2020年山东省济宁市中考数学试卷

2020年山东省济宁市中考数学试卷

2020 年山东省济宁市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求． 1．（3分） 7 2  的相反数是 ( ) A． 7 2  B． 2 7  C． 2 7 D． 7 2 2．（3分）用四舍五入法将数 3.14159精确到千分位的结果是 ( ) A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141 3．（3分）下列各式是最简二次根式的是 ( ) A． 13 B． 12 C． 3a D． 5 3 4．（3分）一个多边形的内角和是1080，则这个多边形的边数是 ( ) A．9 B．8 C．7 D．6 5．（3分）一条船从海岛 A出发，以 15海里 /时的速度向正北航行，2小时后到达海岛 B 处．灯 塔C在海岛 A的北偏西 42方向上，在海岛 B 的北偏西84方向上．则海岛 B 到灯塔C的 距离是 ( ) A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 6．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位： )cm 的平均数 和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是 ( ) 甲 乙 丙 丁 平均数 x 376 350 376 350 方差 2s 12.5 13.5 2.4 5.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 5y x  和直线 y ax b  相交于点 P ，根据图象可知，方程 5x ax b   的解是 ( ) A． 20x  B． 5x  C． 25x  D． 15x  8．（3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是 ( ) A． 212 cm B． 215 cm C． 224 cm D． 230 cm 9．（3分）如图，在 ABC 中，点 D为 ABC 的内心， 60A  ， 2CD  ， 4BD  ．则 DBC 的面积是 ( ) A． 4 3 B． 2 3 C．2 D．4 10．（3 分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所 示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个 图案中有 1个正方体，第（2）个图案中有 3个正方体，第（3）个图案中有 6个正方体， 按照此规律，从第 (100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体 的概率是 ( ) A． 1 100 B． 1 20 C． 1 101 D． 2 101 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分． 11．（3分）分解因式 3 4a a 的结果是 ． 12．（3分）已知三角形的两边长分别为 3和 6，则这个三角形的第三边长可以是 （写出 一个即可）． 13．（3分）已如 3m n   ，则分式 2 2 ( 2 )m n m n n m m      的值是 ． 14．（3分）如图，小明在距离地面 30米的 P 处测得 A处的俯角为15，B 处的俯角为 60．若 斜面坡度为1: 3 ，则斜坡 AB的长是 米． 15．（3分）如图，在四边形 ABCD中，以 AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与 BD相 交于点 E ， 2CD CE CA  ，分别延长 AB，DC相交于点 P ，PB BO ， 2 2CD  ．则 BO 的长是 ． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分． 16．（6分）先化简，再求值： ( 1)( 1) (2 )x x x x    ，其中 1 2 x  ． 17．（7分）某校举行了“防溺水”知识竞赛．八年级两个班各选派 10名同学参加预赛，依 据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图（如图所示）． 班级 八（1）班 八（2）班 最高分 100 99 众数 a 98 中位数 96 b 平均数 c 94.8 （1）统计表中， a  ， b  ， c  ； （2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛， 另外两个名额在成绩为 98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率． 18．（7分）如图，在 ABC 中， AB AC ，点 P 在 BC上． （1）求作： PCD ，使点 D在 AC上，且 PCD ABP ∽ ；（要求：尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 2APC ABC   ．求证： / /PD AB． 19．