江苏省镇江中学2020届高三上学期期中调研试题（强化班）数学试题 含解析

江苏省镇江中学2020届高三上学期期中调研试题（强化班）数学试题 含解析

江苏省镇江中学2020届高三年级第一学期期中调研试题（强化班）‎ 数学试题 ‎2019．11‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB＝ ．‎ 答案：{1，2}‎ 考点：集合的运算 解析：因为集合A＝，‎ ‎ 所以A＝(0，3)，‎ ‎ 又B＝{﹣1，0，1，2，3}，‎ ‎ 所以AB＝{1，2}．‎ ‎2．i是虚数单位，复数＝ ．‎ 答案：‎ 考点：复数 解析：．‎ ‎3．函数的定义域为 ．‎ 答案：(1，2]‎ 考点：函数的定义域 解析：由题意得：，则，故原函数的定义域为(1，2]．‎ ‎4．已知是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且，则x的值为 ．‎ 答案：﹣2‎ 考点：三角函数的定义 解析：由终边上一点P(x，)，得，解得：，是第二象限角，所以x的值为﹣2．‎ ‎5．右图是一个算法流程图，则输出的i的值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：3‎ 考点：程序框图 解析：第一次，S＝400，不满足退出的循环条件，i＝1；‎ ‎ 第二次，S＝800，不满足退出的循环条件，i＝2；‎ ‎ 第三次，S＝1200，不满足退出的循环条件，i＝3；‎ ‎ 第四次，S＝1600，满足退出的循环条件．故输出的i的值为3．‎ ‎6．若同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为3的慨率是 ．‎ 答案：‎ 考点：古典概型 解析：同时抛掷两枚骰子，基本事件总数为36，其中向上的点数之差的绝对值为3的事件数为6，故P＝＝．‎ ‎7．若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 ．‎ 答案：8‎ 考点：棱锥体积 解析：设四棱锥为P—ABCD，底面ABCD的中心为O取CD中点E，连结PE，OE，‎ 则PE⊥CD，OE＝，‎ ‎∵S侧面＝4S△PCD＝4××CD×PE＝，‎ ‎∴PE＝，PO＝3，‎ ‎∴正四棱锥体积V＝．‎ ‎8．设等差数列的前n项的和为，若＝5，且，，成等差数列，则数列 的通项公式＝ ．‎ 答案：‎ 考点：等差数列的通项公式 解析：∵，，成等差数列，∴2＝＋，即 ‎ 故，又＝5，求得d＝2，‎ ‎ ∴＝＝．‎ ‎9．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝ ．‎ 答案：‎ 考点：余弦定理 解析：设BC边上的高AD为x，则a＝BC＝3x，BD＝x，CD＝2x，故c＝AB＝x，b＝AC＝x，由余弦定理得：cosA＝＝＝．‎ ‎10．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，则的最小值为 ．‎ 答案：‎ 考点：基本不等式 解析：‎ ‎ 当且仅当时取“＝”．‎ ‎11．已知R，设函数（其中e是自然对数的底数），若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为 ．‎ 答案：≤a≤4‎ 考点：函数与不等式（恒成立问题）‎ 解析：分两部分完成，第一部分对恒成立，第二部分对 恒成立．‎ ‎ （1）先对恒成立，‎ ‎ 当x＝1时，符合题意；‎ ‎ 当x＞1时，参变分离得：，‎ ‎ 因为≥4，当x＝2时取“＝”，故上式恒成立时a≤4；‎ ‎ （2）再解对恒成立，‎ ‎ 参变分离得：，令，，故单调递增，‎ ‎ ∴‎ ‎ 要使对恒成立，则a≥．‎ ‎ 综上所述，a的取值范围为≤a≤4．‎ ‎12．在△ABC中，已知()⊥，则sinA最大值等于 ．‎ 答案：‎ 考点：余弦定理，平面向量数量积与向量垂直，基本不等式 解析：∵()⊥‎ ‎ ∴()·＝0‎ ‎ ∵＝，代入上式，并化简得：，‎ ‎ 故，得，‎ ‎ 由同角三角函数关系式，可知sinA最大时，cosA最小，‎ ‎ 由，当且仅当b＝2c时取“＝”，‎ ‎ 此时sinA最大值等于．‎ ‎13．已知实数，，，满足，，且＞＞，则的取值范围是 ．‎ 答案：(，)‎ 考点：不等式与不等关系，一元二次方程与一元二次不等式 解析：∵，＞＞，‎ ‎ ∴＞0，＞＞﹣﹣，得 ‎ ∵‎ ‎ ∴‎ ‎ 当＝1时，显然不符题意；‎ ‎ 当≠1时，(，1)，解得＜＜，‎ ‎ 故的取值范围是(，)．‎ ‎14．已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为 ．‎ 答案：(1，)‎ 考点：函数与方程 解析：令，变形得：，‎ ‎ 令，得，‎ ‎ 发现，，‎ ‎ 当0＜x＜e，，在(0，e)上单调递增；当x＞e，，在(e，)上单调递增，且＞0．且在x＝e时有最大值．‎ ‎ 当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；‎ ‎ 当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线，与的交点恰有三个，‎ 即转化为的两根，，则 ‎，解得1＜a＜．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD，E为PA的中点．‎ ‎（1）证明：DE∥平面PBC；‎ ‎（2）证明：DE⊥平面PAB．‎ 证明：（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，‎ DC∥AB，所以EF∥DC，------2分 ，‎ 且EF＝DC＝．‎ 故四边形CDEF为平行四边形，-----4分 可得ED∥CF------5分 又ED平面PBC，CF平面PBC，-------6分 故DE∥平面PBC--------------7分 注：（证面面平行也同样给分）‎ ‎（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD 又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，‎ 所以AB⊥平面PAD----11分 ED平面PAD，故ED⊥AB．-------12分 又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；---------13分 PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB----------14分 ‎16．（本题满分14分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a﹣b)sinA＝(b＋c)(sinC﹣sinB)．‎ ‎（1）求角C的值；‎ ‎（2）若cos(B＋)＝，求sinA．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 已知a，b为实数，函数．‎ ‎（1）已知a≠0，讨论的奇偶性；‎ ‎（2）若b＝1，①若a＝2，求在[0，3]上的值域；②若a＞2，解关于x的不等式≥0．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝27米，设灯柱高AB＝h(米)，∠ACB＝(30°≤≤45°)．‎ ‎（1）求灯柱的高h(用表示)；‎ ‎（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 对于给定的正整数k，若正项数列满足，对任意的正整数n(n＞k)总成立，则称数列是“G(k)数列”．‎ ‎（1）证明：正项等比数列是“”；‎ ‎（2）已知正项数列既是“G(2)数列”，又是“G(3)数列”，①证明：是等比数列；②若，，且存在，使得为数列中的项，求q的值．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知函数(a，bR)．‎ ‎（1）若b＝0，且在(0，)内有且只有一个零点，求a的值；‎ ‎（2）若a2＋b＝0，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若a＝1，b＜0，试讨论是否存在(0，)(，1)，使得．‎