数学6年高考4年模拟 解析几何 圆锥曲线
第二节 圆锥曲线
第一部分 六年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010湖南文）5. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】B
2.（2010浙江理）（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题
3.（2010全国卷2理）（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴
即k=，故选B.
4.（2010陕西文）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为
（A） （B）1 （C）2 （D）4
【答案】 C
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以
法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）
所以
5.（2010辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，
则一个焦点为
一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，
，解得.
6.（2010辽宁文）（7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么
（A） （B） 8 （C） （D） 16
【答案】 B
解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则
7.（2010辽宁理） (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)
直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）
8.（2010辽宁理）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
【答案】B
【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。
【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8
9.（2010全国卷2文）（12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【解析】，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，
10.（2010浙江文）（10）设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为
（A）x±y=0 （B）x±y=0
（C）x±=0 （D）±y=0
【答案】 D
解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题
11.（2010重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
【答案】 D
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
12.（2010山东文）（9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
（A） (B)
(C) (D)
【答案】B
13.（2010四川理）（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
Þ
又e∈(0,1)
故e∈
【答案】D
14.（2010天津理）(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。
依题意知，所以双曲线的方程为
【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。
15.（2010广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】B
16.（2010福建文）11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
17.（2010全国卷1文）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
【答案】B
【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析1】.由余弦定理得
cos∠P=
4
【解析2】由焦点三角形面积公式得：
4
18.（2010全国卷1理）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
(A) (B) (C) (D)
【答案】 B
19.（2010四川文）（10）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（0，] （B）（0，] （C）[，1） （D）[，1）
【答案】D
【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
Þ
又e∈(0,1)
故e∈
20.（2010四川文）(3)抛物线的焦点到准线的距离是
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】C
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4
又交点到准线的距离就是p
21.（2010湖北文）9.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是
A.[,] B.[,3]
C.[-1,] D.[,3]
22.（2010山东理）(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为[来源:Www.ks5u.com]
（A） (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。
【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
23.（2010安徽理）5、双曲线方程为，则它的右焦点坐标为
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.
【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.
24.（2010湖北理数）9.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.
25.（2010福建理）
A． ①④ B． ②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。
【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。
26.（2010福建理）7．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
27.（2010福建理数）2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
二、填空题
1.（2010上海文）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。
【答案】y2=8x
【解析】考查抛物线定义及标准方程
定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x
2.（2010浙江理）（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。
【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题
3.（2010全国卷2理）（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．
【答案】2
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.
【解析】过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，∴M为抛物线的焦点，∴2.
4.（2010全国卷2文）(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________
【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质
设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）
5.（2010江西理）15.点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,,
6.（2010安徽文）(12)抛物线的焦点坐标是
答案：
【解析】抛物线，所以，所以焦点.
【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求，或求出后，误认为焦点，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.
7.（2010重庆文）（13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则____________ .
【答案】 2
解析：由抛物线的定义可知
故2
8.（2010重庆理）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知
中，AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
9.（2010北京文）（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
答案：()
10.（2010北京理）（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的
焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
【答案】（，0）
11..（2010天津文）（13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。
【答案】
【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
由渐近线方程可知 ①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②
又 ③
联立①②③，解得，所以双曲线的方程为
【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。
12.（2010福建文数）13． 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于 。
【答案】1
【解析】由题意知，解得b=1。
【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。
13.（2010全国卷1文数）(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段
的延长线交于点， 且，则的离心率为 .
【答案】
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【解析1】如图，,
作轴于点D1,则由，得
,所以,
即,由椭圆的第二定义得
又由,得
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入
，
14.（2010全国卷1理）
15.（2010湖北文）15.已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。
【答案】
【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为
，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
16.（2010江苏卷）6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________
【解析】考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
三、解答题
1.（2010上海文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解析：(1) ；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以D>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．
2.（2010湖南文）19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。
（I） 求考察区域边界曲线的方程：
（I） 如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
3.（2010浙江理）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（Ⅰ）解：因为直线经过，所以,得，
又因为，所以，
故直线的方程为。
（Ⅱ）解：设。
由，消去得
则由，知，
且有。
由于，
故为的中点，
由，
可知
设是的中点，则，
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
4.（2010全国卷2理）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.
【参考答案】
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.
5.（2010陕西文）20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线 立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。
6.（2010辽宁文）（20）（本小题满分12分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
（Ⅱ）设直线的方程为
联立
解得
因为
即
得
故椭圆的方程为
7.（2010辽宁理）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(I) 求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12分
8.（2010全国卷2文）（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）
（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。
【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。
（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。
（2010江西理数）21. （本小题满分12分）
设椭圆，抛物线。
（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；
（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由
。
(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有
。
由点在抛物线上，，解得：
故，得重心坐标.
由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。
9.（2010安徽文数）17、（本小题满分12分）
椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.
【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.
解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为
【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.
10.（2010重庆文数）（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值.
11.（2010浙江文）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p>0）
的焦点F在直线上。
（I）若m=2，求抛物线C的方程
（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H
求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。
12.（2010重庆理）（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）
已知以原点O为中心，
为右焦点的双曲线C的离心率。
（I） 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（II） 如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。
13.（2010北京文）（19）（本小题共14分）
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。
解：（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知
由 得
所以圆P的半径为
解得 所以点P的坐标是（0，）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以
设，则
当，即，且，取最大值2.
14.（2010北京理）（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得 .
故动点的轨迹方程为
（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积
又直线的方程为，，
点到直线的距离.
于是的面积
当时，得
又，
所以=，解得。
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即 ，解得
因为，所以
故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.
15.（2010四川理）（20）（本小题满分12分）
已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.
