高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、基础知识 1．直线与圆的位置关系(半径为 r，圆心到直线的距离为 d) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的 关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜ r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 二、常用结论 (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2. ③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y ＝r2. (2)直线被圆截得的弦长 弦心距 d、弦长 l 的一半 1 2l 及圆的半径 r 构成一直角三角形，且有 r2＝d2＋ 1 2l 2. 考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断 [典例] 直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 [解析] 法一：由 mx－y＋1－m＝0， x2＋y－12＝5， 消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0， 所以直线 l 与圆相交． 法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝ |m| m2＋1 <1< 5，故直线 l 与圆相交． 法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部， 所以直线 l 与圆相交． [答案] A [解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系． (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题 [典例] (1)过点 P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的切线，则切线方程为( ) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2 或 4x－3y＋4＝0 D．y＝4 或 3x＋4y－4＝0 (2)(2019·成都摸底)已知圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 上存在两点关于直线 l：x＋my＋1 ＝0 对称，经过点 M(m，m)作圆 C 的切线，切点为 P，则|MP|＝________. [解析] (1)当斜率不存在时，x＝2 与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为 y－4＝k(x －2)，即 kx－y＋4－2k＝0，则|k－1＋4－2k| k2＋1 ＝1，解得 k＝4 3 ，则切线方程为 4x－3y＋4＝0， 故切线方程为 x＝2 或 4x－3y＋4＝0. (2)圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 的圆心为 C(1,2)，半径为 2.因为圆上存在两点关于直线 l：x＋my＋1＝0 对称，所以直线 l：x＋my＋1＝0 过点(1,2)，所以 1＋2m＋1＝0，解得 m＝ －1，所以|MC|2＝13，|MP|＝ 13－4＝3. [答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题 [典例] (1)若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2＋y2＝1 所截得的弦长为 ( ) A.1 2 B．1 C. 2 2 D. 2 (2)(2019·海口一中模拟)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点， 若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( ) A．4π B．2π C．9π D．22π [解析] (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ |c| a2＋b2 ＝ |c| 2|c| ＝ 2 2 ，因此根 据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1－ 2 2 2＝ 2 2 ，所以弦长为 2. (2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为 a2＋2.圆心(0，a)到直线 y＝ x＋2a 的距离 d＝|a| 2 ，由直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，|AB| ＝2 3，可得a2 2 ＋3＝a2＋2，解得 a2＝2，故圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4π，故选 A. [答案] (1)D (2)A [题组训练] 1．已知圆的方程是 x2＋y2＝1，则经过圆上一点 M 2 2 ， 2 2 的切线方程是________． 解析：因为 M 2 2 ， 2 2 是圆 x2＋y2＝1 上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线 方程为 x＋y＋a＝0，所以 2 2 ＋ 2 2 ＋a＝0，得 a＝－ 2，故切线方程为 x＋y－ 2＝0. 答案：x＋y－ 2＝0 2．若直线 kx－y＋2＝0 与圆 x2＋y2－2x－3＝0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是 ________． 解析：由题知，圆 x2＋y2－2x－3＝0 可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1,0)到直线 kx－y＋2 ＝0 的距离 d＞2，即 |k＋2| k2＋1 ＞2，解得 0＜k＜4 3. 答案： 0，4 3 3．设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋2x－my＝0 相交于 A，B 两点，若点 A，B 关于直线 l： x＋y＝0 对称，则|AB|＝________. 解析：因为点 A，B 关于直线 l：x＋y＝0 对称，所以直线 y＝kx＋1 的斜率 k＝1，即 y ＝x＋1.又圆心 －1，m 2 在直线 l：x＋y＝0 上，所以 m＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径 r ＝ 2，所以圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝ 2 2 ，所以|AB|＝2 r2－d2＝ 6. 答案： 6 考点二 圆与圆的位置关系 [典例] (2016·山东高考)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的 长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 [解析] 法一：由 x2＋y2－2ay＝0， x＋y＝0， 得两交点为(0,0)，(－a，a)． ∵圆 M 截直线所得线段长度为 2 2， ∴ a2＋－a2＝2 2. 又 a>0，∴a＝2.∴圆 M 的方程为 x2＋y2－4y＝0， 即 x2＋(y－2)2＝4，圆心 M(0,2)，半径 r1＝2. 又圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心 N(1,1)，半径 r2＝1， ∴|MN|＝ 0－12＋2－12＝ 2. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3， ∴两圆相交． 法二：由题知圆 M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ a 2 ， 所以 2 a2－a2 2 ＝2 2，解得 a＝2.圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，两圆 半径之和为 3，故两圆相交． [答案] B [变透练清] 1．(2019·太原模拟)若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝ ( ) A．21 B．19 C．9 D．－11 解析：选 C 圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径 r1＝1，因为圆 C2 的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝ 32＋42 ＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9，故选 C. 2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________． 解析：联立两圆方程 x2＋y2－4y＝0， x－12＋y－12＝1， 两式相减得，2x－2y－1＝0，因为 N(1,1)， r＝1，则点 N 到直线 2x－2y－1＝0 的距离 d＝|－1| 2 2 ＝ 2 4 ，故公共弦长为 2 1－ 2 4 2＝ 14 2 . 答案： 14 2 [解题技法] 几何法判断圆与圆的位置关系的 3 步骤 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|； (3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论． [课时跟踪检测] A 级 1．若直线 2x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则 a 的值为( ) A．± 5 B．±5 C．3 D．±3 解析：选 B 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a| 5 ＝ 5， 即 a＝±5.故选 B. 2．与圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0 都相切的直线有 ( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 解析：选 A 两圆分别化为标准形式为 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2 ＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝ 7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所 以它们只有一条公切线．故选 A. 3．(2019·南宁、梧州联考)直线 y＝kx＋3 被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4 截得的弦长为 2 3， 则直线的倾斜角为( ) A.π 6 或5π 6 B．－π 3 或π 3 C．－π 6 或π 6 D.π 6 解析：选 A 由题知，圆心(2,3)，半径为 2，所以圆心到直线的距离为 d＝ 22－ 32＝ 1.即 d＝ |2k| 1＋k2 ＝1，所以 k＝± 3 3 ，由 k＝tan α，得α＝π 6 或5π 6 .故选 A. 4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 解析：选 B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得 r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋ y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即 2x＋y－7＝0.故选 B. 5．(2019·重庆一中模拟)若圆 x2＋y2＋2x－6y＋6＝0 上有且仅有三个点到直线 x＋ay＋1 ＝0 的距离为 1，则实数 a 的值为( ) A．±1 B．± 2 4 C．± 2 D．± 3 2 解析：选 B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为 2，由于圆上有且仅有三个点到直 线的距离为 1，故圆心(－1,3)到直线 x＋ay＋1＝0 的距离为 1，即|－1＋3a＋1| 1＋a2 ＝1，解得 a ＝± 2 4 . 6．(2018·嘉定二模)过点 P(1，－2)作圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A， B，则 AB 所在直线的方程为( ) A．y＝－ 3 4 B．y＝－1 2 C．y＝－ 3 2 D．y＝－1 4 解析：选 B 圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1，以|PC|＝ 1－12＋－2－02 ＝2 为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y＋1＝0，即 y＝－1 2.故选 B. 7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长 为________． 解析：易知圆心(2，－1)，半径 r＝2，故圆心到直线的距离 d＝|2＋2×－1－3| 12＋22 ＝3 5 5 ， 弦长为 2 r2－d2＝2 55 5 . 答案：2 55 5 8．若 P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为________． 解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心为(1,0)，所以直线 AB 的斜率等于 －1 1－0 2－1 ＝－1，由 点斜式得直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 9．过点 P(－3,1)，Q(a,0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2＋y2＝1 相切，则 a 的值为________． 解析：因为 P(－3,1)关于 x 轴的对称点的坐标为 P′(－3，－1)， 所以直线 P′Q 的方程为 y＝ －1 －3－a (x－a)，即 x－(3＋a)y－a＝0， 圆心(0,0)到直线的距离 d＝ |－a| 1＋3＋a2 ＝1， 所以 a＝－5 3. 答案：－5 3 10．点 P 在圆 C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0 上，点 Q 在圆 C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0 上， 则|PQ|的最小值是________． 解析：把圆 C1、圆 C2 的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2 ＝4. 圆 C1 的圆心坐标是(4,2)，半径长是 3； 圆 C2 的圆心坐标是(－2，－1)，半径是 2. 圆心距 d＝ 4＋22＋2＋12＝3 5＞5.故圆 C1 与圆 C2 相离， 所以|PQ|的最小值是 3 5－5. 答案：3 5－5 11．已知圆 C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0 和圆 C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求证：圆 C1 和圆 C2 相交； (2)求圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆 C1 的圆心 C1(1,3)，半径 r1＝ 11， 圆 C2 的圆心 C2(5,6)，半径 r2＝4， 两圆圆心距 d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝ 11＋4， |r1－r2|＝4－ 11， ∴|r1－r2|

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