2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷

2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷

2020 年黑龙江省绥化市中考数学试卷 一、单项选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）请在答题卡上用 2B 铅笔将你 的选项所对应的大写字母涂黑 1．（3 分）化简| 2 3| 的结果正确的是 ( ) A． 2 3 B． 2 3  C． 2 3 D．3 2 2．（3 分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是 ( ) A． B． C． D． 3．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A． 2 3 6b b b B． 2 3 6( )a a C． 2a a a   D． 3 2 6( )a a a 4．（3 分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 5．（3 分）下列等式成立的是 ( ) A． 16 4  B． 3 8 2  C． 1a aa    D． 64 8   6．（3 分）“十  一”国庆期间，学校组织 466 名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了 49 座和 37 座两种客车共 10 辆，刚好坐满，设 49 座客车 x 辆，37 座客车 y 辆．根据题意， 得 ( ) A． 10 49 37 466 x y x y      B． 10 37 49 466 x y x y      C． 466 49 37 10 x y x y      D． 466 37 49 10 x y x y      7．（3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，E 、F 分别是 BC 、CD 两边上的点，不能保证 ABE 和 ADF 一定全等的条件是 ( ) A． BAF DAE   B． EC FC C． AE AF D． BE DF 8．（3 分）在一个不透明的袋子中装有黑球 m 个、白球 n 个、红球 3 个，除颜色外无其它差 别，任意摸出一个球是红球的概率是 ( ) A． 3 m n B． 3 3m n  C． 3 m n m n    D． 3 m n 9．（3 分）将抛物线 22( 3) 2y x   向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得 到抛物线的解析式是 ( ) A． 22( 6)y x  B． 22( 6) 4y x   C． 22y x D． 22 4y x  10．（3 分）如图，在 Rt ABC 中， CD 为斜边 AB 的中线，过点 D 作 DE AC 于点 E ，延 长 DE 至点 F ，使 EF DE ，连 接 AF ， CF ，点 G 在线 段 CF 上， 连接 EG ，且 180CDE EGC     ， 2FG  ， 3GC  ．下列结论： ① 1 2DE BC ； ②四边形 DBCF 是平行四边形； ③ EF EG ； ④ 2 5BC  ． 其中正确结论的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本题共 11 个小题，每小题 3 分，共 33 分）请在答题卡上把你的答案写在相 对应的题号后的指定区域内 11．（3 分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间 2020 年 6 月 20 日，全球新冠肺炎累计 确诊病例超过 8500000 例，数字 8500000 用科学记数法表示为 ． 12．（3 分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为 90 分，方差分别为 2 0.70S 甲 ， 2 0.73S 乙 ，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学． 13．（3 分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶 2 小时后，天空突然下起大 雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程 ( )y km 与行驶时间 ( )x h 的函数关系如图所示，2 小 时后货车的速度是 /km h ． 14．（3 分）因式分解： 3 2m n m  ． 15．（3 分）已知圆锥的底面圆的半径是 2.5，母线长是 9，其侧面展开图的圆心角是 度． 16．（3 分）在 Rt ABC 中， 90C  ，若 2AB AC  ， 8BC  ，则 AB 的长是 ． 17．（3 分）在平面直角坐标系中， ABC 和△ 1 1 1A B C 的相似比等于 1 2 ，并且是关于原点 O 的 位似图形，若点 A 的坐标为 (2,4) ，则其对应点 1A 的坐标是 ． 18．（3 分）在函数 3 1 51 xy xx    中，自变量 x 的取值范围是 ． 