中考数学深复习讲义——全等三角形

中考数学深复习讲义——全等三角形

‎2012年中考数学深度复习讲义——全等三角形 ‎◆考点聚焦 ‎ 1．探索并掌握两个三角形全等的特征和识别．‎ ‎ 2．了解定义、命题、逆命题和定理的含义，会区分命题的条件和结论．‎ ‎ 3．完成基本作图（等线段、等角、角的平分线、线段的垂直平分线）；会利基本作图作三角形及过不在同一直线上的三点作圆．‎ ‎◆备考兵法 ‎ 1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．‎ ‎ 2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．‎ ‎◆识记巩固 ‎ 1．三角形全等的识别方法：‎ 两个三角形中对应相等的边或角 全等识别法 一般三角形 三条边 两边及其夹角 两角及其夹边 两角及一角的对边 直角三角形 斜边及一条直角边 ‎ 注意：要证全等必须满足至少一组边对应相等．‎ ‎2．三角形全等的证题思路：‎ ‎ 3．全等三角形的特征：全等三角形的对应边_______，对应角______；图形经过_______，_______，_______等几何变换后与原图形全等．‎ ‎ 4．________________叫做命题．正确的命题称为_______，错误的命题称为_______．‎ ‎ 5．在几何中，限定用________和_______来画图，称为尺规作图，新课标要求掌握四种基本作图（画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线）．‎ ‎ 6．全等三角形中常见的基本图形：‎ 识记巩固参考答案:‎ ‎ 1．SSS SAS ASA AAS HL 3．相等 相等 对称 平移 旋转 4．可以判断正确与错误的语句 真命题 假命题 5．直尺 圆规 ‎◆典例解析 ‎ 例1 （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.‎ ‎ (1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;‎ ‎(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.‎ A B C E F 第22题图 ‎【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.‎ 在Rt△ABE和Rt△CBF中,‎ ‎∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)‎ ‎(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°.‎ ‎∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.‎ 由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°,‎ ‎∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.‎ ‎ 例2在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．‎ ‎ 请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）‎ ‎ 已知： ‎ ‎ 求证：△AED是等腰三角形．‎ 证明：‎ ‎ 解析 本例是一道开放性问题，考查全等三角形的识别，填法多样，一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法，再看有几种正确．正确的填法可以是已知：①③（或①④，或②③，或②④）（任选一个即可）．若选①③，证明如下：‎ ‎ 证明：在△ABE和△DCE中，‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴△ABE≌△DCE，‎ ‎ ∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．‎ ‎ 点评 几何演绎推理论证该如何考？一直是大家所关注的．本题颇有新意，提 供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性．这种考查的形式在近几种的中考试题中频繁出现，复习时值得重视．‎ ‎ 例3 已知Rt△ABC中，∠C=90°．‎ ‎ （1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．‎ ‎ ①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；‎ ‎ ②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为H；‎ ‎ ③连结ED．‎ ‎（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_____≌△______，并加以证明．‎ ‎ 解析 （1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD，作线段AD的垂直平分线，并连结相关线段．‎ ‎ （2）由AD平分∠BAC，‎ ‎ 可以得到∠BAD=∠DAC．‎ ‎ 由EF垂直平分线段AD，‎ ‎ 可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，‎ ‎ 从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共边，‎ ‎ 从而有△AEH≌△AFH≌△DEH．‎ ‎ 以上三组中任选一组即可．‎ ‎ 点拨 本题的最大特点是将基本作图与证明结合起来，就目前的情况来看，“作图→证明”“作图→计算”“作图→变换”是考查基本作图的常见命题模式．作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一，作图的图形中含有很多相等的线段和角，蕴含着全等三角形．‎ ‎ 例4 在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．‎ ‎ （1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；‎ ‎（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎ 解析 （1）连结AD．‎ ‎ ∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，‎ ‎ ∴AD⊥BC，BD=AD，‎ ‎ ∴∠B=∠DAC=45°．‎ ‎ 又BE=AF，‎ ‎ ∴△BDE≌△ADF（SAS），‎ ‎ ∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，‎ ‎ ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．‎ ‎ ∴△DEF为等腰直角三角形．‎ ‎ （2）连结AD．‎ ‎ ∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，‎ ‎ ∴AD=BD，AD⊥BC．‎ ‎ ∴∠DAC=∠ABD=45°，‎ ‎ ∴∠DAF=∠DBE=135°．‎ ‎ 又AF=BE，‎ ‎ ∴△DAF≌△DBE（SAS），‎ ‎ ∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，‎ ‎ ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．‎ ‎ ∴△DEF仍为等腰直角三角形．‎ ‎ 例5 在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．