（8分）在 ABC 中， BC边的长为 x， BC边上的高为 y， ABC 的面积为 2． （1） y关于 x的函数关系式是 ， x的取值范围是 ； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）将直线 3y x   向上平移 ( 0)a a  个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点， 请求出此时 a的值． 20．（8分）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与 3辆小货 车一次可以运输 600箱；5辆大货车与 6辆小货车一次可以运输 1350箱． （1）求 1辆大货车和 1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共 12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用 5000元，每辆小货车 一次需费用 3000元．若运输物资不少于 1500箱，且总费用小于 54000元．请你列出所有运 输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？ 21．（9分）我们把方程 2 2 2( ) ( )x m y n r    称为圆心为 ( , )m n 、半径长为 r 的圆的标准方 程．例如，圆心为 (1, 2) 、半径长为 3的圆的标准方程是 2 2( 1) ( 2) 9x y    ．在平面直角 坐标系中， C 与轴交于点 A， B ，且点 B 的坐标为 (8,0)，与 y轴相切于点 (0,4)D ，过点 A， B ， D的抛物线的顶点为 E ． （1）求 C 的标准方程； （2）试判断直线 AE与 C 的位置关系，并说明理由． 22．（10分）如图，在菱形 ABCD中，AB AC ，点 E ，F ，G分别在边 BC，CD上，BE CG ， AF 平分 EAG ，点 H 是线段 AF 上一动点（与点 A不重合）． （1）求证： AEH AGH   ； （2）当 12AB  ， 4BE  时． ①求 DGH 周长的最小值； ②若点O是 AC的中点，是否存在直线OH 将 ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角 形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出 AH AF 的值；若不存在，请说明理由． 2020 年山东省济宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求． 1．（3分） 7 2  的相反数是 ( ) A． 7 2  B． 2 7  C． 2 7 D． 7 2 【解答】解： 7 2  的相反数是： 7 2 ． 故选： D． 2．（3分）用四舍五入法将数 3.14159精确到千分位的结果是 ( ) A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141 【解答】解：3.14159精确到千分位的结果是 3.142． 故选：C． 3．（3分）下列各式是最简二次根式的是 ( ) A． 13 B． 12 C． 3a D． 5 3 【解答】解： A、 13是最简二次根式，符合题意； B 、 12 2 3 ，不是最简二次根式，不符合题意； C、 3a a a ，不是最简二次根式，不符合题意； D、 5 15 3 3  ，不是最简二次根式，不符合题意． 故选： A． 4．（3分）一个多边形的内角和是1080，则这个多边形的边数是 ( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【解答】解：设所求正 n边形边数为 n， 则1080 ( 2) 180n    ， 解得 8n  ． 故选： B ． 5．（3分）一条船从海岛 A出发，以 15海里 /时的速度向正北航行，2小时后到达海岛 B 处．灯 塔C在海岛 A的北偏西 42方向上，在海岛 B 的北偏西84方向上．则海岛 B 到灯塔C的 距离是 ( ) A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 【解答】解：如图． 根据题意得： 84CBD  ， 42CAB  ， 42C CBD CAB CAB      ， BC AB  ， 15 2 30AB    ， 30BC  ， 即海岛 B 到灯塔C的距离是 30海里． 故选：C． 6．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位： )cm 的平均数 和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是 ( ) 甲 乙 丙 丁 平均数 x 376 350 376 350 方差 2s 12.5 13.5 2.4 5.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：乙和丁的平均数最小， 从甲和丙中选择一人参加比赛， 丙的方差最小， 选择丙参赛． 故选：C． 7．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 5y x  和直线 y ax b  相交于点 P ，根据图象可知，方程 5x ax b   的解是 ( ) A． 20x  B． 5x  C． 25x  D． 15x  【解答】解：直线 5y x  和直线 y ax b  相交于点 (20,25)P 直线 5y x  和直线 y ax b  相交于点 P 为 20x  ． 故选： A． 