19．（3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于 O ，点 P 为 DE 上一点（点 P 与点 D ，点 E 不 重合），连接 PC 、 PD ， DG PC ，垂足为 G ， PDG 等于 度． 20．（3 分）某工厂计划加工一批零件 240 个，实际每天加工零件的个数是原计划的 1.5 倍， 结果比原计划少用 2 天．设原计划每天加工零件 x 个，可列方程 ． 21．（3 分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图 1 中有 2 个点，图 2 中有 7 个点，图 3 中有 14 个点， ，按此规律，第 10 个图中黑点的个数是 ． 三、解答题（本题共 8 个小题，共 57 分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的 指定区域内 22．（6 分）（1）如图，已知线段 AB 和点 O ，利用直尺和圆规作 ABC ，使点 O 是 ABC 的 内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的 ABC 中，若 90C  ， 6AC  ， 8BC  ，则 ABC 的内切圆半径是 ． 23．（6 分）如图，热气球位于观测塔 P 的北偏西 50 方向，距离观测塔100km 的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔 P 的南偏西 37 方向的 B 处，这时， B 处距 离观测塔 P 有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37 0.60  ，cos37 0.80  ，tan37 0.75  ， sin50 0.77  ， cos50 0.64  ， tan50 1.19  ． ) 24．（6 分）如图，在边长均为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A ，点 B ，点 O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点 A 关于点 O 的对称点 1A ； （2）连接 1A B ，将线段 1A B 绕点 1A 顺时针旋转 90 得点 B 对应点 1B ，画出旋转后的线段 1 1A B ； （3）连接 1AB ，求出四边形 1 1ABA B 的面积． 25．（6 分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400 米跑”的训练情况，体育教师在 2019 年1 5 月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为： A ， B ，C ， D 四 个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题： （1） 月份测试的学生人数最少， 月份测试的学生中男生、女生人数相等； （2）求扇形统计图中 D 等级人数占 5 月份测试人数的百分比； （3）若该校 2019 年 5 月份九年级在校学生有 600 名，请你估计出测试成绩是 A 等级的学 生人数． 26．（7 分）如图， ABC 内接于 O ，CD 是直径， CBG BAC   ，CD 与 AB 相交于点 E ， 过点 E 作 EF BC ，垂足为 F ，过点 O 作 OH AC ，垂足为 H ，连接 BD 、 OA ． （1）求证：直线 BG 与 O 相切； （2）若 5 4 BE OD  ，求 EF AC 的值． 27．（7 分）如图，在矩形 OABC 中， 2AB  ， 4BC  ，点 D 是边 AB 的中点，反比例函数 1 ( 0)ky xx   的图象经过点 D ，交 BC 边于点 E ，直线 DE 的解析式为 2 ( 0)y mx n m   ． （1）求反比例函数 1 ( 0)ky xx   的解析式和直线 DE 的解析式； （2）在 y 轴上找一点 P ，使 PDE 的周长最小，求出此时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下， PDE 的周长最小值是 ． 28．（9 分）如图，在正方形 ABCD 中， 4AB  ，点G 在边 BC 上，连接 AG ，作 DE AG 于点 E ， BF AG 于点 F ，连接 BE 、 DF ，设 EDF   ， EBF   ， BG kBC  ． （1）求证： AE BF ； （2）求证： tan tank   ； （3）若点G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止，求点 E ， F 所经过的路径与边 AB 围成的图 形的面积． 29．