高考卷 07普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析

高考卷 07普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析 第I卷 （选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则（CUB）等于 A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5}‎ 解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，选C ‎(2)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 A.4 B.8 C.16 D.32‎ 解析：a2·a6= a42=16，选C ‎(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 A.0 B. C. D.1‎ 解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选D ‎（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由|x|<2得-21，选D ‎（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是 A.若a·b＝0，则a=0或b=0 B.若a=0,则＝0或a=0‎ C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a-b=a·c，则b=c 解析： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B ‎(9)已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.∥，n∥ ∥‎ B.∥，，m∥n C.m⊥，m⊥nn∥‎ D.n∥m,n⊥m⊥‎ 解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D ‎(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0‎ C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0‎ 解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B ‎(11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,则x<0时 A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0‎ C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0‎ 解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当x<0时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B ‎(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”‎ 的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320‎ 解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎（13）（x2+）6的展开式中常数项是 .（用数字作答）‎ 解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个，故常数项为 ‎ 法二：展开后可得常数项为15‎ ‎（14）已知实数x、y满足则z=2x-y的取值范围是 .‎ 解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7]‎ ‎（15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。‎ 解析：由已知C=2，‎ ‎（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：‎ ‎（1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a;‎ ‎(2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a;‎ ‎(3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c. ‎ 则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .‎ 解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，tanA=,tanB=.‎ ‎(I)求角C的大小;‎ ‎(II)若AB边的长为，求BC边的长 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.‎ 解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)= ‎ 又∵0===-.‎ ‎∴二面角A-A1D-B的大小为arccos.‎ ‎(20)（本小题满分12分）‎ 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).‎ ‎(I)求f (x)的最小值h(t);‎ ‎(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.‎ 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.‎ 解：（I）∵ （），‎ ‎∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,‎ 即h(t)=-t3+t-1.‎ ‎(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,‎ 由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.‎ 当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：‎ T ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ g’(t)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ g(t)‎ 递增 极大值1-m 递减 ‎∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，‎ 即等价于1-m<0‎ 所以m的取值范围为m>1‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*).‎ ‎(I)求数列{an}的通项an;‎ ‎(II)求数列｛nan｝的前n项和T.‎ 本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.‎ 解：（I）∵an+1=2Sn,, ∴Sn+1-Sn=2Sn, ∴=3.‎ 又∵S1＝a1=1,‎ ‎∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).‎ ‎∴当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),‎ ‎∴an=‎ ‎(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.‎ 当n=1时，T1=1;‎ 当n2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………①‎ ‎3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②‎ ‎①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1‎ ‎ =2+2·‎ ‎ =-1+(1-2n)·3n-1‎ ‎∴Tn=+(n-)3n-1 (n2).‎ 又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*)‎ ‎(22)（本小题满分14分）‎ 如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·‎ ‎（I）求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.‎ ‎（1）已知的值;‎ ‎(2)求||·||的最小值.‎ 本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.‎ 解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：‎ ‎(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.‎ ‎(II)（1）设直线AB的方程为：‎ x=my+1(m≠0).‎ 设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.‎ 联立方程组,消去x得：‎ y2-4my-4=0,‎ △ ‎=(-4m)2+12>0,‎ 由得：‎ ‎，整理得：‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=-2-‎ ‎=0.‎ 解法二：（I）由 ‎∴·，‎ ‎∴=0,‎ ‎∴‎ 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.‎ ‎(II)(1)由已知 则：…………①‎ 过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,‎ 则有：…………②‎ 由①②得：‎ ‎（II）（2）解：由解法一：‎ ‎·＝（）2|y1-yM||y2-yM|‎ ‎ =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|‎ ‎ =(1+m2)|-4+ ×4m+| =‎ ‎ =4(2+m2+) 4(2+2)=16.‎ 当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.‎