2020年湖南省衡阳市中考数学试卷(含解析）

2020年湖南省衡阳市中考数学试卷(含解析）

‎2020年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．‎1‎‎3‎ D．‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎2．（3分）（2020•衡阳）下列各式中，计算正确的是（　　）‎ A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5‎ ‎3．（3分）（2020•衡阳）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.2×108 B．1.2×107 C．1.2×109 D．1.2×10﹣8‎ ‎4．（3分）（2020•衡阳）下列各式中正确的是（　　）‎ A．﹣|﹣2|＝2 B．‎4‎‎=‎±2 C．‎3‎‎9‎‎=‎3 D．30＝1‎ ‎5．（3分）（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．赵爽弦图 B．科克曲线 ‎ C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线 ‎6．（3分）（2020•衡阳）要使分式‎1‎x-1‎有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0‎ ‎7．（3分）（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）‎ A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC ‎ C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD ‎8．（3分）（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（3分）（2020•衡阳）不等式组x-1≤0，①‎x+2‎‎3‎‎-x‎2‎＜1②‎的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y‎=‎kx经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）‎ A．k＝2 ‎ B．函数图象分布在第一、三象限 ‎ C．当x＞0时，y随x的增大而增大 ‎ D．当x＞0时，y随x的增大而减小 ‎11．（3分）（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）‎ A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 ‎ B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 ‎ C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 ‎ D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600‎ ‎12．（3分）（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A．3 B．3‎2‎ C．6 D．6‎‎2‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）‎ ‎13．（3分）（2020•衡阳）因式分解：a2+a＝　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•衡阳）计算：x‎2‎‎+xx‎-‎x＝　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•衡阳）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于　 　．‎ ‎16．（3分）（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为　 　．‎ ‎17．（3分）（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有　 　名．‎ ‎18．（3分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（‎2‎‎2‎，‎2‎‎2‎），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　 　．‎ 三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ 第21页（共21页）‎ ‎19．（6分）（2020•衡阳）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．‎ ‎20．（6分）（2020•衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为‎1‎‎3‎．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．‎ ‎21．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．‎ ‎（1）求证：DE＝DF；‎ ‎（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．‎ ‎22．（8分）（2020•衡阳）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．‎ 根据以上信息回答问题：‎ ‎（1）补全频数分布直方图．‎ 第21页（共21页）‎ ‎（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．‎ 据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：‎ C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；‎ H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；‎ B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．‎ ‎（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）‎ ‎23．（8分）（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．‎ ‎（1）求OC的长；‎ ‎（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）‎ ‎24．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．‎ ‎（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．‎ ‎25．（10分）（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．‎ 第21页（共21页）‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；‎ ‎（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．‎ ‎26．（12分）（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当点H落在AC边上时，求t的值；‎ ‎（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S‎=‎‎91‎‎36‎？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2‎5‎个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．‎ 第21页（共21页）‎ ‎2020年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．‎1‎‎3‎ D．‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解：﹣3的相反数是3．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2020•衡阳）下列各式中，计算正确的是（　　）‎ A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5‎ ‎【解答】解：a3与a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；‎ 同上可得，选项B不符合题意；‎ ‎（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；‎ a2•a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）（2020•衡阳）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.2×108 B．1.2×107 C．1.2×109 D．1.2×10﹣8‎ ‎【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）（2020•衡阳）下列各式中正确的是（　　）‎ A．﹣|﹣2|＝2 B．‎4‎‎=‎±2 C．‎3‎‎9‎‎=‎3 D．