（10 分）如图 1，抛物线 21 ( 2) 62y x    与抛物线 2 1 1 22y x tx t     相交 y 轴于点 C ， 抛物线 1y 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 B 在点 A 的右侧），直线 2 3y kx  交 x 轴负半轴于点 N ，交 y 轴于点 M ，且 OC ON ． （1）求抛物线 1y 的解析式与 k 的值； （2）抛物线 1y 的对称轴交 x 轴于点 D ，连接 AC ，在 x 轴上方的对称轴上找一点 E ，使以 点 A ， D ， E 为顶点的三角形与 AOC 相似，求出 DE 的长； （3）如图 2，过抛物线 1y 上的动点 G 作 GH x 轴于点 H ，交直线 2 3y kx  于点 Q ，若 点 Q 是点 Q 关于直线 MG 的对称点，是否存在点 G（不与点 C 重合），使点 Q 落在 y 轴上？ 若存在，请直接写出点 G 的横坐标，若不存在，请说明理由． 2020 年黑龙江省绥化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）请在答题卡上用 2B 铅笔将你 的选项所对应的大写字母涂黑 1．（3 分）化简| 2 3| 的结果正确的是 ( ) A． 2 3 B． 2 3  C． 2 3 D．3 2 【解答】解： 2 3 0  ， | 2 3| ( 2 3) 3 2       ． 故选： D ． 2．（3 分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层是一个长度较小的矩形． 故选： C ． 3．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A． 2 3 6b b b B． 2 3 6( )a a C． 2a a a   D． 3 2 6( )a a a 【解答】解： A ． 2 3 5b b b ，故本选项不合题意； B ． 2 3 6( )a a ，故本选项符合题意； C ． 2a a a    ，故本选项不合题意； D ． 3 2 7( )a a a ，故本选项不合题意． 故选： B ． 4．（3 分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： C ． 5．（3 分）下列等式成立的是 ( ) A． 16 4  B． 3 8 2  C． 1a aa    D． 64 8   【解答】解： . 16 4A  ，故本选项不合题意； 3. 8 2B    ，故本选项不合题意； 1.C a aa    ，故本选项不合题意； . 64 8D    ，故本选项符合题意． 故选： D ． 6．（3 分）“十  一”国庆期间，学校组织 466 名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了 49 座和 37 座两种客车共 10 辆，刚好坐满，设 49 座客车 x 辆，37 座客车 y 辆．根据题意， 得 ( ) A． 10 49 37 466 x y x y      B． 10 37 49 466 x y x y      C． 466 49 37 10 x y x y      D． 466 37 49 10 x y x y      【解答】解：依题意，得： 10 49 37 466 x y x y      ． 故选： A ． 7．（3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，E 、F 分别是 BC 、CD 两边上的点，不能保证 ABE 和 ADF 一定全等的条件是 ( ) A． BAF DAE   B． EC FC C． AE AF D． BE DF 【解答】解： A ．四边形 ABCD 是菱形， AB AD  ， B D   ， BAF DAE   ， BAE CAF   ， ( )ABE ADF AAS   ， 故选项 A 不符合题意； ..B 四边形 ABCD 是菱形， AB AD  ， B D   ， BC BD ， EC FC ， BE DF  ， ( )ABE ADF SAS   ， 故选项 B 不符合题意； ..C 四边形 ABCD 是菱形， AB AD  ， B D   ， AE AF ， ABE 和 ADF 只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等， 故选项 C 符合题意； ..D 四边形 ABCD 是菱形， AB AD  ， B D   ， BE DE ， ( )ABE ADF SAS   ， 故选项 D 不符合题意． 故选： C ． 8．（3 分）在一个不透明的袋子中装有黑球 m 个、白球 n 个、红球 3 个，除颜色外无其它差 别，任意摸出一个球是红球的概率是 ( ) A． 3 m n B． 3 3m n  C． 3 m n m n    D． 3 m n 【解答】解：袋子中一共有 ( 3)m n  个小球，其中红球有 3 个， 任意摸出一个球是红球的概率是 3 3m n  ， 故选： B ． 9．（3 分）将抛物线 22( 3) 2y x   向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得 到抛物线的解析式是 ( ) A． 22( 6)y x  B． 22( 6) 4y x   C． 22y x D． 22 4y x  【解答】解：将将抛物线 22( 3) 2y x   向左平移 3 个单位长度所得抛物线解析式为： 22( 3 3) 2y x    ，即 22 2y x  ； 再向下平移 2 个单位为： 22 2 2y x   ，即 22y x ． 