M点的运动时间最大为2秒，‎ ‎∴0≤t≤2，‎ ‎∴当t=时，Smax=，‎ 综上可知S=﹣（t﹣）2+（0≤t≤2），当t=时S有最大值；‎ ‎（3）∵∠OAC=45°‎ ‎∴当△AQM为直角三角形只能有QM⊥OA和MQ⊥AQ两种情况，‎ ‎①当QM⊥OA时，则M、P重合，由（1）可得到t=1，此时NQ=3﹣t=2；‎ ‎②当MQ⊥AQ时，则有MP=PQ，‎ 由（1）可知AM=4﹣2t，AP=t+1，‎ ‎∴PM=AM﹣AP=（4﹣2t）﹣（t+1）=3﹣3t，‎ 又PQ=t+1，‎ ‎∴3﹣3t=t+1，解得t=，此时NQ=3﹣t=；‎ 综上当t的值为1秒或秒时，△AQM为直角三角形，NQ的长分别为2或．‎ ‎　‎ ‎2016年9月24日