解：(1)设P(x,y)，则
化简得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线x2－=1联立消去y得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知3－k2≠0且△＞0
设B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝
因为x1、x2≠－1
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)
因此M点的坐标为()
,同理可得
因此
＝
＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，
同理可得
因此＝0
综上＝0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分
16.（2010天津文）（21）（本小题满分14分）
已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.
解方程组得a=2，b=1.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.
（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
由，得。
（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。
令，解得。
由，，
，
整理得。故。所以。
综上，或
17.（2010天津理）（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分
（1）解：由，得，再由，得
由题意可知，
解方程组 得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去Y并整理，得
由得
设线段AB是中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由
整理得
综上
18.（2010广东理） 21．（本小题满分14分）
设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.
当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.
（2）当点C(x, y) 同时满足①P+P= P，②P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。
19.（2010广东理）20．（本小题满分为14分）
一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，
是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。
故，即。
（2）设，则由知，。
将代入得
，即，
由与E只有一个交点知，，即
。
同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而，即。
20.（2010广东文）21.（本小题满分14分）
已知曲线,点是曲线上的点，
21.（2010福建文）19．（本小题满分12分）
已知抛物线C：过点A （1 , -2）。
（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。
22.（2010全国卷1理）（21）(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程 .
23.（2010湖北文）20.（本小题满分13分）
已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。
（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
24.（2010山东理）（21）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
。
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，
25.（2010湖南理）19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km
的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域。
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
化
融
区
域
P3(8,6)
已
冰
B（4，0）
A（-4,0）
x
（，-1）P1
26.（2010湖北理）19(本小题满分12分)
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都
是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
27.（2010安徽理数）19、（本小题满分13分）
已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点
在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；
(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？
若存在，请找出；若不存在，说明理由。
28.（2010江苏卷）18、（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
联立方程组，解得：，
所以点T的坐标为。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、。
（方法一）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。
2009年高考题
一、选择题
1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.2 C. D.
【解析】设切点，则切线的斜率为.
由题意有又
解得: .
【答案】C
2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( )
A. B. 2 C. D. 3
【解析】过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
【答案】A
3.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为
的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有
，因．
【答案】C
4.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于椭圆，因为，则
【答案】D
5.（2009北京理）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
设，
则，
∵，
∴
消去n,整理得关于x的方程 （1）
∵恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
【答案】A
6.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D.
【答案】D
【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
【解析】 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.
【答案】B
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.
8.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线的渐近线与圆相切，则r= ( )
A. B.2 C.3 D.6
【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=.
【答案】A
9.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k= ( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=.
【答案】D
1０.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
【解析】由得，选B.
【答案】Ｂ
11.（2009福建卷文）若双曲线的离心率为2，则等于( )
A. 2 B. C. D. 1
【解析】 由，解得a=1或
a=3，参照选项知而应选D.
【答案】D
12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( )
A. B. C. D.
【解析】依据双曲线的离心率可判断得..选B。
【答案】B
13.（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．3
【解析】由有,则,故选B.
【答案】B
14.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【解析】因为，再由有从而可得，故选B
【答案】B
15.（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B . C . D.
【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为
【答案】C
【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。
16.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )
A. B.
C. D.
【解析】易得准线方程是
所以 即所以方程是
联立可得由可解得A.
【答案】A
17.（2009四川卷文、理）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝( )
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.
∴·＝
【答案】C
18.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )
A. B. C. D.
【解析】设抛物线的准线为直线
恒过定点P .如图过
分 别作于,于, 由,
则,点B为AP的中点.连结,则,
点的横坐标为, 故点的坐标为
, 故选D.
【答案】D
19.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 ( )
m A． B. C. D.
【解析】设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角,
由双曲线的第二定义有
.
又 .
【答案】A
20.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）
【解析】由,易知焦点坐标是，故选B.
【答案】B
21.（2009宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.1
【解析】双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,
【答案】A
22.（2009陕西卷文）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以.
【答案】C
23.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. B.2 C. D.
【解析】由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C.
【答案】C
24.（2009湖北卷文）已知双曲线（b＞0）的焦点，则b=( )
A.3 B. C. D.
【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.
【答案】C
27.（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )
A. B. C. D.
【解析】由题知，
又
由A、B、M三点共线有即，故，
∴，故选择A。
【答案】A
28.（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B.3 C. D.
【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。
【解析1】直线为抛物线的准线，
由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。
【解析2】如图，由题意可知
【答案】A
二、填空题
29.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.
【解析】抛物线的方程为，
【答案】y=x
30.（2009重庆卷文、理）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【解析1】因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即
设点由焦点半径公式，得则
记得由椭圆的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率
【解析2】 由解析1知由椭圆的定义知
，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.
【答案】
31.（2009北京文、理）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .
.w【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵，
∴，
∴，
又，∴，
又由余弦定理，得，
∴，故应填.
32.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．
【解析】，，，，则所求椭圆方程为.
【答案】
33.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 .
【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.
【答案】2
34.（2009湖南卷文）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 .
【解析】,
【答案】2
35.（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________
【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。
【答案】 2
36.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4
而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
【答案】9
37.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。
【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，
得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故.
【答案】
38.(2009湖南卷理)
已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 .
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率.
【答案】
39.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.
【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，
故有b＝3。
【答案】3
三、解答题
40.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：.
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
41.（2009浙江理）（本题满分15分）
已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．
解（I）由题意得所求的椭圆方程为，
（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则，
设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．
42.（2009浙江文）（本题满分15分）
已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．
（I）求与的值；
（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．
解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义
点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得
抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得
（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。
则，当 则。
联立方程，整理得：
即：，解得或
，而，直线斜率为
，联立方程
整理得：，即：
，解得：，或
，
而抛物线在点N处切线斜率：
· MN是抛物线的切线，，
· 整理得
，解得（舍去），或，
43.（2009北京文）（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
解（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得（判别式）,
∴,
∵点在圆上，
∴，∴.