30＝1‎ ‎【解答】解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；‎ B、‎4‎‎=‎2，故此选项错误；‎ C、‎3‎‎9‎‎≠‎3，故此选项错误；‎ D、30＝1，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A．赵爽弦图 B．科克曲线 ‎ C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线 ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；‎ B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；‎ D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）（2020•衡阳）要使分式‎1‎x-1‎有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0‎ ‎【解答】解：要使分式‎1‎x-1‎有意义，则x﹣1≠0，‎ 解得：x≠1．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）‎ A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC ‎ C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD ‎【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎∵AB＝DC，AD＝BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎∵OA＝OC，OB＝OD，‎ 第21页（共21页）‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．‎ B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）（2020•衡阳）不等式组x-1≤0，①‎x+2‎‎3‎‎-x‎2‎＜1②‎的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：x-1≤0，①‎x+2‎‎3‎‎-x‎2‎＜1②‎，‎ 由①得x≤1，‎ 由②得x＞﹣2，‎ 故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，‎ 在数轴上表示为：．‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y‎=‎kx经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）‎ A．k＝2 ‎ B．函数图象分布在第一、三象限 ‎ C．当x＞0时，y随x的增大而增大 ‎ 第21页（共21页）‎ D．当x＞0时，y随x的增大而减小 ‎【解答】解：∵反比例函数y‎=‎kx经过点（2，1），‎ ‎∴1‎=‎k‎2‎，‎ 解得，k＝2，故选项A正确；‎ ‎∵k＝2＞0，‎ ‎∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；‎ 当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；‎ 故选：C．‎ ‎11．（3分）（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）‎ A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 ‎ B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 ‎ C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 ‎ D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600‎ ‎【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．‎ 故选：C．‎ ‎12．（3分）（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（　　）‎ A．3 B．3‎2‎ C．6 D．6‎‎2‎ 第21页（共21页）‎ ‎【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，‎ 由图象和题意可得，‎ AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，‎ ‎∴AB＝2+1＝3，‎ ‎∵直线BE平行直线y＝x，‎ ‎∴BM＝EM‎=‎‎2‎，‎ ‎∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3‎×‎2‎=‎3‎2‎．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）‎ ‎13．（3分）（2020•衡阳）因式分解：a2+a＝　a（a+1）　．‎ ‎【解答】解：a2+a＝a（a+1）．‎ 故答案为：a（a+1）．‎ ‎14．（3分）（2020•衡阳）计算：x‎2‎‎+xx‎-‎x＝　1　．‎ ‎【解答】解：原式‎=x(x+1)‎x-‎x ‎＝x+1﹣x ‎＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎15．（3分）（2020•衡阳）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于　12　．‎ ‎【解答】解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，‎ ‎∴n＝360°÷30°＝12．‎ 故答案为：12．‎ ‎16．（3分）（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为　105°　．‎ 第21页（共21页）‎ ‎【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，‎ ‎∴∠2＝∠D＝45°．‎ ‎∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，‎ ‎∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．‎ 故答案是：105°．‎ ‎17．（3分）（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有　23　名．‎ ‎【解答】解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有 ‎2x﹣17+x＝52，‎ 解得x＝23．‎ 故女生有23名．‎ 故答案为：23．‎ ‎18．（3分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（‎2‎‎2‎，‎2‎‎2‎），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　（0，﹣22019）　．‎ 第21页（共21页）‎ ‎【解答】解：∵点P1的坐标为（‎2‎‎2‎，‎2‎‎2‎），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；‎ ‎∴OP1＝1，OP2＝2，‎ ‎∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，‎ ‎∴OPn＝2n﹣1，‎ 由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，‎ ‎∵2020÷8＝252…4，‎ ‎∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，‎ ‎∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．‎ 故答案为：（0，﹣22019）．‎ 三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎19．（6分）（2020•衡阳）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．‎ ‎【解答】解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）‎ ‎＝ab+b2+a2﹣b2‎ ‎＝ab+a2．‎ ‎20．（6分）（2020•衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为‎1‎‎3‎．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．‎ ‎【解答】解：（1）由概率的意义可得，‎ n‎2+n‎=‎‎1‎‎3‎‎，解得，n＝1，‎ 第21页（共21页）‎ 答：n的值为1；‎ ‎（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：‎ 共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．‎ ‎∴P（一白一黑）‎=‎‎4‎‎9‎，‎ ‎21．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．‎ ‎（1）求证：DE＝DF；‎ ‎（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．