故选： C ． 10．（3 分）如图，在 Rt ABC 中， CD 为斜边 AB 的中线，过点 D 作 DE AC 于点 E ，延 长 DE 至点 F ，使 EF DE ，连 接 AF ， CF ，点 G 在线 段 CF 上， 连接 EG ，且 180CDE EGC     ， 2FG  ， 3GC  ．下列结论： ① 1 2DE BC ； ②四边形 DBCF 是平行四边形； ③ EF EG ； ④ 2 5BC  ． 其中正确结论的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解； CD 为斜边 AB 的中线， AD BD  ， 90ACB   ， BC AC  ， DE AC ， / /DE BC ， DE 是 ABC 的中位线， AE CE  ， 1 2DE BC ；①正确； EF DE ， DF BC  ， 四边形 DBCF 是平行四边形；②正确； / /CF BD ， CF BD ， 90ACB   ， CD为斜边 AB 的中线， 1 2CD AB BD   ， CF CD  ， CFE CDE   ， 180CDE EGC     ， 180EGF EGC     ， CDE EGF   ， CFE EGF   ， EF EG  ，③正确； 作 EH FG 于 H ，如图所示： 则 90EHF CHE    ， 90HEF EFH HEF CEH         ， 1 12FH GH FG   ， EFH CEH   ， 3 1 4CH GC GH     ， EFH CEH ∽ ，  EH FH CH EH  ， 2 4 1 4EH CH FH      ， 2EH  ， 2 2 2 21 2 5EF FH EH      ， 2 2 2 5BC DE EF    ，④正确； 故选： D ． 二、填空题（本题共 11 个小题，每小题 3 分，共 33 分）请在答题卡上把你的答案写在相 对应的题号后的指定区域内 11．（3 分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间 2020 年 6 月 20 日，全球新冠肺炎累计 确诊病例超过 8500000 例，数字 8500000 用科学记数法表示为 68.5 10 ． 【解答】解：数字 8500000 用科学记数法表示为 68.5 10 ， 故答案为： 68.5 10 ． 12．（3 分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为 90 分，方差分别为 2 0.70S 甲 ， 2 0.73S 乙 ，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 甲 同学． 【解答】解： 2 0.70S  甲 ， 2 0.73S 乙 ， 2 2S S  乙甲 ， 甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学， 故答案为：甲． 13．（3 分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶 2 小时后，天空突然下起大 雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程 ( )y km 与行驶时间 ( )x h 的函数关系如图所示，2 小 时后货车的速度是 65 /km h ． 【解答】解：由图象可得：货车行驶的路程 ( )y km 与行驶时间 ( )x h 的函数关系为 78 ( 2)y x x „ ， 和 2x  时设其解析式为： y kx b  ， 把 (2,156) 和 (3,221) 代入解析式，可得： 2 156 3 221 k b k b      ， 解得： 65 26 k b    ， 所以解析式为： 65 26( 2)y x x   ， 所以 2 小时后货车的速度是 65 /km h ， 故答案为：65． 14．（3 分）因式分解： 3 2m n m  ( 1)( 1)m mn mn  ． 【解答】解： 3 2 2 2( 1)m n m m m n   ( 1)( 1)m mn mn   ． 故答案为： ( 1)( 1)m mn mn  ． 15．（3 分）已知圆锥的底面圆的半径是 2.5，母线长是 9，其侧面展开图的圆心角是 100 度． 【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 n ， 根据题意得 92 2.5 180 n  ，解得 100n  ， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100 ． 故答案为：100． 16．（3 分）在 Rt ABC 中， 90C  ，若 2AB AC  ， 8BC  ，则 AB 的长是 17 ． 【解答】解：在 Rt ABC 中， 90C  ， 2AB AC  ， 8BC  ， 2 2 2AC BC AB   ， 即 2 2 2( 2) 8AB AB   ， 解得 17AB  ． 故答案为：17． 17．