44.（2009北京理）（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，
化简得.
由及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
∵，且
，
.
∴ 的大小为.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，
化简得.由及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，
∴，∴ 的大小为.
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
45.（2009江苏卷）（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。
46.(2009山东卷理)（本小题满分14分）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N (,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N (,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”.
② 当时,.
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,
所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
47. (2009山东卷文)（本小题满分14分）
设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点
的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1
0）与x轴
的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上
异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
解 方法一
(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,
(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SB为直线的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.
由
设点
故,从而.
亦即
由得
由,可得即
经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.
方法二:
(Ⅰ)同方法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SO为直径的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为
由
设点,则有
故
由所直线SM的方程为
O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.
故存在,使得O,M,S三点共线.
60.（2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分）
已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1） 求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以椭圆方程为 ．
（Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得，代入得
设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，
所以，
。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得
，
。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值，其值为。
61.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
，
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得
。
整理得，其中。
（i）时。化简得
所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。
（ii）时，方程变形为，其中
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；
62.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）
已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。
（1）求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。
方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，
所以所以
由
所以曲线的方程是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为
设
由
将P点的坐标代入
因为
又
所以
记
则
由
又S（1）=2，
当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值
所以面积范围是
方法二（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，
由
所以曲线的方程是.
（Ⅱ）设直线AB的方程为
由题意知
由
由
将P点的坐标代入得
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）
=.
63.（2009四川卷文、理）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。
解 （I）由已知得，解得
∴
∴ 所求椭圆的方程为 .
（II）由（I）得、
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得
设、，
∴ ，这与已知相矛盾。
②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，
设、，
联立，消元得
∴ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
化简得
解得
∴
∴ 所求直线的方程为
64.（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）
如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。
（Ⅰ）求r的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
解：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，
消去，整理得
抛物线与圆相交于、、、四个点
的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根
∴即。
解这个方程组得.
（II）设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，
则
令，则 下面求的最大值。
方法1：由三次均值有：
当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。
方法2：设四个交点的坐标分别为、、、
则直线AC、BD的方程分别为
解得点P的坐标为。
设，由及（Ⅰ）得
由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积
则将，
代入上式，并令，等
，
∴，
令得，或（舍去）
当时，；当时；当时，
故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，
故所求的点P的坐标为。
65.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）
如图，过抛物线y2＝2PX(P﹥0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，
自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1
(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:
(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。
（1） 证明 方法一 由抛物线的定义得
如图，设准线l与x的交点为
而
即
故
方法二 依题意，焦点为准线l的方程为
设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有
由 得
于是，，
，故
（Ⅱ）解 成立，证明如下：
方法一 设，则由抛物线的定义得
，于是
将与代入上式化简可得
，此式恒成立。
故成立。
方法二 如图，设直线M的倾角为，
则由抛物线的定义得
于是
在和中，由余弦定理可得
由（I）的结论，得
即，得证。
66.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)
已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个
焦点的距离分别是7和1
（1）求椭圆的方程‘
（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中
由已知得
而，故 ①
由点P在椭圆C上得 ，
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
67.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于
点P的横坐标与18之和
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段
MN长度的最大值。
解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳
由题设
当x>2时，由①得 化简得
当时 由①得化简得
故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与
抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）
所组成的曲线，参见图1
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是
A（2，），B（2，），
直线AF，BF的斜率分别为=，=.
当点P在上时，由②知
. ④
当点P在上时，由③知
⑤
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为
（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知
∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 -
从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)
由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -
因为当
当且仅当时，等号成立。
（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，
设直线AF与椭圆的另一交点为E
所以。而点A，E都在上，且
有（1）知
若直线的斜率不存在，则==3，此时
综上所述，线段MN长度的最大值为.
68.（2009福建卷文）（本小题满分14分）
已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线
分别交于两点。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由
解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，
从而
由得0
设则得，从而
即又
由得
故
又
当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，
此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或
69.（2009年上海卷理）（本题满分16分）
已知双曲线设过点的直线l的方向向量
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（1） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。
（1）解 双曲线C的渐近线
· 直线l的方程
· 直线l与m的距离
（2）证明 方法一设过原点且平行与l的直线
则直线l与b的距离
当
又双曲线C的渐近线为
双曲线C的右支在直线b的右下方，
双曲线右支上的任意点到直线的距离为。
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。
（2）方法二 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，
则
由（1）得，
设
当，0
将 代入（2）得 （*）
方程（*）不存在正根，即假设不成立
故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为
70.（2009上海卷文）（本题满分16分）
已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；
（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
（1）解 设双曲线的方程为
，解得，双曲线的方程为
（2）解 直线，直线
由题意，得，解得
（3）证明 方法一 设过原点且平行于的直线
则直线与的距离当时，
又双曲线的渐近线为
双曲线的右支在直线的右下方，
双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为
（3）方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，
则
由（1）得
设，
当时，；
将代入（2）得
，
方程不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为
71.（2009重庆卷理）（本小题满分12分）
已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．
（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；
（Ⅱ）如题图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；
解 （Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.
设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .
又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,
从而，当且仅当，
即点M的坐标为时上式取等号，的最大值为4 .
（II）如图（20）图，设
.因为，故
①
因为
所以 . ②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点
所以
由因为 ，结合①，②得
故动点P的估计方程为
72.（2009重庆卷文）（本小题满分12分）
已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；
解 （Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得 解得 从而，该双曲线的方程为.