8．（3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是 ( ) A． 212 cm B． 215 cm C． 224 cm D． 230 cm 【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥， 2 26( ) 4 5( ) 2 l cm   ，  21 1 62 2 5 15 2 2 2 S r l cm          侧 ． 故选： B ． 9．（3分）如图，在 ABC 中，点 D为 ABC 的内心， 60A  ， 2CD  ， 4BD  ．则 DBC 的面积是 ( ) A． 4 3 B． 2 3 C．2 D．4 【解答】解：过点 B 作 BH CD 于点 H ． 点 D为 ABC 的内心， 60A  ， 1 1( ) (180 ) 2 2 DBC DCB ABC ACB A        ， 1 190 90 60 120 2 2 BDC A           ， 则 60BDH  ， 4BD  ， 2DH  ， 2 3BH  ， 2CD  ， DBC 的面积 1 1 2 2 3 2 3 2 2 CD BH     ， 故选： B ． 10．（3 分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所 示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个 图案中有 1个正方体，第（2）个图案中有 3个正方体，第（3）个图案中有 6个正方体， 按照此规律，从第 (100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体 的概率是 ( ) A． 1 100 B． 1 20 C． 1 101 D． 2 101 【解答】解：由题意知，第 100个图形中，正方体一共有1 2 3 99 100 5050     （个 )，其中写有“心”字的正方体有 100个， 抽到带“心”字正方体的概率是 100 2 5050 101  ， 故选： D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分． 11．（3分）分解因式 3 4a a 的结果是 ( 2)( 2)a a a  ． 【解答】解：原式 2( 4)a a  ( 2)( 2)a a a   ． 故答案为： ( 2)( 2)a a a  ． 12．（3分）已知三角形的两边长分别为 3和 6，则这个三角形的第三边长可以是 4 （写 出一个即可）． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 第三边应大于 6 3 3  ，而小于 6 3 9  ， 故第三边的长度3 9x  ，这个三角形的第三边长可以，4． 故答案为：4． 13．（3分）已如 3m n   ，则分式 2 2 ( 2 )m n m n n m m      的值是 1 3 ． 【解答】解：原式 2 2( 2 )m n m mn n m m       2( ) m n m m m n      1 m n    ， 当 3m n   时， 原式 1 3  故答案为： 1 3 14．（3分）如图，小明在距离地面 30米的 P 处测得 A处的俯角为15，B 处的俯角为 60．若 斜面坡度为1: 3 ，则斜坡 AB的长是 20 3 米． 【解答】解：如图所示：过点 A作 AF BC 于点 F ， 斜面坡度为1: 3 ， 1 3tan 33 AFABF BF      ， 30ABF  ， 在 P 处进行观测，测得山坡上 A处的俯角为15，山脚 B 处的俯角为 60， 30HPB  ， 45APB  ， 60HBP  ， 90PBA  ， 45BAP  ， PB AB  ， 30PH m ， 30 3sin 60 2 PH PB PB     ， 解得： 20 3PB  ， 故 20 3( )AB m ， 答：斜坡 AB的长是 20 3m， 故答案为： 20 3． 15．（3分）如图，在四边形 ABCD中，以 AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与 BD相 交于点 E ， 2CD CE CA  ，分别延长 AB，DC相交于点 P ，PB BO ， 2 2CD  ．则 BO 的长是 4 ． 【解答】解：连结OC，如图， 2CD CE CA  ，  CD CA CE DC  ， 而 ACD DCE  ， CAD CDE ∽ ， CAD CDE  ， CAD CBD  ， CDB CBD  ， BC DC  ； 设 O 的半径为 r， CD CB ，  CD CB ， BOC BAD  ， / /OC AD ，  2 2PC PO r CD OA r    ， 2 4 2PC CD   ， PCB PAD  ， CPB APD  ， PCB PAD ∽ ，  PC PB PA PD  ，即 4 2 3 6 2 r r  ， 4r  ， 4OB  ， 故答案为 4． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分． 16．（6分）先化简，再求值： ( 1)( 1) (2 )x x x x    ，其中 1 2 x  ． 【解答】解：原式 2 21 2x x x    2 1x  ， 当 1 2 x  时， 原式 12 1 0 2     ． 17．（7分）某校举行了“防溺水”知识竞赛．