（3 分）在平面直角坐标系中， ABC 和△ 1 1 1A B C 的相似比等于 1 2 ，并且是关于原点 O 的 位似图形，若点 A 的坐标为 (2,4) ，则其对应点 1A 的坐标是 (4,8) 或 ( 4, 8)  ． 【解答】解： ABC 和△ 1 1 1A B C 的相似比等于 1 2 ，并且是关于原点 O 的位似图形， 而点 A 的坐标为 (2,4) ， 点 A 对应点 1A 的坐标为 (2 2,2 4)  或 ( 2 2, 2 4)    ， 即 (4,8) 或 ( 4, 8)  ． 故答案为 (4,8) 或 ( 4, 8)  ． 18．（3 分）在函数 3 1 51 xy xx    中，自变量 x 的取值范围是 3x… 且 5x  ． 【解答】解：由题可得， 3 0 1 0 5 0 x x x        … ， 解得 3 1 5 x x x       … ， 自变量 x 的取值范围是 3x… 且 5x  ， 故答案为： 3x… 且 5x  ． 19．（3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于 O ，点 P 为 DE 上一点（点 P 与点 D ，点 E 不 重合），连接 PC 、 PD ， DG PC ，垂足为 G ， PDG 等于 54 度． 【解答】解：连接 OC 、 OD ，如图所示： ABCDE 是正五边形， 360 725COD    ， 1 362CPD COD    ， DG PC ， 90PGD   ， 90 90 36 54PDG CPD           ， 故答案为：54． 20．（3 分）某工厂计划加工一批零件 240 个，实际每天加工零件的个数是原计划的 1.5 倍， 结果比原计划少用 2 天．设原计划每天加工零件 x 个，可列方程 240 240 21.5x x   ． 【解答】解：设原计划每天加工零件 x 个，则实际每天加工零件1.5x 个， 依题意，得： 240 240 21.5x x   ． 故答案为： 240 240 21.5x x   ． 21．（3 分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图 1 中有 2 个点，图 2 中有 7 个点，图 3 中有 14 个点， ，按此规律，第 10 个图中黑点的个数是 119 ． 【解答】解：图 1 中黑点的个数 2 1 (1 1) 2 (1 1) 2       ， 图 2 中黑点的个数 2 2 (1 2) 2 (2 1) 7       ， 图 3 中黑点的个数 2 3 (1 3) 2 (3 1) 14       ，  第 n 个图形中黑点的个数为 22 ( 1) 2 ( 1) 2 1n n n n n       ， 第 10 个图形中黑点的个数为 210 2 10 1 119    ． 故答案为：119． 三、解答题（本题共 8 个小题，共 57 分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的 指定区域内 22．（6 分）（1）如图，已知线段 AB 和点 O ，利用直尺和圆规作 ABC ，使点 O 是 ABC 的 内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的 ABC 中，若 90C  ， 6AC  ， 8BC  ，则 ABC 的内切圆半径是 2 ． 【解答】解：（1）如图， ABC 即为所求． （2）设内切圆的半径为 r ． 90C   ， 6AC  ， 8BC  ， 2 2 2 26 8 10AB AC BC      ，  1 1 ( )2 2AC BC r AB AC BC      ， 48 224r   ， 故答案为 2． 23．（6 分）如图，热气球位于观测塔 P 的北偏西 50 方向，距离观测塔100km 的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔 P 的南偏西 37 方向的 B 处，这时， B 处距 离观测塔 P 有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37 0.60  ，cos37 0.80  ，tan37 0.75  ， sin50 0.77  ， cos50 0.64  ， tan50 1.19  ． ) 【解答】解：由已知得， 50A   ， 37B  ， 100PA  ， 在 Rt PAC 中， sin PCA PA  ， sin50 77PC PA    ， 在 Rt PBC 中， sin PCB PB  ， 128( )sin37 PCPB km   ， 答：这时， B 处距离观测塔 P 有128km ． 24．（6 分）如图，在边长均为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A ，点 B ，点 O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点 A 关于点 O 的对称点 1A ； （2）连接 1A B ，将线段 1A B 绕点 1A 顺时针旋转 90 得点 B 对应点 1B ，画出旋转后的线段 1 1A B ； （3）连接 1AB ，求出四边形 1 1ABA B 的面积． 