‎ ‎【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴∠BED＝∠CFD＝90°，‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴BD＝CD，‎ 在△BED与△CFD中，‎ ‎∠BED=∠CFD‎∠B=∠CBD=CD‎，‎ ‎∴△BED≌△CFD（AAS），‎ ‎∴DE＝DF；‎ ‎（2）解：∵∠BDE＝40°，‎ ‎∴∠B＝50°，‎ ‎∴∠C＝50°，‎ ‎∴∠BAC＝80°．‎ ‎22．（8分）（2020•衡阳）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战 第21页（共21页）‎ ‎“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．‎ 根据以上信息回答问题：‎ ‎（1）补全频数分布直方图．‎ ‎（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．‎ 据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：‎ C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；‎ H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；‎ B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．‎ ‎（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）‎ ‎【解答】解：（1）由直方图可得，‎ ‎1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，‎ 补全的频数分布直方图如右图所示；‎ ‎（2）360°‎×‎3‎‎30‎=‎36°，‎ 即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；‎ 第21页（共21页）‎ ‎（3）4.2‎×‎404+103+83‎‎1614+338+148‎≈‎1.2（万人），‎ 答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．‎ ‎23．（8分）（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．‎ ‎（1）求OC的长；‎ ‎（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）‎ ‎【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．‎ ‎∴OC‎=‎‎1‎‎2‎OA‎=‎1‎‎2‎×‎24＝12（cm）；‎ ‎（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，‎ 由题意得，OA＝OB′＝24，‎ 当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°‎ ‎∴∠B′OE＝60°，‎ ‎∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，‎ 第21页（共21页）‎ ‎∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12‎3‎，‎ 又∵OC＝DE＝12，‎ ‎∴B′D＝B′E+DE＝12+12‎3‎，‎ 即：点B′到AC的距离为（12+12‎3‎）cm．‎ ‎24．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．‎ ‎（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．‎ ‎【解答】解：（1）BC与⊙O相切，‎ 理由：连接OD，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∴∠ODA＝∠CAD，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠ODC＝90°，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∵OD为半径，‎ ‎∴BC是⊙O切线；‎ ‎（2）连接DE，‎ 第21页（共21页）‎ ‎∵AE是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADE＝90°，‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠ADE＝∠C，‎ ‎∵∠EAD＝∠DAC，‎ ‎∴△ADE∽△ACD，‎ ‎∴AEAD‎=‎ADAC，‎ ‎10‎‎8‎‎=‎‎8‎AC‎，‎ ‎∴AC‎=‎‎32‎‎5‎，‎ ‎∴CD‎=AD‎2‎-AC‎2‎=‎8‎‎2‎‎-(‎‎32‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎24‎‎5‎，‎ ‎∵OD⊥BC，AC⊥BC，‎ ‎∴△OBD∽△ABC，‎ ‎∴ODAC‎=‎BDBC，‎ ‎∴‎5‎‎32‎‎5‎‎=‎BDBD+‎‎24‎‎5‎，‎ ‎∴BD‎=‎‎120‎‎7‎．‎ ‎25．（10分）（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；‎ ‎（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．‎ 第21页（共21页）‎ ‎【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，‎ ‎∴‎1-p+q=0‎‎4+2p+q=0‎，解得p=-1‎q=-2‎，‎ ‎∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x‎=‎-1+2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x‎=‎‎1‎‎2‎是函数有最小值：y‎=‎1‎‎4‎-‎1‎‎2‎-‎2‎=-‎‎9‎‎4‎，‎ ‎∴的最大值与最小值的差为：4﹣（‎-‎‎9‎‎4‎）‎=‎‎25‎‎4‎；‎ ‎（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，‎ ‎∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，‎ 解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，‎ ‎∵a＜3＜b，‎ ‎∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，‎ 故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．‎ ‎26．（12分）（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴 第21页（共21页）‎ 上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当点H落在AC边上时，求t的值；‎ ‎（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S‎=‎‎91‎‎36‎？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2‎5‎个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）如图1﹣1中，‎ 由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，‎ 当点H落在AC上时，∵EH∥OA，‎ ‎∴CECO‎=‎EHOA，‎ ‎∴CE‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴CE＝2，‎ ‎∴点E的运动路程为1，‎ ‎∴t＝1时，点H落在AC上．‎ 第21页（共21页）‎ ‎（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，‎ ‎∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S‎=‎‎91‎‎36‎，‎ ‎∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．‎ 由题意：（t﹣3）2‎-‎‎1‎‎2‎•‎3t-13‎‎2‎•（3t﹣13）‎=‎‎91‎‎36‎，‎ 整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t‎=‎‎14‎‎3‎或‎92‎‎15‎（舍弃），∴满足条件的t的值为‎14‎‎3‎．‎ ‎（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t‎=‎‎3‎‎5‎ 当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t‎=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长‎=‎4‎‎5‎-‎3‎‎5‎=‎‎1‎‎5‎（s），‎ 当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t‎=‎‎4‎‎3‎，‎ 当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t‎=‎‎5‎‎3‎，‎ 点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长‎=‎5‎‎3‎-‎4‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长‎=‎1‎‎5‎+‎1‎‎3‎=‎‎8‎‎15‎（s）．‎ 第21页（共21页）‎