2012年江苏省高考数学试卷

2012年江苏省高考数学试卷

‎2012年江苏省高考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=　　．‎ ‎2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　　名学生．‎ ‎3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为　　．‎ ‎4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是　　．‎ ‎5．（5分）函数f（x）=的定义域为　　．‎ ‎6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　　．‎ ‎7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为　　cm3．‎ ‎8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为　　．‎ ‎9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是　　．‎ ‎10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为　　．‎ ‎11．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为　　．‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为　　．‎ ‎14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（14分）在△ABC中，已知．‎ ‎（1）求证：tanB=3tanA；‎ ‎（2）若cosC=，求A的值．‎ ‎16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：‎ ‎（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）直线A1F∥平面ADE．‎ ‎17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎18．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；‎ ‎（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．‎ ‎19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．‎ ‎ （i）若AF1﹣BF2=，求直线AF1的斜率；‎ ‎ （ii）求证：PF1+PF2是定值．‎ ‎20．（16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=，n∈N*，‎ ‎（1）设bn+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设bn+1=•，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．‎ ‎　‎ 三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）‎ ‎21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]‎ 如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．‎ 求证：∠E=∠C．‎ B．[选修4﹣2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．‎ C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]‎ 在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ D．[选修4﹣5：不等式选讲]‎ 已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．‎ ‎22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．‎ ‎（1）求概率P（ξ=0）；‎ ‎（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．‎ ‎23．（10分）设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：‎ ‎①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．‎ ‎（1）求f（4）；‎ ‎（2）求f（n）的解析式（用n表示）．‎ ‎　‎ ‎2012年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=　{1，2，4，6}　．‎ ‎【分析】由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可 ‎【解答】解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，‎ ‎∴A∪B={1，2，4，6}‎ 故答案为{1，2，4，6}‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　15　名学生．‎ ‎【分析】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．‎ ‎【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，‎ ‎∴高二在总体中所占的比例是=，‎ ‎∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，‎ ‎∴要从高二抽取，‎ 故答案为：15‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为　8　．‎ ‎【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+‎ ‎2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案 ‎【解答】解：由题，a，b∈R，a+bi=‎ 所以a=5，b=3，故a+b=8‎ 故答案为8‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是　5　．‎ ‎【分析】利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．‎ ‎【解答】解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，‎ 则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，‎ 所以结束循环，‎ 输出k=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为　（0，]　．‎ ‎【分析】根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0‎ ‎∴，x＞0‎ ‎∴，x＞0，‎ ‎∴，x＞0，‎ ‎∴0，‎ 故答案为：（0，]‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　　．‎ ‎【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解 ‎【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9‎ 其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数 这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为　6　cm3．‎ ‎【分析】过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，‎ 所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为　2　．‎ ‎【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．‎ ‎【解答】解：∵m2+4＞0‎ ‎∴双曲线的焦点必在x轴上 因此a2=m＞0，b2=m2+4‎ ‎∴c2=m+m2+4=m2+m+4‎ ‎∵双曲线的离心率为，‎ ‎∴，可得c2=5a2，‎ 所以m2+m+4=5m，解之得m=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是　　．‎ ‎【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎====||=，‎ ‎∴||=1，||=﹣1，‎ ‎∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为　﹣10　．‎ ‎【分析】由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，‎ ‎∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，‎ ‎∴1﹣a=①‎ 又f（﹣1）=f（1），‎ ‎∴2a+b=0，②‎ 由①②解得a=2，b=﹣4；‎ ‎∴a+3b=﹣10．‎ 故答案为：﹣10．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为　　．‎ ‎【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．‎ ‎【解答】解：设β=α+，‎ ‎∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，‎ ‎∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．‎ ‎【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．‎ ‎【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；‎ 又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，‎ ‎∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．‎ 设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，‎ 则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，‎ ‎∴0≤k≤．‎ ‎∴k的最大值是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为　9　．‎ ‎【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），‎ ‎∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=‎ 不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），‎ 即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），‎ 则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6‎ ‎∴|m+6﹣m|==6‎ 解得c=9‎ 故答案为：9‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是　[e，7]　．‎ ‎【分析】由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤‎ ‎7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．‎ ‎【解答】解：∵4c﹣a≥b＞0‎ ‎∴＞，‎ ‎∵5c﹣3a≤4c﹣a，‎ ‎∴≤2．‎ 从而 ≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．‎ 又clnb≥a+clnc，‎ ‎∴0＜a≤cln，‎ 从而≥，设函数f（x）=（x＞1），‎ ‎∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，‎ ‎∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．‎ ‎∴f（x）min=f（e）==e．‎ 等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．‎ 从而的取值范围是[e，7]双闭区间．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．‎ ‎（1）求证：tanB=3tanA；‎ ‎（2）若cosC=，求A的值．‎ ‎【分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；‎ ‎（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．‎ ‎【解答】解：（1）∵•=3•，‎ ‎∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，‎ 由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，‎ 又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，‎ 在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；‎ ‎（2）∵cosC=，0＜C＜π，‎ sinC==，‎ ‎∴tanC=2，‎ 则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，‎ ‎∴=﹣2，‎ 将tanB=3tanA代入得：=﹣2，‎ 整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，‎ 解得：tanA=1或tanA=﹣，‎ 又cosA＞0，∴tanA=1，‎ 又A为三角形的内角，‎ 则A=．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：‎ ‎（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）直线A1F∥平面ADE．‎ ‎【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．