解密高考边缘热点问题

解密高考边缘热点问题

解密高考边缘热点问题 湖南祁东中等职业学校 周子云 湖南祁东育贤中学 周友良 数学考试大纲明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为进入高校学习作准备．近几年高考数学试题中出现了大量与高等数学衔接紧密的问题，主要表现为它们或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法．此类题目的设计虽来源于高等数学，但一般起点高、落点低，其解决方法还是中学所学的初等数学知识，较易突破．它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能．‎ 数学考试大纲提出：“创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。” 命题时要设“研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自我探索，发挥主观能动性”。‎ 新题型即创新题型。新相对旧而言，即在教材上无例习题，教参上无套路题，往年的考卷无模拟题的一类新型考题。这种题目每年由高考命题组原创设计，按15%左右的比例推出。‎ 由于这种题型有较好的信度和效度，从而有较好的区分度，因此倍受人们关注。‎ 在2008年的高考中:(1)考查学生实践能力，坚持“贴近生活、背景公平、控制难度”的原则。创设新颖问题情景，命制有一定深度和广度的数学问题，考查数学素质的方向不会变。‎ ‎(2)选用高等数学基本思想、基本问题，居高临下，以紧密联系中学数学的素材为背景，设计试题，来考查学生潜能的命题基本思路不会变。‎ 边缘热点一 函数的凹凸性 ‎【知识背景】函数的凹凸性是高等数学的数学分析中的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋势的。‎ ‎【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数的图象与性质的选择填空题中。经常与高中所学的函数、三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。‎ 典例1. （05湖北卷）在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ B ） ‎ ‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ 解析:答案为B。要使恒成立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在内为凸函数。而在内为凹函数，在内先凸后凹函数。只有在内为凸函数。所以答案为B。‎ 点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数的凹凸性可直接作结论.‎ 典例2.（05北京理工科13）．对于函数定义域中任意的，有如下结论：‎ ‎ ①；‎ ‎②；‎ ‎ ③ ④‎ ‎ 当时，上述结论中正确结论的序号是 .‎ 解析:答案为②③‎ ‎【详解】‎ 对于①②可以用 直接验证即可②满足题意 ‎ 对于③④如右图所示：‎ ‎ 对于图象上任意不同 ‎ 两点 ‎ 显然成立（可以用）故③正确 ‎ 再有AB中点C（过C作轴交于D（‎ ‎ D在上有：故④不正确 ‎ 点评:本题主要考查了函数运算性质以及直线斜率应用,题目较综合.判断④‎ 不正确也可直接利用函数图象的上凸性作结论.‎ 典例3.如图左所示，半径为2的⊙Ｍ切直线ＡＢ于Ｏ，射线ＯＣ从ＯＡ出发绕着Ｏ点顺时针旋转到ＯＢ．旋转过程中，ＯＣ交⊙Ｍ于Ｐ．记∠ＰＭＯ为ｘ、弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）的图象是图右中的（　　）．‎ ‎ ‎ 图左 图右 　解析：易得弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=2（ｘ-ｓｉｎｘ）．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝ｓｉｎｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量Δｙｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的Ｓ的变化，开始时在ｘ∈［0，π］上其增量ΔＳｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，经过ＯＣ⊥ＡＢ后，即在ｘ∈［π，2π］上，则越来越小，故Ｓ关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选Ａ．‎ 点评:利用增量法来解决函数图象变化的快慢趋势是解决实际应用问题中的函数图象类选择题的一种妙法,不需要运算,联系图象及函数增量变化快慢趋势直接估测结果.‎ 边缘热点二 根的分布定理 ‎【知识背景】根的分布定理是高等数学中数学分析的一个定理：如果连续函数在闭区间上满足，那么方程在开区间上至少有一个实根。上述定理在高等数学中利用极限思想，结合区间套定理进行证明。‎ ‎【高考联接】高考中常借助其考查方程的根的个数.或再借助导数法判断函数单调性来证明根的唯一性.‎ 典例4. 2004年高考数学广东卷理科21题：‎ 设函数其中常数m为整数.‎ ‎ (1) 当m为何值时,‎ ‎ (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.