（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，
所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故
从而
当在线段CD上时取等号，此时的最小值为
直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故
由方程组 解得
所以点的坐标为.
2005—2008年高考题
一、选择题
1.(2008湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞
向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆
轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在变点第二次变轨进入仍以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①; ②; ③; ④＜.
其中正确式子的序号是 （ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
答案 B
2.（2008江西理7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案 C
3.（2008全国Ⅱ理9）设，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案 B
4.（2008海南理11）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与
点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 （ ）
A.（，－1） B.（，1） C.（1，2） D.（1，－2）
答案 A
5.（2008辽宁理10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距
离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
答案 A
6.（2008天津文7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦
点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
7.（2007重庆文）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ）
A. B. C. D.
答案 C
8.（2007浙江文）已知双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，P
是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2 |＝4ab，则双曲线的离心率是 （ ）
A. B. C.2 D.3
答案 B
9.（2007天津文）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与
抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案 D
10. (2006上海春季15) 若，则“”是“方程表示双曲线”
的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
11.(2005年上海理15) 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
答案 B
解析 的焦点是(1，0)，设直线方程为 (1)，将(1)代入抛物线方程可得，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是，选B.
二、填空题
12.（2008湖南理12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率
e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
答案
13.（2008江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O
为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
答案
14.（2008全国Ⅰ理15）在中，，．若以为焦点的
椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 ．
答案
15.（2008浙江理12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于
A、B两点.若，则=______________.
答案 8
16.(2008上海春季7) 已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方
程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 .
答案 5
17.（2007山东理）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上
的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．
答案
18.(2007上海春季6) 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的
焦点的距离为6，则点P的横坐标 .
答案 5
19.(2006上海理7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长
的2倍，则该椭圆的标准方程是 .
答案
20.（2005江西理）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点
P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
答案 ③④
三、解答题
21.（2008全国Ⅰ理21）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为l1，l2，
经过右焦点垂直于l1的直线分别交l1、l2于两点．已知成等差数
列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得,则离心率．
（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立
将，代入，化简有
将数值代入，有,解得
故所求的双曲线方程为。
第二部分 四年联考汇编
2010年联考题
题组二（5月份更新）
1.（马鞍山学业水平测试）双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
答案 A
2. （昆明一中二次月考理）已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的的离心率为( )
A． B． C． D．
答案：D
3．（师大附中理）如图2，设在椭圆中，和是短轴端点，是椭圆上
不同于的任一点，直线分别交轴于，，则
A．4 B．4.5
C．5 D．5.5
答案：C
4. （马鞍山学业水平测试）椭圆的焦点坐标为
A． B． C． D．
答案 C
5.（马鞍山学业水平测试）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
6. （马鞍山学业水平测试）已知动点P（x，y）满足,则动点P的轨迹是
A.双曲线 B.双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线
答案 C
7.（昆明一中三次月考理）若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合,则p的值为
A．－2 B．2 C．－4 D．4
答案：C
8.（昆明一中三次月考理）设双曲线的半焦距为c，直线l过A（a，0），B（0，b）两点，若原点O到l的距离为，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
答案：A
9.（马鞍山学业水平测试）方程表示的曲线为
A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D.圆
答案 A
10. (安徽六校联考)简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图
如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内
层椭圆引切线、.设内层椭圆方程为，则外层椭
圆方程可设为.若与的斜率之积为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案A
11. （玉溪一中期中） 从双曲线的左焦点F引圆的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P. 若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|－|TM|=（ ）
A． B． C． D．
答案：B
12．（池州市七校元旦调研）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )
A B． C． D．
答案 C
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有
，因．
13.（岳野两校联考）双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（ ）
A.3 B.2 C. D.
答案 B
14.（岳野两校联考）如图，F为抛物线的焦点，A、B、C在抛物线上，若，则（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D.2
答案 A
15.（三明市三校联考）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 （ ）
A. B. C. D.
答案B
16.（祥云一中月考理）如果双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
17.（三明市三校联考）已知椭圆的左焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点P，且轴，则此椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
答案A
18．（昆明一中四次月考理）已知、分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
二、填空题
1.（马鞍山学业水平测试）设抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度
为 米.
答案
2.（昆明一中一次月考理）设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点的直线l与x轴的交点为Q，__.
答案：90°
3.（玉溪一中期中）点P(3，1)在椭圆的右准线上，过P点且方向向量为的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率为 .
答案：
4. 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的方程为 .
答案
5．（昆明一中四次月考理）抛物线上的点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标是 .
答案：3
6．（昆明一中四次月考理）若球的表面积为，边长为2的正三角形的三个顶点在球的表面上，则球心到平面的距离为 .
答案：
7．（安庆市四校元旦联考）若椭圆的左、右焦点分别为，线
段被抛物线的焦点分成5 ：3的两段，则此椭圆的离心率为
答案
8．（玉溪一中期中文）双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及
左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是 。
答案：
9.（祥云一中月考理）两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且则
双曲线的离心率为 。
答案：
三、解答题
1. （马鞍山学业水平测试）（本小题满分8分）
设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率，且过点,求这个椭圆的方程.
解：∵椭圆的中心在原点,焦点在轴上且过点
∴………………………………………………………………………………3分
又，∴，∴……………………………6分
故这个椭圆方程是…………………………………………………8分
20090423
2．（池州市七校元旦调研）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
(2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，
证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
解：
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）
所以椭圆方程为。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得
设,,因为点在椭圆上，所以
;
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得
;
所以直线EF的斜率.
3．（肥城市第二次联考）(本小题满分12分)
如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离
心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的
直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.