‎ ‎ （1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；‎ ‎ （2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察，测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；‎ ‎（3）当三角尺在（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎ 解析 （1）BF=CG．‎ ‎ 证明：在△ABF和△ACG中，‎ ‎ ∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，‎ ‎ ∴△ABF≌△ACG（AAS），‎ ‎ ∴BF=CG．‎ ‎ （2）DE+DF=CG．‎ ‎ 证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）．‎ ‎ ∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG．‎ ‎ ∴四边形EDHG为矩形，‎ ‎ ∴DE=HG，DH∥BG，‎ ‎ ∴∠GBC=∠HDC．‎ ‎ ∵AB=AC，‎ ‎ ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．‎ ‎ 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，‎ ‎ ∴△FDC≌△HCD（AAS），‎ ‎ ∴DF=CH．‎ ‎ ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．‎ ‎ （3）仍然成立．‎ ‎ 点评 本题从直接证明三角形全等，到探究新的情况下如何构建新的全等三角形证明待定的数量关系，再到不同位置关系下的归纳猜想，三个问题由浅入深考查学生的不同层次的数学能力．本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD．‎ 全等三角形 一、选择题 ‎1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）. ‎ A． B． ‎4 ‎C． D．‎ ‎【答案】B ‎2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）．‎ A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE ‎ ‎【答案】C ‎3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）‎ A.1 B‎.2 C.3 D. 4‎ ‎（第6题）‎ ‎【答案】B ‎4. （2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.‎ A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ‎ C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC 第7题图 ‎【答案】D ‎5. （2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（▲）‎ A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA ‎【答案】B ‎6. （2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.‎ A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ‎ C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC 第7题图 ‎【答案】D ‎7. （2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（ ）．‎ ‎(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；‎ ‎(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．‎ ‎【答案】D ‎8. （2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）. ‎ A． B． ‎4 ‎C． D．‎ ‎【答案】B ‎9. ‎ ‎10．‎ 二、填空题 ‎1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎2. （2011广东湛江19,4分）如图，点在同一直线上, ,, ‎ ‎（填“是”或“不是”） 的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．‎ ‎【答案】‎ ‎3. ‎ ‎4. ‎ ‎5. ‎ 三、解答题 ‎1. （2011广东东莞，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.‎ 求证：AE=CF.‎ ‎【答案】∵AD∥CB ‎∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ‎∴△ADF≌△CBE ‎∴AF=CE ‎∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF ‎2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC 证明：在△ABC与△DCB中 ‎ （∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC） ‎ ‎∴△ABC≌△DCB ‎ ‎∴AB=DC ‎ ‎3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在AC，AB上．‎ ‎(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；‎ ‎(2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．‎ ‎【答案】(1) 连结BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB．‎ ‎∴ △DBC≌△ECB （SSS）‎ ‎∴ ∠DBC =∠ECB ‎∴ AB=AC ‎(2) 逆， 假；‎ ‎4. （2011浙江台州，19,8分）如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.‎ ‎【答案】证明： ∵ □ABCD ‎∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD ‎∴ ∠EAF=∠HCG ∠E=∠H ‎∵ AE=AB，CH=CD ‎∴ AE=CH ‎∴ △AEF≌△CHG.‎ ‎5. （2011四川重庆，19，6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．‎ ‎【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ，‎ AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，‎ ‎∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．‎ ‎6. （2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？‎ ‎【答案】解：全等 .理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.‎ ‎7. （2011广东汕头，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.‎ 求证：AE=CF.