2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

www.ks5u.com 课时分层作业(二十四)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)‎ A．实半轴长相等 B．虚半轴相等 C．离心率相等 D．焦距相等 D　[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]‎ ‎2．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．(，2)‎ C．(1，) D．(1,2)‎ C　[由题意得双曲线的离心率e＝.‎ 即e2＝＝1＋.‎ ‎∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，‎ ‎∴1＜e＜.故选C.]‎ ‎3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ A　[双曲线C的渐近线方程为－＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以－＝0，即a2＝4b2　①.‎ 又a2＋b2＝c2＝25　②.‎ 由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]‎ ‎4．过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(　　)‎ A． B．1＋ C．2＋ D．3－ B　[因为|PF2|＝|F2F1|, P点满足－＝1，∴y＝，‎ ‎∴2c＝，即2ac＝b2＝c2－a2，∴2＝e－，又e＞0，故e＝1＋.]‎ ‎5．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)‎ A． B．3‎ C．2 D．4‎ B　[根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，‎ 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，‎ 可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，‎ 分别与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，‎ 求得M(3，) ，N，‎ 所以|MN|＝＝3.]‎ 二、填空题 ‎6．(一题两空)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________．‎ ‎2　y＝±x　[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2.渐近线方程是y ‎＝±x＝±x.]‎ ‎7．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．‎ －＝1　[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1.]‎ ‎8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．‎ －y2＝1　[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，‎ ‎∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ 法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而＜2，‎ ‎∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，‎ 在y＝－x的上方(如图)．‎ ‎∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．‎ 由已知条件可得 解得 ‎∴双曲线的标准方程为－y2＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：‎ ‎(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；‎ ‎(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．‎ ‎[解]　(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，‎ 因为＝，所以a＝5，b＝＝12.‎ 故所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝ ①.‎ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1 ②.‎ 联立①②，无解．‎ 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，‎ 则＝.　 ③‎ ‎∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.　 ④‎ 由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，‎ ‎∵A(2，－3)在双曲线上，‎ ‎∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝.‎ 所以所求双曲线方程为x2－＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)‎ 设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为 y－＝－，即x＋y－2m＝0，‎ 与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，‎ 可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±.‎ ‎11．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　)‎ A．有相同的焦点 B．有相同的焦距 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 BD　[两方程均化为标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝ ‎，故C错误．]‎ ‎12．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．2‎ D　[直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝c，‎ 即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4.‎ 整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，‎ 又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e＝2.]‎ ‎13．(一题两空)已知椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝________，cos∠F1PF2的值为________．‎ ＋　　[因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得 解得 又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.]‎ ‎14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．‎ ‎[2，＋∞)　[由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2‎ ‎＝≥4，所以e≥2.]‎ ‎15．已知椭圆C1：＋y2＝1的左右顶点是双曲线C2：－＝1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且·＝－5，求|M1M2|的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由椭圆C1：＋y2＝1的左右顶点为(－，0)，(，0)，可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点(0,1)到双曲线C2的渐近线bx－ay＝0的距离为，由点到直线的距离公式有＝可得b＝1，‎ 所以双曲线C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，‎ 代入－y2＝1，消去y并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，要与C2相交于两点，‎ 则应有 ‎⇒ ①，‎ 设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有：x1＋x2＝，x1·x2＝－.‎ 又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，‎ 又·＝－5，所以有[(1＋k2)(－3m2－3)＋6k2m2＋m2(1－3k2)]＝－5‎ 整理得m2＝1－9k2　 ②，‎ 将y＝kx＋m，代入＋y2＝1，消去y并整理得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，‎ 要有两交点，则Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0⇒3k2＋1＞m2　③‎ 由①②③有：0＜k2≤.‎ 设M1(x3，y3)、M2(x4，y4)，则有：‎ x3＋x4＝，x3·x4＝.‎ 所以|M1M2|＝· ‎＝·，‎ 又m2＝1－9k2，代入有：|M1M2|＝· ‎⇒|M1M2|＝12，令t＝k2，则t∈，‎ 令f(t)＝⇒f′(t)＝，又t∈，‎ 所以f′(t)＞0在t∈内恒成立，故函数f(t)在t∈内单调递增，‎ 故f(t)∈，则有|M1M2|∈(0，].‎