- 2021-04-28 发布 |
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文档介绍
2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业:9
www.ks5u.com 课时分层作业(一) 正弦定理 (建议用时:40分钟) 一、选择题 1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是( ) A. B. C. D. A [在△ABC中,由正弦定理知=,又a=5,b=3,所以==.] 2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于( ) A.- B. C.- D. D [由正弦定理得=, ∴sin B===. ∵a>b,A=60°,∴B为锐角. ∴cos B===.] 3.在△ABC中,a=5,c=10,A=30°,则B=( ) A.105° B.15° C.105°或15° D.45°或135° C [由a<c,得A<C,又由sin C==,得C=45°或135°,所以B=105°或15°.] 4.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 B [由题意有=b=,则sin B=1,即B为直角,故△ABC是直角三角形.] 5.在△ABC中,已知(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A.3∶5∶7 B.7∶5∶3 C.6∶5∶4 D.4∶5∶6 A [因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=4∶5∶6,不妨设且k≠0, 则a=k,b=k,c=k,所以a∶b∶c=3∶5∶7,即sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7.] 二、填空题 6.在△ABC中,AB=,A=45°,B=60°,则BC=_____. 3- [利用正弦定理=, 而C=180°-(A+B)=75°, 故BC===3-.] 7.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是________. 直角三角形 [由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知sin A=,sin B=,sin C=, 所以-=, 即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.] 8.在△ABC中,bc=20,S△ABC=5,△ABC外接圆的半径为,则a=________. 3 [∵S△ABC=bcsin A=×20×sin A=5,∴sin A=.∵△ABC外接圆的半径R 为,由正弦定理的推广可得=2R,∴a=2sin A=2×=3.] 三、解答题 9.在△ABC中,acos=bcos,判断△ABC的形状. [解] 法一:∵acos =bcos, ∴asin A=bsin B. 由正弦定理,得a·=b·, ∴a2=b2,∴a=b, ∴△ABC为等腰三角形. 法二:∵acos=bcos, ∴asin A=bsin B. 由正弦定理,得2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B, ∴A=B(A+B=π不合题意,舍去). 故△ABC为等腰三角形. 10.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80°; (2)a=2,b=6,A=30°. [解] (1)a=10,b=20,a<b, A=80°<90°,由=得, sin B==2sin 80°>2sin 30°=1,∴本题无解. (2)a=2,b=6,a<b,A=30°<90°, ∵bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A, ∴bsin A<a<b,∴本题有两解. 由正弦定理得 sin B===, 又∵B∈(0°,180°),∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°,c===4; 当B=120°时,C=30°, c===2. ∴当B=60°时,C=90°,c=4; 当B=120°时,C=30°,c=2. 11.(多选题)已知两边和其中一边的对角,则△ABC无解的是( ) A.a=7,b=8,A=105° B.b=40,c=20,C=60° C.b=10,c=5,C=60° D.a=2,b=6,A=30° AB [A中,由a<b,A=105°,可得B>105°,与三角形的内角和为180°矛盾,故三角形无解;B中,由正弦定理=,得sin B===>1,所以B不存在,故三角形无解;C中,由正弦定理=,得sin B===,又b<c,所以B=45°,所以A=180°-(B+C)=75°,故三角形有唯一解;D中,由正弦定理=,得sin B===,所以B=60°或B=120°,故三角形有两解.故选AB.] 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为( ) A.., B., C., D., C [因为m⊥n,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理及已知条件,得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,所以sin(A+B)=sin2C,所以sin C=sin2C.因为0<C<π,所以sin C≠0,所以sin C=1,所以C=,B=.] 13.(一题两空)已知△ABC中,AB=,BC=1,sin C=cos C,则sin A=________,△ABC的面积为________. [由sin C=cos C,得tan C=,所以C=. 根据正弦定理可得=,解得sin A=. 因为AB>BC,所以A<C,所以A=. 所以B=,所以△ABC为直角三角形. 所以S△ABC=××1=.] 14.我国著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积公式”为S=.若a2sin C=24sin A,a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A,则用“三斜求积公式”求得的S等于________. [由a2sin C=24sin A可得a2c=24a, ∴ac=24. 由a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a2)sin A可得a(c-b)·(c+b)=(27-a2)a,整理得a2+c2-b2=27, 结合“三斜求积公式”可得S===.] 15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b2-a2=c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面积为3,求b的值. [解] (1)由b2-a2=c2,A=及正弦定理得 sin2B-=sin2C,∴-cos 2B=sin2C. 又由A=,即B+C=,得2B=π-2C, ∴-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C=sin2C. 又∵sin C≠0,∴tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π),得sin C=,cos C=. ∵sin B=sin(A+C)=sin,∴sin B=. 由正弦定理,得c=. 又A=,bcsin A=3, ∴bc=6,∴b=3.查看更多