‎ ‎【答案】∵AD∥CB ‎∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ‎∴△ADF≌△CBE ‎∴AF=CE ‎∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF ‎8. （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.‎ ‎ (1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;‎ ‎(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.‎ A B C E F 第22题图 ‎【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.‎ 在Rt△ABE和Rt△CBF中,‎ ‎∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)‎ ‎(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°.‎ ‎∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.‎ 由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°,‎ ‎∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.‎ ‎9. （2011福建福州，17（1），8分）如图6,于点,于点,交于点,且.‎ 求证.‎ 图6‎ ‎【答案】(1)证明:∵,‎ ‎∴‎ 在和中 ‎∴≌‎ ‎∴‎ ‎10．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．‎ 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．‎ A B C D E ‎【答案】BE=EC，BE⊥EC ‎∵AC=2AB，点D是AC的中点 ‎∴AB=AD=CD ‎∵∠EAD=∠EDA=45°‎ ‎∴∠EAB=∠EDC=135°‎ ‎∵EA=ED ‎∴△EAB≌△EDC ‎∴∠AEB=∠DEC，EB=EC ‎∴∠BEC=∠AED=90°‎ ‎∴BE=EC，BE⊥EC ‎11. （2011广东省，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.‎ 求证：AE=CF.‎ ‎【答案】∵AD∥CB ‎∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ‎∴△ADF≌△CBE ‎∴AF=CE ‎∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF ‎12. （2011湖北武汉市，19，6分）（本题满分6分）如图，D，E，分 别 是 AB，AC 上 的 点 ，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．‎ ‎【答案】证明：在△ABE和△ACD中，‎ AB＝AC ∠A＝∠A AE＝AD ‎     ∴△ABE≌△ACD ‎     ∴∠B=∠C ‎13. （2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．‎ ‎【证明】∵在△ABC中，AD是中线，‎ ‎∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．‎ ‎14. (20011江苏镇江,22,5分)已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.‎ 求证:AB=AC ‎【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,‎ ‎∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C,‎ 又∠E=∠B, ∴∠B =∠C, ∴AB=AC.‎ ‎15. （2011湖北宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.‎ ‎(1)证明：∠DFA = ∠FAB；‎ ‎(2)证明: △ABE≌△FCE.‎ ‎ （第18题图）‎ ‎【答案】证明：（1）∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，（1分）∴∠F=∠FAB．（3分）（2）在△ABE和△FCE中， ∠FAB=∠F （4分）∵ ∠AEB=∠FEC （5分）BE=CE （6分）∴ △ABE≌△FCE．（7分）‎ ‎2011年中考真题 一、 选择题 ‎1. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB△的理由是 ‎(A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边 ‎ 答案;A 二、填空题 第1题 D C B A ‎1、（2011北京四中模拟8）如图，∠ACB=∠ADB，要使△ACB≌△BDA，请写出一个 符合要求的条件 ‎ 答案 ∠CAB=∠DBA或∠CBA=DAB ‎2、（2011年北京四中模拟28）‎ 如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为 的碎片去．‎ 答案：③‎ ‎（第2题）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ A D F C B E ‎（第3题）图）‎ ‎3．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是　　　　　　　．‎ 答案：16‎ 三、解答题 A组 ‎1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE． 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．‎ ‎【根据习题改编】‎ ‎（1）你添加的条件是： ；‎ ‎（2）证明： ‎ A C B D F E ‎(第1题)图)‎ 答案： 解：（1）(或点D是线段BC的中点)，，‎ 中任选一个即可﹒‎ ‎（2）以为例进行证明：‎ ‎∵ CF∥BE， ‎ ‎∴ ∠FCD﹦∠EBD．‎ 又∵，∠FDC﹦∠EDB，‎ ‎∴ △BDE≌△CDF．‎ ‎2、（2011年北京四中三模）‎ 如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论。‎ 答案：和BE相等的线段是：AF 通过证明△ABF≌△BCE得证BE=AF ‎3、（2011年如皋市九年级期末考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是： ，并给予证明．‎ B A E F D C ‎（第3题）‎ 答案：答案不惟一．添加条件为AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD． ‎ 以添加条件AE＝AF为例证明．‎ 证明：在△AED与△AFD中，‎ ‎∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，‎ ‎∴△AED≌△AFD（SAS）． ‎ ‎4、（北京四中模拟）‎ 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线 交DC于点E．‎ 求证：（1）△BFC≌△DFC；‎ ‎（2）AD=DE．‎ 答案：略 ‎2、（2011杭州模拟26） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=‎10cm，OC=‎6cm。P是线段OA上的动点，从点O出发，以‎1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上。