八年级两个班各选派 10名同学参加预赛，依 据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图（如图所示）． 班级 八（1）班 八（2）班 最高分 100 99 众数 a 98 中位数 96 b 平均数 c 94.8 （1）统计表中， a  96 ，b  ， c  ； （2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛， 另外两个名额在成绩为 98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率． 【解答】解：（1）八（1）班的成绩为：88、89、92、92、96、96、96、98、98、100， 八（2）班成绩为 89、90、91、93、95、97、98、98、98、99， 所以 96a  、 1 (88 89 92 92 96 96 96 98 98 100) 94.5 10 c             ， 95 97 96 2 b    ， 故答案为：96、96、94.5； （2）设（1）班学生为 1A， 2A ，（2）班学生为 1B ， 2B ， 3B ， 一共有 20种等可能结果，其中 2人来自不同班级共有 12种， 所以这两个人来自不同班级的概率是 12 3 20 5  ． 18．（7分）如图，在 ABC 中， AB AC ，点 P 在 BC上． （1）求作： PCD ，使点 D在 AC上，且 PCD ABP ∽ ；（要求：尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 2APC ABC   ．求证： / /PD AB． 【解答】解：（1）如图：作出 APD ABP   ，即可得到 PCD ABP ∽ ； （2）证明：如图， 2APC ABC   ， APD ABC  ， DPC ABC  / /PD AB ． 19．（8分）在 ABC 中， BC边的长为 x， BC边上的高为 y， ABC 的面积为 2． （1） y关于 x的函数关系式是 4y x  ， x的取值范围是 ； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）将直线 3y x   向上平移 ( 0)a a  个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点， 请求出此时 a的值． 【解答】解：（1）在 ABC 中， BC边的长为 x， BC边上的高为 y， ABC 的面积为 2，  1 2 2 xy  ， 4xy  ， y 关于 x的函数关系式是 4y x  ， x的取值范围为 0x  ， 故答案为： 4y x  ， 0x  ； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示； （3）将直线 3y x   向上平移 ( 0)a a  个单位长度后解析式为 3y x a    ， 解 3 4 y x a y x        ，整理得， 2 (3 ) 4 0x a x    ， 平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点， △ 2(3 ) 16 0a    ， 解得 1a  ， 7a   （不合题意舍去）， 故此时 a的值为 1． 20．（8分）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与 3辆小货 车一次可以运输 600箱；5辆大货车与 6辆小货车一次可以运输 1350箱． （1）求 1辆大货车和 1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共 12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用 5000元，每辆小货车 一次需费用 3000元．若运输物资不少于 1500箱，且总费用小于 54000元．请你列出所有运 输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？ 【解答】解：（1）设 1辆大货车一次运输 x箱物资，1辆小货车一次运输 y箱物资， 由题意可得： 2 3 600 5 6 1350 x y x y      ， 解得： 150 100 x y    ， 答：1辆大货车一次运输 150箱物资，1辆小货车一次运输 100箱物资， （2）设有 a辆大货车， (12 )a 辆小货车， 由题意可得： 150 100(12 ) 1500 5000 3000(12 ) 54000 a a a a       … ， 6 9a „ ， 整数 6a  ，7，8； 当有 6辆大货车，6辆小货车时，费用 5000 6 3000 6 48000     元， 当有 7辆大货车，5辆小货车时，费用 5000 7 3000 5 50000     元， 当有 8辆大货车，4辆小货车时，费用 5000 8 3000 4 52000     元， 48000 50000 52000  ， 当有 6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为 48000元． 21．（9分）我们把方程 2 2 2( ) ( )x m y n r    称为圆心为 ( , )m n 、半径长为 r 的圆的标准方 程．