【解答】解：（1）如图所示，点 1A 即为所求； （2）如图所示，线段 1 1A B 即为所求； （3）如图，连接 1BB ，过点 A 作 1AE BB ，过点 1A 作 1 1A F BB ，则 四边形 1 1ABA B 的面积 1 1 1 1 18 2 8 4 242 2ABB A BBS S          ． 25．（6 分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400 米跑”的训练情况，体育教师在 2019 年1 5 月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为： A ， B ，C ， D 四 个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题： （1） 1 月份测试的学生人数最少， 月份测试的学生中男生、女生人数相等； （2）求扇形统计图中 D 等级人数占 5 月份测试人数的百分比； （3）若该校 2019 年 5 月份九年级在校学生有 600 名，请你估计出测试成绩是 A 等级的学 生人数． 【解答】解：（1）根据折线统计图给出的数据可得：1 月份测试的学生人数最少，4 月份测 试的学生中男生、女生人数相等； 故答案为：1，4； （2） D 等级人数占 5 月份测试人数的百分比是： 721 25% 40% 15%360     ； （3）根据题意得： 600 25% 150  （名 ) ， 答：测试成绩是 A 等级的学生人数有 150 名． 26．（7 分）如图， ABC 内接于 O ，CD 是直径， CBG BAC   ，CD 与 AB 相交于点 E ， 过点 E 作 EF BC ，垂足为 F ，过点 O 作 OH AC ，垂足为 H ，连接 BD 、 OA ． （1）求证：直线 BG 与 O 相切； （2）若 5 4 BE OD  ，求 EF AC 的值． 【解答】解：（1）连接 OB ，如图， CD 是 O 的直径， 90DBC   ， 90D BCD     ， OB OC ， OCB OBC   ， 90D OBC    ， D BAC   ， BAC CBG   ， 90CBG OBC     ， 即 90OBG   ， 直线 BG 与 O 相切； （2） OA OC ，OH AC ， 1 2COH COA   ， 1 2CH CA ， 1 2ABC AOC   ， EBF COH   ， EF BC ， OH AC ， 90BEF OHC     ， BEF COH ∽ ，  EF BE CH OC  ，  5 4 BE OD  ， OC OD ，  5 4 EF CH  ， 1 2CH AC ，  5 8 EF AC  ， 27．（7 分）如图，在矩形 OABC 中， 2AB  ， 4BC  ，点 D 是边 AB 的中点，反比例函数 1 ( 0)ky xx   的图象经过点 D ，交 BC 边于点 E ，直线 DE 的解析式为 2 ( 0)y mx n m   ． （1）求反比例函数 1 ( 0)ky xx   的解析式和直线 DE 的解析式； （2）在 y 轴上找一点 P ，使 PDE 的周长最小，求出此时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下， PDE 的周长最小值是 5 13 ． 【解答】解：（1）点 D 是边 AB 的中点， 2AB  ， 1AD  ， 四边形 OABC 是矩形， 4BC  ， (1,4)D ， 反比例函数 1 ( 0)ky xx   的图象经过点 D ， 4k  ， 反比例函数的解析式为 4 ( 0)y xx   ， 当 2x  时， 2y  ， (2,2)E ， 把 (1,4)D 和 (2,2)E 代入 2 ( 0)y mx n m   得， 2 2 4 m n m n      ，  2 6 m n     ， 直线 DE 的解析式为 2 6y x   ； （2）作点 D 关于 y 轴的对称点 D ，连接 D E 交 y 轴于 P ，连接 PD ， 此时， PDE 的周长最小， D 点的坐标为 (1,4) ， D  的坐标为 ( 1,4) ， 设直线 D E 的解析式为 y ax b  ，  4 2 2 a b a b       ， 解得： 2 3 10 3 a b      ， 直线 D E 的解析式为 2 10 3 3y x   ， 令 0x  ，得 10 3y  ， 点 P 的坐标为 10(0, )3 ； （3） (1,4)D ， (2,2)E ， 2BE  ， 1BD  ， 2 21 2 5DE    ， 由（2）知， D 的坐标为 ( 1,4) ， 3BD   ， 2 22 3 13D E     ， PDE 的周长最小值 5 13DE D E     ， 故答案为： 5 13 ． 28．（9 分）如图，在正方形 ABCD 中， 4AB  ，点G 在边 BC 上，连接 AG ，作 DE AG 于点 E ， BF AG 于点 F ，连接 BE 、 DF ，设 EDF   ， EBF   ， BG kBC  ． （1）求证： AE BF ； （2）求证： tan tank   ； （3）若点G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止，求点 E ， F 所经过的路径与边 AB 围成的图 形的面积． 