解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：，------1分
∵，
∴，-----------------------------------3分
又得 ∴
∴，-------------------------------4分
∴所求椭圆C的方程为．-----------------------------------5分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
则，,
由－4得－，
∴点P的轨迹方程为------------------------------------7分
设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，
解得：，------------------------------9分
∵点在椭圆上，∴ ，整理得解得
或
∴点P的轨迹方程为或，-------------------------------------------11分
经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．----------------12分
4. （马鞍山学业水平测试）（本小题满分10分）
已知椭圆C：的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且向量与共线．
(Ⅰ)求椭圆的离心率e；
(Ⅱ)若是椭圆C的一条准线，求椭圆C的方程.
解：(Ⅰ)∵，∴．……………………………2分
∵是共线向量，∴，∴b=c,故．……………4分
(Ⅱ) 由，
又，…………………………8分
所以椭圆C的方程为…………………………………………………………10分
5. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值．
解：（1）当时， ，则
设椭圆方程为，则又，所以
所以椭圆C2方程为 …………
（2）因为，，则，，设椭圆方程为
由，得 …………
即，得代入抛物线方程得，即
,，
因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以 …………
此时抛物线方程为，，直线方程为：.
联立，得，即，
所以，代入抛物线方程得，即
∴.
设到直线PQ的距离为 ，
则 …………
当时，，
即面积的最大值为. …………
6. （玉溪一中期中）（本小题12分）已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且，，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得？请说明理由；
. 解： （1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立 平面直角坐标系，则，
设椭圆方程为，不妨设C在x轴上方，
由椭圆的对称性，， 又，即为等腰直角三角形， 由得：，代入椭圆方程得：，
即，椭圆方程为；
（2）假设总存在实数，使得，即，
由得，则，
若设CP：，则CQ：，
由，
由得是方程的一个根，
由韦达定理得：，以代k得，
故，故，
即总存在实数，使得.
题组一（1月份更新）
一、选择题
1、（2009东莞一模）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）
A．4 B5 C．8 D．10
答案 D
2、（2009滨州一模）已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
． ．
． ．
答案 A
3、（2009茂名一模）已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案 C
4、（2009临沂一模）已知双曲线的两个焦点F1(,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点，且则该双曲线的方程是
A、 B、 C、 D、
答案 A
5、（2009汕头一模）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A、x2－y2＝2 B、x2－y2＝ C、x2－y2＝1 D、x2－y2＝
答案 A
6、（2009泰安一模）已知曲线C:y=2x，点 A(0,-2)及点B（3，a），从点A观察点B，要使实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是
A．(4,+) B.(，4) C.(10,) D.
答案 D
7、（2009韶关一模）圆上的动点到直线的最小距离为
A．1 B． C． D．
答案 B
8、（2009潍坊一模）抛物线的准线与双曲线等的两条渐近线所围成的三角形面积等于
(A) (B) (C)2 (D)
答案 A
9、（2009深圳一模）设平面区域是由双曲线的两条渐近线和椭圆
的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点，则目标函数的最大值为
A． B． C． D．
答案 C
10、（2009湛江一模）过点A (3 , 0 ) 的直线l与曲线 有公共点，则直线l斜率的取值范围为
A．(, ) B．[, ] C．(, ) D．[, ]
答案 D
二、填空题
1、（2009临沂一模）已知A、B是抛物线上的两点，线段AB的中点为M（2,2），则|AB|等于
答案
2、（2009上海十四校联考）以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在上的抛物线方程是
答案 。
3、（2009日照一模）抛物线的焦点坐标是_______________。
答案
4、（2009冠龙高级中学3月月考）以椭圆中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____________。
答案
5、（2009上海普陀区）设联结双曲线与（，）的
个顶点的四边形面积为，联结其个焦点的四边形面积为，则的最大值为 .
答案
6、（2009泰安一模）P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆上的点，则|PM|-|PN|的最大值为
答案 5
7、（2009闵行三中模拟）已知为双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，则|AF|=_______。
答案 1
8、（2009枣庄一模）设椭圆的右焦点与抛物线的
焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为 。
答案
9、（2009上海青浦区）已知是椭圆上的一个动点，则
的最大值是
答案 5
三、解答题
1、（2009滨州一模）已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．
（I）求椭圆的方程；
（II）若已知点，点是椭圆上不重合的两点，且，求实数的取值范围．
（1）∵直线的方向向量为
∴直线的斜率为，又∵直线过点
∴直线的方程为
∵，∴椭圆的焦点为直线与轴的交点
∴椭圆的焦点为
∴，又∵
∴ ，∴
∴椭圆方程为
（2）设直线MN的方程为
由，得
设坐标分别为
则 (1) (2)
＞0∴,
∵，显然，且
∴∴
代入(1) (2)，得
∵,得，即
解得且.
2、（2009广州一模）已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+x2=64相内切
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；
(2)设直线l: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.
∵|AM|=4|AM|， ……3分
∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
设其方程为(a>b>0)，则a=4，c=2，
∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.
……5分
(2)由消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=.
△1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0. ① ……7分
由消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=.
△2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0. ② ……9分
∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
∴，∴2km=0或，
解得k=0或m=0， ……11分
当k=0时，由①、②得，
∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；
当m=0时，由①、②得，
∵k∈Z，∴k=－1，0，1.
∴满足条件的直线共有9条. ……14分
3、（2009聊城一模）已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）设C 2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且 满足，
求的取值范围。
解：（1）由 （2分）
由直线
所以椭圆的方程是 （4分）
（2）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点M到定点F2的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。 （8分）
（3）由（2），知Q（0，0）。设
所以当
故的取值范围是。 （14分）
4、（2009东莞一模）设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，且，坐标原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2） 设是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率．
解： （Ⅰ）由题设知
由于，则有，所以点的坐标为……..2分
故所在直线方程为…………3分
所以坐标原点到直线的距离为，
又，所以，解得：.………….5分
所求椭圆的方程为.…………7分
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为，则直线的方程为，则有.……9分
设，由于、、三点共线，且.