例如，圆心为 (1, 2) 、半径长为 3的圆的标准方程是 2 2( 1) ( 2) 9x y    ．在平面直角 坐标系中， C 与轴交于点 A， B ，且点 B 的坐标为 (8,0)，与 y轴相切于点 (0,4)D ，过点 A， B ， D的抛物线的顶点为 E ． （1）求 C 的标准方程； （2）试判断直线 AE与 C 的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM AB 于M ．设 C 的半径为 r ． 与 y轴相切于点 (0,4)D ， CD OD  ， 90CDO CMO DOM     ， 四边形ODCM 是矩形， 4CM OD   ，CD OM r  ， (8,0)B ， 8OB  ， 8BM r   ， 在Rt CMB 中， 2 2 2BC CM BM  ， 2 2 24 (8 )r r    ， 解得 5r  ， (5, 4)C ， C 的标准方程为 2 2( 5) ( 4) 25x y    ． （2）结论： AE是 C 的切线． 理由：连接 AC，CE． CM AB ， 3AM BM   ， (2,0)A ， (8,0)B 设抛物线的解析式为 ( 2)( 8)y a x x   ， 把 (0,4)D 代入 ( 2)( 8)y a x x   ，可得 1 4 a  ， 抛物线的解析式为 2 21 1 5 1 9( 2)( 8) 4 ( 5) 4 4 2 4 4 y x x x x x         ， 抛物线的顶点 9(5, ) 4 E  ， 2 29 153 ( ) 4 4 AE    ， 9 254 4 4 CE    ， 5AC  ， 2 2 2EC AC AE   ， 90CAE  ， CA AE  ， AE 是 C 的切线． 22．（10分）如图，在菱形 ABCD中，AB AC ，点 E ，F ，G分别在边 BC，CD上，BE CG ， AF 平分 EAG ，点 H 是线段 AF 上一动点（与点 A不重合）． （1）求证： AEH AGH   ； （2）当 12AB  ， 4BE  时． ①求 DGH 周长的最小值； ②若点O是 AC的中点，是否存在直线OH 将 ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角 形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出 AH AF 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：四边形 ABCD是菱形， AB BC  ， AB AC ， AB BC AC   ， ABC 是等边三角形， 60ABC  ， 120BCD  ， AC 是菱形 ABCD的对角线， 1 60 2 ACD BCD ABC       ， BE CG ， ( )ABE ACG SAS   ， AE AG  ， AF 平分 EAG ， EAF GAF  ， AH AH ， ( )AEH AGH SAS   ； （2）①如图 1， 过点 D作DM BC 交 BC的延长线于M ，连接 DE ， 12AB  ， 4BE  ， 4CG  ， 12 4 8CE DG     ， 由（1）知， AEH AGH   ， EH HG  ， 8DGHl DH GH DG DH HE       ， 要是 AEH 的周长最小，则 EH DH 最小，最小为 DE ， 在Rt DCM 中， 180 120 60DCM      ， 12CD AB  ， 6CM  ， 3 6 3DM CM   ， 在Rt DME 中， 14EM CE CM   ， 根据勾股定理得， 2 2 2 214 (6 3) 4 19DE EM DM     ， DGH 周长的最小值为 4 19 8 ； ②Ⅰ、当OH 与线段 AE相交时，交点记作点 N，如图 2，连接CN ， 点O是 AC的中点， 1 2AON CON ACNS S S     ， 三角形的面积与四边形的面积比为1:3，  1 4 AON AEC S S    ， CEN ACNS S   ， AN EN  ， 点O是 AC的中点， / /ON CE ，  1 2 AH AF  ； Ⅱ、当OH 与线段CE相交时，交点记作Q，如图 3， 连接 AQ， FG，点O是 AC的中点， 1 2AOQ COQ ACQS S S     ， 三角形的面积与四边形的面积比为1:3，  1 4 COQ ACE S S    ， AEQ ACQS S   ， 1 1 (12 4) 4 2 2 CQ EQ CE      ， 点O是 AC的中点， / /OQ AE ，设 FQ x ， 4EF EQ FQ x     ， 4CF CQ FQ x    ， 由（1）知， AE AG ， AF 是 EAG 的角平分线， EAF GAF  ， AF AF ， ( )AEF AGF SAS   ， 4FG EF x    ， 过点G作GP BC 交 BC的延长线于 P ， 在Rt CPG 中， 60PCG  ， 4CG  ， 1 2 2 CP CG   ， 3 2 3PG CP  ， 4 2 6PF CF CP x x        ， 在Rt FPG 中，根据勾股定理得， 2 2 2PF PG FG  ， 2 2 2(6 ) (2 3) (4 )x x     ， 8 5 x  ， 8 5 FQ  ， 8 284 5 5 EF    ， / /OQ AE ，  4 5 28 7 5 AH EQ AF EF    ， 即 AH AF 的值为 1 2 或 5 7 ．