‎ ‎ 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根.‎ 解析:（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且 当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)‎ 当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)‎ 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且 对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0‎ ‎(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,‎ 函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.‎ 由所给定理知，存在唯一的 而当整数m>1时，‎ 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的 故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。‎ 点评:本题通过导函数法证明函数的单调性,再借助根的分布定理讨论了方程的根个数情况. 本题以高等数学的定理作为依托融于初等数学知识中, 此类题目的设计虽来源于高等数学，但一般起点高、落点低.‎ 典例5.2006年高考数学浙江卷理16题：‎ 设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：‎ ‎(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；‎ ‎(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.‎ 解析:证明：（I）因为，‎ 所以.‎ 由条件，消去，得 ‎；‎ 由条件，消去，得 ‎，.‎ 故.‎ ‎（II）抛物线的顶点坐标为，‎ 在的两边乘以，得 ‎.‎ 又因为 而 所以方程在区间与内分别有一实根。‎ 故方程在内有两个实根.‎ 点评: 本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。并灵活运用连续函数的根的分布定理判断方程的根的个数.‎ 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。（见人民教育出版社普通高中数学课程标准实验教科书《数学（1）》第96页）。这里没有给出连续函数的定义，但以通俗易懂的图象语言表述了根的存在性定理，降低了定理的抽象程度，是数形结合的典范，必将成为高考命题的一个热点，2006年高考数学浙江卷就是一个明确的信号。又如幂函数、算法语言等也是新增的内容，也应引起注意。‎ 典例6．已知 是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。‎ 解：方程等价于方程 设 ‎ 则 当时，是减函数；‎ ‎ 当时，是增函数。 ‎ 方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，‎ 所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。‎ 边缘热点三 不动点、凹凸函数、无限接近等概念为背景的高观点题 ‎【知识背景】不动点、凹凸函数、无限接近都是现代数学的概念.‎ ‎【高考联接】这种以高等数学知识为背景的试题越来越被重视看好。这就要求我们考生有综合运用数学知识的能力与素质。解决这类问题的关键是深刻理解定义，再运用函数与方程、函数与不等式等思想解决。随着高中新课程标准、新教材的使用，对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。“出活题，考能力”要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法。对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性的解决问题。下面就函数中以不动点、凹凸函数、无限接近等概念为背景这类题型举例。‎ 典例7．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。已知函数 。‎ （1） 当时，求函数的不动点；‎ （2） 若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；‎ （3） 再（2）的条件下，若图像上两点的横坐标是函数的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值。‎ 解析：（1），因为为不动点，因此有所以或，所以和为的不动点。‎ ‎（2）因为恒有两个不动点，‎ ‎（※），由题设恒成立，即对任意，‎ 恒成立，所以有，所以。‎ ‎（3）由（※）式，得，由题设即，设的中点为，则，因为，所以，所以有＝，因为，当且仅当即时，有最小值。‎ 典例8．定义在上的函数满足：如果对任意都有则称函数是上的凹函数，已知二次函数且，‎ （1） 求证：当时函数是凹函数；‎ （2） 如果时，试求实数的范围。‎ 解析：（1）对任意的，＝＝，故函数是凹函数。‎ ‎（2）由 ①‎ 当时，，当时①即恒成立 即恒成立，当时，‎ 当时，取得最大值，取得最小值 结合，。