根据题意得,解得或.…………12分
又在椭圆上，故或，
解得,综上，直线的斜率为或 …………14分
5、（2009临沂一模）已知F1,F2是椭圆C: （a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足。
（1）求椭圆C的方程。
（2）椭圆C上任一动点M关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。
解：（1）由已知，点P在椭圆上
∴有 ①┉┉┉┉┉┉┉┉1分
又，M在y轴上，
∴M为P、F2的中点，┉┉┉┉┉┉┉┉2分
∴.┉┉┉┉┉┉┉┉3分
∴由， ②┉┉┉┉┉┉┉┉4分
解①②,解得（舍去），∴
故所求椭圆C的方程为。┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2）∵点关于直线的对称点为，
∴┉┉┉┉┉┉┉┉8分
解得┉┉┉┉┉┉┉┉10分
∴┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∵点P在椭圆C:上，∴∴。
即的取值范围为［－10，10］。┉┉┉┉┉┉┉┉12分
图6
6、（2009江门一模）如图6，抛物线：与坐标轴的交点分别为、
、.
⑴求以、为焦点且过点的椭圆方程；
⑵经过坐标原点的直线与抛物线相交于
、两点，若，求直线的方程．
⑴由解得、、----------3分
所以，，从而----------5分，椭圆的方程为----------6分
⑵依题意设：----------7分，由得----------8分
依题意得----------11分，解得----------13分
所以，直线的方程是或----------14分
7、（2009青岛一模）已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.
解:(Ⅰ)因为，所以有
所以为直角三角形；…………………………2分
则有
所以，…………………………3分
又，………………………4分
在中有
即，解得
所求椭圆方程为…………………………6分
(Ⅱ)
从而将求的最大值转化为求的最大值…………………………8分
是椭圆上的任一点，设，则有即
又，所以………………………10分
而,所以当时，取最大值
故的最大值为…………………………12分
8、（2009日照一模）已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在轴上，双曲线
以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为。
（I）求椭圆及双曲线的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，在第二象限内取双曲线
上一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点，若。求四边形的面积。
解：（I）设椭圆方程为 则根据题意，双曲线的方程为
且满足
解方程组得 ……………………4分
椭圆的方程为，双曲线的方程 ………………6分
（Ⅱ）由（I）得
设则由得为的中点，所以点坐标为
，
将坐标代入椭圆和双曲线方程，得
消去，得
解之得或（舍）
所以，由此可得
所以 …………………………10分
当为时，直线的方程是
即，代入，得
所以或-5（舍） ……………………………12分
所以轴。
所以 ……………………14分
9、（2009潍坊一模）已知双曲线的左、右两个焦点为, ，动点P满足|P|+| P |=4.
(I)求动点P的轨迹E的方程；
(1I)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：终段O
上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.
解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为 …………1分
,
∴P点的轨迹E是以为焦点，长轴为4的椭圆 …………2分
设E的方程为 …………4分
（Ⅱ）满足条件的D …………5分
设满足条件的点D（m,0）,则
设l的方程为y=k(x-)(k≠0),
代人椭圆方程，得 …………6分
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
…………6分
∴存在满足条件点D …………12分
10、（2009枣庄一模）已知的顶点A、B在椭圆
（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及的面积；
（2）当，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。
解：（1）因为且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为
由得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。
2分
又的距离。
4分
（2）设AB所在直线的方程为
由
因为A，B两点在椭圆上，所以
即 5分
设A，B两点坐标分别为，则
且 6分
8分
又的距离，
即 10分
边最长。（显然）
所以AB所在直线的方程为 12分
11、（2009上海十四校联考）我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）
解：（1）； ………………2分
联立方程； …………3分
与椭圆M相交 …………4分
（2）联立方程组
消去
（3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为： ……14分
证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交
命题得证
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）
（第20题）
（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：……………20分
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）
12、（2009上海卢湾区4月模考）如图，已知点，动点在轴上，点
在轴上，其横坐标不小于零，点在直线上，
且满足，.
（1）当点在轴上移动时，求点的轨迹；
（2）过定点作互相垂直的直线与，与
（1）中的轨迹交于、两点，与（1）中的轨迹交于、两点，求四边形面积的最小值；
（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，
则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：
① （解答本题，最多得6分）将（1）中的曲线推广为椭圆：，并
将（2）中的定点取为焦点，求与（2）相类似的问题的解；
② （解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线推广为椭圆：，并
将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解.