【解答】解：（1）证明：在正方形 ABCD 中， AB BC AD  ， 90BAD ABC     ， DE AG ， BF AG ， 90AED BFA    ， 90ADE DAE     ， 90BAF DAE     ， ADE BAF   ， ( )ABF DAE AAS   ， AE BF  ； （2）在 Rt DEF 和 Rt EFB 中， tan EF DE   ， tan EF BF   ，  tan tan EF BF BF DE EF DE     ． 由①可知 ADE BAG   ， 90AED GBA     ， AED GBA ∽ ，  AE DE GB AB  ， 由①可知， AE BF ，  BF DE GB AB  ，  BF GB DE AB  ，  BG kBC  ， AB BC ，  BF BG BG kDE AB BC    ，  tan tan k   ． tan tank   ． （3） DE AG ， BF AG ， 90AED BFA    ， 当点 G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止时，点 E 经过的路径是以 AD 为直径，圆心角为 90 的圆弧， 同理可得点 F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点 O ，如图． 4AB AD  ， 所围成的图形的面积为 1 4 4 44AOBS S     ． 29．（10 分）如图 1，抛物线 21 ( 2) 62y x    与抛物线 2 1 1 22y x tx t     相交 y 轴于点 C ， 抛物线 1y 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 B 在点 A 的右侧），直线 2 3y kx  交 x 轴负半轴于点 N ，交 y 轴于点 M ，且 OC ON ． （1）求抛物线 1y 的解析式与 k 的值； （2）抛物线 1y 的对称轴交 x 轴于点 D ，连接 AC ，在 x 轴上方的对称轴上找一点 E ，使以 点 A ， D ， E 为顶点的三角形与 AOC 相似，求出 DE 的长； （3）如图 2，过抛物线 1y 上的动点 G 作 GH x 轴于点 H ，交直线 2 3y kx  于点 Q ，若 点 Q 是点 Q 关于直线 MG 的对称点，是否存在点 G（不与点 C 重合），使点 Q 落在 y 轴上？ 若存在，请直接写出点 G 的横坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当 0x  时，得 21 ( 2) 6 2 6 42y x        ， (0,4)C ， 把 (0,4)C 代入 2 1 1 22y x tx t     得， 2 4t   ， 6t  ， 2 1 3 4y x x     ， ON OC ， ( 4,0)N  ， 把 ( 4,0)N  代入 2 3y kx  中，得 4 3 0k   ， 解得， 3 4k  ； 抛物线 1y 的解析式为 2 1 3 4y x x    ， k 的值为 3 4 ． （2）连接 AE ，如图 1， 令 0y  ，得 2 1 3 4 0y x x     ， 解得， 1x   或 4， ( 1,0)A  ， (4,0)B ， 对称轴为： 1 4 3 2 2x    ， 3(2D ， 0) ， 1OA  ， 4OC  ， 3 2OD  ， 5 2AD  ， ①当 AOC EDA ∽ 时， OA OC DE DA  ，即 1 4 5 2 DE  ， 5 8DE  ， ②当 AOC ADE ∽ 时， AO OC AD DE  ，即 1 4 5 2 DE  ， 10DE  ， 综上， 5 8DE  或 10； （3）点 G 的横坐标为 7 65 4  或 7 65 4  或 1 5 2  或 1 5 2  ． 如图，点 Q 是点 Q 关于直线 MG 的对称点，且点 Q 在 y 轴上时，由轴对称性质可知， QM Q M ， QG Q G ， Q MG QMG   ， QG x 轴， / /QG y 轴， Q MG QGM   ， QMG QGM   ， QM QG  ， QM Q M QG Q G     ， 四边形 QMQ G 为菱形， / /GQ QN ， 作 GP y 轴于点 P ，设 2( , 3 4)G a a a   ，则 3( , 3)4Q a a  ， | |PG a  ， 2 23 9| ( 3) ( 3 4) | | 1|4 4Q G GQ a a a a a           ， / /GQ QN ， GQ P NMO   ， 在 Rt NMO 中， 2 2 5MN NO MO   ， 4sin sin 5 NO PGGQ P NMO MN GQ        ，  2 | | 4 9 5| 1|4 a a a    ． 解得 1 7 65 4a  ， 2 7 65 4a  ， 3 1 5 2a  ， 4 1 5 2a  ． 经检验， 1 7 65 4a  ， 2 7 65 4a  ， 3 1 5 2a  ， 4 1 5 2a  都是所列方程的解． 综合以上可得，点 G 的横坐标为 7 65 4  或 7 65 4  或 1 5 2  或 1 5 2  ．