‎ 典例9.对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。‎ （1） 若与在给定区间上都有意义，求的取值范围;‎ （2） 讨论与在给定区间上是否是接近的。‎ 解析：（1）依题意 ‎（2）令得 ‎① 又在的右侧，在上为减函数，从而 ‎，‎ 于是①成立的充要条件是，解此不等式组得 ‎。‎ 故当时，与在上是接近的，当时，与在上是非接近的。‎ ‎ 点评：不动点、凹凸函数、无限接近都是现代数学的概念，这种以高等数学知识为背景的试题越来越被重视看好。这就要求我们考生有综合运用数学知识的能力与素质。解决这类问题的关键是深刻理解定义，再运用函数与方程、函数与不等式等思想解决。‎ 边缘热点四 以高等数学群论为背景 ‎【知识背景】群论是高等数学中的知识,它牵涉到集合之间新定义的运算的证明.‎ ‎【高考联接】高等数学群论多与集合的概念及运算相结合. 大量与高等数学群论衔接紧密的问题在近几年的高考试题中多次出现.‎ 典例10．（2006年四川卷）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有； ‎ ‎（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ ‎⑤ ‎ 其中关于运算为“融洽集”______①，③__________;（写出所有“融洽集”的序号）‎ 解析：对于①对任意，都有；存在使得对一切，都有。对于②，对任意，都有；但不存在，使得对一切，都有。对于③，对任意，都有；且存在单位向量，使得对一切，都有。对于④，对任意，不一定有，如果两个二次三项式的二次项前的系数互为相反数，则相加后就不是二次三项式了。对于⑤，对任意，都有；两共轭复数相乘的积不是虚数。故填_①，③。‎ 点评:本题考查考生对新情景下对新知识的接受理解能力，抽象概括能力，是一道颇有新意的试题。这也考查了考生继续学习的数学潜质。‎ 典例11．（2006年辽宁卷）设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 ‎(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集 解析:A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。‎ 点评:本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。‎ 边缘热点五 行列式 ‎【知识背景】高等代数的三阶行列式与空间解析几何的混和积 ‎【高考联接】 以高等代数的三阶行列式与空间解析几何的混和积等主要信息，考查空间向量的基本运算以及类比探究的创新能力.值得注意的是高等数学与初等数学交汇是高考命题的六大交汇之一，是现代数学新高考创新题的重要题源！‎ 典例12 四棱锥中，底面ABCD是一个平行四边形，，‎ ‎，‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）定义＝，对于向量，，有，则 ‎＝_________________.‎ ‎（3）比较四棱锥的体积与间的关系,则的几何意义是_____________________________________________________________________.‎ 解析（1）∵ ，，‎ ‎∴＝＝＝0‎ ‎＝＝＝0‎ ‎∴，，即，　　∵　∴‎ 故，四边形ABCD分别是四棱锥的高和底面.‎ 又∵ ，，‎ ‎∴＝＝＝‎ ‎＝＝，　＝＝‎ ‎＝＝‎ ‎∴＝＝‎ ‎＝＝16‎ ‎（2）∵‎ ‎∴＝‎ ‎＝＝，即＝‎ ‎（3）∵‎ ‎ ∴它是四棱锥的体积的3倍.‎ 猜想：在几何上可表示以、、为棱的平行六面体的体积.‎ 点评 本例的第（1）问考查空间向量的夹角、模长、数性积等基本运算，第（2）问定义两个新运算，属于定义型创新题.求解关键是比照定义式具体化；第（3）问是类比型创新题，关键是通过四棱锥的体积与的比较，探索的几何意义.‎ 边缘热点六微积分学中的李普希茨（R.Lipschitz）条件 界定新范围 ‎【知识背景】高等数学微积分学中的李普希茨（R.Lipschitz）条件 ‎ 【高考联接】03年北京高考理科数学最后一道大题（第20题）是有关抽象函数的不等式的证明题，认真分析研究该题中的（Ⅱ），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题。本文给出这个问题的两个推广，其中后一个推广是用微积分学中的李普希茨（R.Lipschitz）条件表述。‎ 典例13.设是定义在区间上的函数，且满足条件，‎ ‎①‎ ‎②对任意的、，都有 ‎（Ⅰ）证明：对任意，都有 ‎（Ⅱ）证明：对任意的都有 ‎（Ⅲ）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得 若存在请举一例，若不存在，请说明理由．‎ 解析:（Ⅰ）证明：由题设条件可知，‎ 当时，有即 ‎（Ⅱ）对任意的，‎ 当 当不妨设 则 从而有 总上可知，对任意的，都有 ‎（Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：‎ ‎ 假设存在函数满足条件，则由 得 又，所以 ①‎ ‎ 又因为为奇函数，所以，‎ 由条件 得 所以 ② ‎ ‎ ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.