解：（1）设，易知，，，由题设，
得其中，从而，，且，
又由已知，得，
当时，，此时，得，
又，故，，即，，
当时，点为原点，为轴，为轴，点也为原点，从而点也为原点，因此点的轨迹的方程为，它表示以原点为顶点，以为焦点的抛物线；（4分）
（2）由题设，可设直线的方程为，直线的方程为，，又设、，
则由，消去，整理得，
故，同理， （7分）
则，当且仅当时等号成立，因此四边形面积的最小值为. （9分）
（3）① 当时可设直线的方程为，
由，得，
故，， （12分）
，
当且仅当时等号成立. （14分）
当时，易知，，得，故当且仅当时四边形面积有最小值. （15分）
② 由题设，可设直线的方程为，当时，由，
消去，整理得，得，
同理， （12分）
则，其中，
若令，则由
，其中，即，故当且仅当，即时，
有最大值，由，得有最小值，故当且仅当时，四边形面积有最小值为. （17分）
又当时，，，此时，由，得当且仅当时，四边形面积有最小值为. （18分）
13、（2009上海八校联考）已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
解：（1）∵ 2分
原点到直线AB：的距离， ４分
故所求双曲线方程为 6分
（2）把中消去y，整理得 . 8分
设，则
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ， 10分
可得 把代入，
解得： 13分
解，得，满足，14分
14、（2009上海奉贤区模拟考）已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程。
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。
（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线过定点有关的数学问题，并解答所提问题。
（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。 ----(1分)
由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上， ----(1分)
抛物线方程为。 ----(2分)
解法（B）：设动点，则。当时，，化简得：，显然，而，此时曲线不存在。当时，，化简得：。
（2），
，
， ----(1分)
，
，即，， ----(2分)
直线为，所以 ----(1分)
----(1分)
由（a）（b）得：直线恒过定点。 ----(1分)
1、（逆命题）如果直线，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点。求证：OA⊥OB （评分：提出问题得1分，解答正确得1分）
（若，求证：·=0，得分相同）
2、（简单推广命题）如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点（2p，0）
或：它的逆命题（评分：提出问题得2分，解答正确得1分）
3、（类比）
3．1（1）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)
3．1（2）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)
3．1（3）或它的逆命题
3．2（1）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)
3．2（2）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)
3．2（3）或它的逆命题
（评分：提出问题得3分，解答正确得3分）
4、（再推广）
直角顶点在圆锥曲线上运动
如：如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，且PA⊥PB。求证：直线L过定点(＋2p,－)
（评分：提出问题得4分，解答正确得3分）
5、（再推广）
如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，PA与PB的斜率乘积是常数m。求证：直线L过定点(－,－)
（评分：提出问题得5分，解答正确得4分）
或·为常数
顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或OA与OB的斜率乘积是常数或·为常数
15、（2009冠龙高级中学3月月考）双曲线上一点到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，
求的面积；
（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．
（1）
（2） 妨设在第一象限，则
（3）若直线斜率存在，设为，代入
得
若平行四边形为矩形，则
无解
若直线垂直轴，则不满足．
故不存在直线，使为矩形．
16、（2009上海十校联考）已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．
（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（2） 现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（3） 如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）
【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程……1分
双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程 …… 2分
所以③是等轴双曲线的方程 …… 3分
等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上， …… 4分
联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，，所以双曲线的实轴长为 …… 5分
（2） 所求问题即为：在双曲线求一点，使最小．
首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上 …… 6分
等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为
又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点， …… 7分
设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：
所以，要求的最小值，只需求的最小值 …… 8分
直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为 …… 9分
所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 10分
（3）① ，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点； …… 1分
② 渐近线是和．当时，当无限增大时，无限趋近于，
与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于． …… 2分
③ 双曲线的对称轴是和． …… 3分
④ 双曲线的顶点为，，实轴在直线上，实轴长为 …… 4分
⑤虚轴在直线，虚轴长为 …… 5分
⑥焦点坐标为，，焦距 …… 6分
说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分
（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分
17、（2009上海九校联考）如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，
我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的 特征三角形是相似的，
则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.
（1）已知椭圆和，
判断与是否相似，
如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，
在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，
若存在，则求出函数的解析式.
（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的
相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
解：
解：（1）椭圆与相似. ………2分
因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，
而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为 ……… 6分
（2）椭圆的方程为：. ………8分
假定存在，则设、所在直线为，中点为.
则. ………10分
所以.
中点在直线上，所以有. ………12分
.
. ………14分
（3）椭圆的方程为：.
两个相似椭圆之间的性质有： 写出一个给2分
① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；
③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；
过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ………20分
2009年联考题
一、选择题
1. (广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)曲线
(x[-2，2])与直线两个公共点时，实效的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案 D
2.(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0), F2 (2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）
A. B. C. D.
答案 C
3.(湖北省武汉市第四十九中学2009届高三年级十月月考)图中共顶点
的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为，
其大小关系为 （ ）
A. B.
C. D.
答案 C
5.(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（2，+∞） D．
答案 D
6.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
答案 D
7.(2009年广东省广州市高三年级调研测试)已知抛物线的方程为，过点A(0，-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
8.(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、．若△为正三角形，则该双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
答案 B
９.(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A、 B、
C、 D、不确定
答案 B
10.(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考) 已知圆的方程，若抛物线过定
点A（0，1）、B（0，-1）且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案 D
二、填空题
11. (安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜
其中所有正确命题的序号为______.
答案 ③④
12.(福建省莆田第四中学2009届第二次月考)离心率，一条准线为x＝3的椭圆的标准方程是 .
答案
13.(四川省成都市2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试)P是双曲线的右支上一动点,F是双曲线的右焦点,已知A(3,1),则的最小值是 .
答案
14.（2009年郓城实验中学·理科)已知F1、F2是椭圆=1(5＜a＜10)的两个焦
点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是
答案
15.(2009年浙江省宁波市文)若抛物线的焦点与双曲线的左
焦点重合,则的值 .
答案 4
16.(东北区三省四市2009年第一次联合考试)过抛物线的焦点F的直线交抛物线于
A、B两点，则＝ 。
答案 1
三、解答题
17.（2009届山东省实验中学高三年级第四次综合测试）直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
解 （1）曲线的方程可化为：，
∴此曲线为椭圆，，
∴此椭圆的离心率．
（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，
由，解得，
所以
当且仅当时， S取到最大值1．
（3）由得，
①
｜AB｜＝ ②
又因为O到AB的距离，所以 ③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式检验，△＞0 ，
故直线AB的方程是
或或或．
18.（2009年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试）设椭圆： 的离心率为，点（，0），（0，），原点到直线
的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点为（，0），点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．
解 （Ⅰ）由得
由点（，0），（0，）知直线的方程为，
于是可得直线的方程为
因此，得，，，
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐标依次为（2，0）、，
因为直线经过点，所以，得，
即得直线的方程为
因为，所以，即
设的坐标为，则
得，即直线的斜率为4
又点的坐标为，因此直线的方程为
19. （福建省龙岩市2009年普通高中毕业班单科质量检查）已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且（，且为常数）.过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛物线于点D，连结AD、 BD得到.