‎ ‎【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ ‎∴CC1⊥平面ABC，‎ ‎∵AD⊂平面ABC，‎ ‎∴AD⊥CC1‎ 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ‎∴AD⊥平面BCC1B1，‎ ‎∵AD⊂平面ADE ‎∴平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ‎∴A1F⊥B1C1，‎ ‎∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴A1F⊥CC1‎ 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ‎∴A1F⊥平面BCC1B1‎ 又∵AD⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴A1F∥AD ‎∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，‎ ‎∴直线A1F∥平面ADE．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．‎ ‎（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．‎ ‎【解答】解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0． ‎ 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．‎ ‎∴，当且仅当k=1时取等号．‎ ‎∴炮的最大射程是10千米．‎ ‎（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，‎ 即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．‎ 由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，‎ 故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．‎ 此时，k=＞0．‎ ‎∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；‎ ‎（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．‎ ‎【分析】（1）求出 导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．‎ ‎（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．‎ ‎（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．‎ ‎【解答】解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f′（x）=3x2+2ax+b．‎ ‎∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，‎ ‎∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．‎ ‎ （2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．‎ ‎∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴﹣2是g（x）的极值点．‎ ‎∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x） 的极值点．‎ ‎∴g（x）的极值点是﹣2．‎ ‎（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．‎ ‎ 先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]‎ 当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，‎ ‎∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．‎ 当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，‎ ‎∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．‎ 由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．‎ ‎①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．‎ 此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．‎ ‎②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．‎ 又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，‎ ‎∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．‎ 同理，在（一2，一1）内有唯一实根．‎ ‎③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．‎ 又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，‎ ‎∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．‎ 因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|xi|＜2，i=3，4，5．‎ 现考虑函数y=h（x）的零点：‎ ‎（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．‎ ‎（ i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|＜2，i=3，4，5．‎ 而f（x）=ti有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．‎ 综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．‎ ‎ （i）若AF1﹣BF2=，求直线AF1的斜率；‎ ‎ （ii）求证：PF1+PF2是定值．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．‎ ‎（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；‎ ‎（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．‎ ‎【解答】（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．‎ 由点（e，）在椭圆上，得 ‎∴，∴a2=2‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，‎ ‎∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．‎ ‎∴，（舍），‎ ‎∴|AF1|=×|0﹣y1|=①‎ 同理|BF2|=②‎ ‎（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．‎ ‎∵注意到m＞0，∴m=．‎ ‎∴直线AF1的斜率为．‎ ‎（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．‎ ‎ 由点B在椭圆上知，，∴．‎ ‎ 同理．‎ ‎∴PF1+PF2==‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎∴PF1+PF2=．‎ ‎∴PF1+PF2是定值．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=，n∈N*，‎ ‎（1）设bn+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设bn+1=•，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．‎ ‎【分析】（1）由题意可得，an+1===，从而可得，可证 ‎（2）由基本不等式可得，，由{an}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，an+1===‎ ‎∴‎ 从而数列{}是以1为公差的等差数列 ‎（2）∵an＞0，bn＞0‎ ‎∴‎ 从而（*）‎ 设等比数列{an}的公比为q，由an＞0可知q＞0‎ 下证q=1‎ 若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾 ‎0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾 综上可得q=1，an=a1，‎ 所以，‎ ‎∵‎ ‎∴数列{bn}是公比的等比数列 若，则，于是b1＜b2＜b3‎ 又由可得 ‎∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾 ‎∴，从而=‎ ‎∴‎ ‎　‎ 三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）‎ ‎21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]‎ 如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．‎ 求证：∠E=∠C．‎ B．[选修4﹣2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．‎ C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]‎ 在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ D．[选修4﹣5：不等式选讲]‎ 已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．‎ ‎【分析】A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．‎ B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．‎ C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．‎ D．根据绝对值不等式的性质求证．‎ ‎【解答】A．证明：连接 AD．‎ ‎∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．‎ ‎∴AD⊥BD（垂直的定义）．‎ 又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．‎ ‎∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．‎ ‎∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．‎ 又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，‎ ‎∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．‎ ‎∴∠E=∠C（等量代换）．‎ B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=‎ ‎∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0‎ ‎∴λ1=﹣1，λ2=4‎ C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，‎ ‎∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．‎ ‎∵圆C 经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．‎ ‎∴圆 的极坐标方程为ρ=2cosθ．‎ D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，|2x﹣y|＜，‎ ‎∴3|y|＜，‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．‎ ‎（1）求概率P（ξ=0）；‎ ‎（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．‎ ‎【分析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．‎ ‎（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎∴共有8对相交棱，‎ ‎∴P（ξ=0）=．‎ ‎（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ ‎∴P（ξ=）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．‎ ‎∴随机变量ξ的分布列是：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎∴其数学期望E（ξ）=1×+=．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2012•江苏）设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：‎ ‎①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．‎ ‎（1）求f（4）；‎ ‎（2）求f（n）的解析式（用n表示）．‎ ‎【分析】（1）由题意可得P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）‎ ‎（2）任取偶数x∈pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求 ‎【解答】解（1）当n=4时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}‎ 故f（4）=4‎ ‎（2）任取偶数x∈pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，‎ 于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*‎ 由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数 ‎ 若m∉A，则x∈A⇔k为奇数 于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Qn是Pn中所有的奇数的集合 因此f（n）等于Qn的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），Pn中奇数的个数是（或）‎ ‎∴‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；涨停；qiss；邢新丽；ywg2058；wfy814；minqi5；sllwyn；刘长柏（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日