‎ 点评:本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 是有关抽象函数的不等式的证明题，认真分析研究该题中的（Ⅱ），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题。‎ 推广一：函数定义在上，，且满足条件：‎ 对任意的都有，则必有 ‎。‎ 证明：（ⅰ）当时，由知，‎ 显然成立。‎ ‎（ⅱ）当时，不妨设，则，从而 ‎.‎ 综合可知，总有成立。‎ 由试题中函数满足的条件（ⅱ）可联想到高等数学中的李普希茨（R.Lipschitz）条件,其定义如下：‎ 对于上定义的函数和正数，若存在正常数使不等式对都成立，则称函数在上满足阶的李普希茨条件。‎ ‎ 显然试题中的函数满足1阶的李普希茨条件。下面我们进一步将其推广到满足阶的李普希茨条件。‎ 推广二：函数定义在 上，，且满足阶的李普希茨条件，即存在正常数，使得对于任意的，都有，则必有 ‎ ①‎ 证明：（ⅰ）当时，若，则不等式①显然成立；下设，则由 从而，‎ 于是 ‎ ‎ ‎（ⅱ）当时，不妨设，则.‎ 由知函数在区间上是上凸函数，于是 ‎ ‎ ‎ ② ‎ 显然当时，不等式②也成立。‎ 于是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上可知，总有成立。‎ 若把试题中的不等号“”改为严格不等号“”其相应的推广也成立，在此从略。此外，还需指出的是该试题中的第（Ⅲ）问的第一个条件似应改为“，当且”‎ ‎【高考联接】新界定一个集合A：满足①对任意的，都有；②存在常数（），使得对任意的，都有两个条件的集合.对于（1）小问而言，求证只需逐条判断； 对于（2）、（3），已知，将满足A的两个条件作为已知，其中（2）小问关于唯一性的证明，常常采用反证法；（3）小问比较难，是广东卷的把关题，求解的关键在于与具体化并加以推广后，采取叠加求和，明确起止项和项数是求解本例的难点.‎ 典例14（06年广东高考卷）是定义在上且满足如下条件的函数 组成的集合：‎ ①对任意的，都有；‎ ②存在常数，使得对任意的，都有.试求解：(1) 设 ，证明：；‎ ‎(2) 设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；‎ ‎(3) 设，任取，令，，证明给定正整数，对任意的正整数，成立不等式.‎ 解析 （1）对任意 ‎ ‎∴ ∵ ∴‎ 即在上是增函数 ‎∴ ∴，即满足集合A的第①条件.‎ 对任意的有 ‎∵‎ 令=,显然，且有 ‎，即满足集合A的第②条件 ‎ 综上所述，函数 ‎（2）设存在两个，，使得, ，则 由有 ‎∴ 　∴，但与相矛盾　　∴这样的是唯一的.‎ ‎（3）∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎…… ……‎ ‎∴‎ ‎＝‎ 点评 界定新范围类在05、06年的高考模拟题中频繁出现，但在高考中出现尚属首次.求解这类题目的一个基本前提是明确“界定新范围”的充要性，如本例界定A的范围的两条标准即可作判定条件，如第（1）小题；也可以作为已知条件使用，如本例的第（2）小题、第（3）小题.对于第（2）小问也可以采用以下两种方法：‎ 边缘热点七 分形问题 ‎【知识背景】高等数学里的分形几何问题 ‎【高考联接】分形是高等数学里的一个知识，也是高中新课程里的内容，在高考命题中常与数列问题相结合.‎ 典例15如图所示，是树形图形．第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．‎ ‎ (1) 求第三层及第四层树形图的高度H3，H4；‎ ‎ (2) 求第n层树形图的高度Hn；‎ ‎ (3) 若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”．显然，当时是“矮小”的，是否存在．使得当时，该树形图是“高大”的?‎ ‎ 解析：(1)设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，则，‎ 所以，第三层树形图的高度，‎ 第四层树形图的高度．‎ ‎（2）易知，所以第n层树形图的高度为 ‎，‎ 所以，当为奇数时，第n层树形图的高度为 ‎；‎ 当n为偶数时，第n层树形图的高度为 ‎．‎ ‎（3）不存在．由（II）知，当n为奇数时，‎ ‎；‎ 当n为偶数时，，‎ 由定义，此树形图是永远是“矮小“的．所以不存在．使得当时，该树形图是“高大”的．‎ ‎ 评析：分形是高等数学里的一个知识，也是高中新课程里的内容，在全国的数学竞赛里曾经出现过，而对于高考却是鲜活的素材．‎ 高等数学的基本思想、基本问题为高考题的命制提供背景。这是由两个基本原因构成的，一是高考题要考查学生进一步学习的潜能。高等数学的基本思想、基本问题可以成为考查潜能的良好素材。二是命题者的背景，命题组成员中大学教师占绝对优势，他们在命题时不可能不受自身学术背景和学术兴趣的影响。　以高等数学知识为背景的"高观点题"在近几年高考或竞赛中层出不究,它们以新符号、新概念的形式出现,或以高等数学中的定理为依托,这些题目从不同的角度抓住了初高等数学的衔接点,立意新、背景深,深受命题老师的喜爱.而作为高中数学主体内容之一的函数更是受到命题老师的青睐. ‎ ‎2008年年高考应关注高观点题 ,高观点题指与高等数学相联系的问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想 方法和推理方法。高观点题的起点高，但落点低，也就是所谓的“高题低做”，即试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，所以并没将高等数学引进高中教学的必要。考生不必惊慌，只要坦然面对，较易突破。‎