（1）求证：；
（2）求证：的面积为定值.
解 （1）依题意得：，解得.
所以抛物线方程为 .
（2）由方程组消去得：.（※）
依题意可知：.
由已知得，.
由，得，
即，整理得.
所以 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知中点，
所以点，
依题意知.
又因为方程（※）中判别式，得.
所以 ，由（Ⅱ）可知，
所以.
又为常数，故的面积为定值.
2007—2008年联考题
一、选择题
1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试四)设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ ）
A．4 B．6 C． D．
答案 B
2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角的直线过椭圆的右焦点Ｆ交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则 为 （ ）
Ａ．钝角 Ｂ．直角 Ｃ．锐角 Ｄ．都有可能
答案 C
3. (江西省五校2008届高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最
大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案 A
4.(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为的两段弧，那么该椭圆的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
答案 B
5. (北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，它的准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
答案 B
6. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点A在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为1，且
，，则双曲线方程为 ( )
A． B． C． D．
答案 B
7. (北京市宣武区2008年高三综合练习一)已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是 （ ）
A . 8 B . C .10 D .
答案 B
8.（2007岳阳市一中高三数学能力训练）已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为
y=±x,(a ,b>0), 若双曲线上有一点M(x0,y0), 使b|x0|b时在x轴上 D．当a>b时在y轴上
答案 B
9.（2007唐山二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x=-1,AM⊥l于M，|AM|=λ，|AO|=+λ（λ≥0），则A的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
答案 C
10.（2007石家庄一模）已知F为双曲线-=1（a,b>0）的右焦点，点P为双曲线右支上一点，以线段PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 B
11.(2007湖北八校联考)P为双曲线-=1（a,b>0）右支上一点，F1，F2分别是左右焦点，且焦距为2c，则△F1PF2的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A.a B.b C.,c D.a+b-c
答案 A
12.（2007全国联考）如图，南北方向的公路l ,A地在公路正东
2 km处，B地在A东偏北300方向2 km处，河流沿岸曲线PQ
上任意一点到公路l和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建
一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费
用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元
A.(2+)a B.2(+1)a
C.5a D.6a
答案 C
13. (2007武汉4月调研)已知点P是椭圆C：上的动点，F1、F2分别是左右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A.[0,] B. C. D.[0,]
答案 D
14.（2007黄冈模拟）设P(x,y)是曲线C:+=1上的点，F1(-4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|( )
A.小于10 B.大于10 C.不大于10 D.不小于10
答案 C
二、填空题
15.(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e= .
答案 －1
16. (北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线的一条渐近线方程为，则a=__________.
答案 2
17. (福建省南靖一中2008年第四次月考)过椭圆作直线交椭圆于A、B两点，F2是此椭圆的另一焦点，则的周长为 .
答案 24
18. (福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)若双曲线－=1的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为 ．
答案 2
19. (福建省漳州一中2008年上期期末考试)双曲线的两个焦点为，点 在该双曲线上，若，则点到轴的距离为 .
答案
20. (湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当4时，的最小值是 。
答案
21.（2007届高三名校试题）椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则
当m取最大值时，点P的坐标是 .
答案 （－3，0）或（3，0）
22.（2007届高三名校试题）A的坐标是（－2，0），B是圆F：（）上的动点（F为圆心），线段AB的垂直平分线交直线BF于P，则动点P的轨迹方程为 。
答案
23.（2007北京四中模拟二）椭圆的离心率为，则a＝________
答案
三、解答题
24. (河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，
（1）求双曲线的离心率e；
（2）若此双曲线过C（2，），求双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，的方程。
解（1）四边形F2 ABO是平行四边形
∴四边形F2 ABO是菱形.
∴
由双曲线定义得
（2）
，双曲线方程为
把点C代入有
∴双曲线方程
（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为
则由
因l与与双曲线有两个交点，
故所求直线l方程为.
25.(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足．
（Ⅰ）求证：直线经过一定点；
（Ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值．
（1）证明 , .设A,B两点的坐标为（），（）
则 .
经过A，B两点的直线方程为
由，得
. 令，得, .
从而. (否则, 有一个为零向量),
. 代入①，得 ，始终经过定点.
（2）解 设AB中点的坐标为()，
则 .
又, ，
即 ①
AB的中点到直线的距离.
将①代入，得.
因为d的最小值为.
26. (江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0,
)，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．
解 （Ⅰ）由题意可得直线l： ①
过原点垂直于l的直线方程为 ②
解①②得．
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴，
∴抛物线C的方程为．
（Ⅱ）设，，，
由，得．
又，．
解得 ③
直线ON：，即 ④
由③、④及得，
点N的轨迹方程为．
A
y
x
M
O
B
27.(2007湖南示范)如图，已知抛物线的方程为，
过点M（0，m）且倾斜角为的直线交抛物线于
A（x1,y1），B（x2,y2）两点，且
（1）求m的值
（2）（文）若点M分所成的比为，求直线AB的方程
（理）若点M分所成的比为，求关于的函数关系式。
解 ⑴设AB方程为y=kx+m代入x2=2py得 ①
由得 ， -2pm=-p2∴2m=p，即
⑵（文）设，则∴
故AB方程为
（理）由①得。