已知A、Q两点间的距离是O、P两点间距离的a倍。若用（a，t）表示经过时间t(s)时，△OCP、△PAQ 、△CBQ中有两个三角形全等。请写出（a，t）的所有可能情况 . ‎ 答案：（0，10），（1，4），（，5）‎ ‎3、（北京四中模拟）如图，已知．求证：．‎ 证明：‎ ‎． ‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎4、（2011年北京四中模拟26）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。‎ ‎（1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论；‎ 答案：解：（1）△。证明：。‎ A B C D E F 又 ‎ ‎5、（2011年北京四中模拟28）‎ 如图，点F是CD 的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．‎ ‎（1）求证：AB=AE；‎ ‎（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？‎ ‎（只需写出结论，不必证明）．‎ 答案：‎ （1） 证明：联结AC、AD----------------------------------------------------------------1分 ‎∵点F是CD 的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD---------------1分 ‎ ∴∠ACD=∠ADC------------------------------------------------------1分 ‎ ∵∠BCD＝∠EDC, ∴∠ACB＝∠ADE-------------------------1分 ‎ ∵BC=DE，AC=AD ‎ ∴△ABC≌△AED, -------------------------------------------------------1分 ‎ ∴AB=AE-------------------------------------------------------------------1分 （2） BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE--------------------------------------1分，1分，2分 ‎（注：写出一个得1分，写出两个得2分，写出三个得4分）‎ ‎6、（2011年北京四中中考模拟20）(本题8分)如图，AB∥CD ‎(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)‎ A B C D A C D B ‎(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。‎ C A B D E P F 解：(1)作图略；‎ ‎(2)取点F和画AF正确(如图)；‎ ‎ 添加的条件可以是：F是CE的中点；‎ ‎ AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)‎ ‎7. （2011年黄冈市浠水县中考调研试题）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.‎ 求证：(1)△BAD≌△CAE； (2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.‎ 答案：（1）AB＝AC，易证∠BAD＝∠CAE ，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）‎ ‎（2）BD⊥CE，证明略.‎ ‎8. （2011年北京四中中考全真模拟17）已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC.‎ 求证：CD=AN.‎ 答案：证明：如图，‎ 因为 AB∥CN，所以 在和中 ‎ ‎ ‎ ‎ ≌ ‎ ‎ 是平行四边形 ‎ B组 ‎1．（2011 天一实验学校 二模）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以‎3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ A Q C D B P ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ 答案： ⑴‎ ‎①全等。‎ 理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时BP=3,CP=5,CQ=3‎ ‎∵D为AB中点，AB=10，∴BD=5.‎ ‎∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP ‎ ‎②若Q与P的运动速度不等，则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等，则BP=CP=4‎ CQ=5,Q的运动速度为5×cm/s ‎ ‎⑵设经过t秒两点第一次相遇则 ‎（-3）t=20‎ t=‎ ‎3t=80,‎ ‎80÷28=2‎ ‎×28=24,所以在AB边上。‎ 即经过两点第一次相遇，相遇点在AB上。 ‎ ‎2．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图，是平行四边形的对角线上的点，． ‎ A B C D E F ‎(第2题)‎ 请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？‎ 并对你的猜想加以证明．‎ 猜想：‎ 证明：‎ 答案：猜想：BE∥DF BE=DF ‎ 证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD、AB∥CD ‎∴∠BAC=∠DCA ‎ 又∵ AF=CE ‎∴AE=CF ‎ ∴△ABE≌△CDF (SAS) ‎ ‎∴BE=DF ∠AEB=∠CFD ‎∴∠BEF=∠DFE ‎∴BE∥DF ‎ ‎3．（2011北京四中一模）如图，在 △ABC中，以AB为直径的⊙O交 BC于点 D，连结 AD，请你添加一个条件，‎ 使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．‎ ‎ 你添加的条件是 ‎ ‎ 证明：‎ ‎ 答案： 本题答案不唯一，添加的条件可以是 ‎ ①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点），‎ ‎ ④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．‎ ‎4.（2011浙江杭州义蓬一模）(本小题满分10分) 图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.‎ ‎（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.‎ 图2‎ A B C D K H ‎30°‎ 图1‎ A B C D E F ‎30°‎ ‎ 答案：（1）求证：① △AEF≌△BEC；‎ ‎ ∠ABC=90°，E是AB的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC ‎ 所以△AEF≌△BEC； ‎ ‎② 四边形BCFD是平行四边形；‎ ‎ 可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC，且DF=BC均可 ‎ ‎ （2）设BC=1，则AC=,AD=AB=2‎ ‎ 设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)+3=x ‎ X= 所以Sin∠ACH= ‎ ‎5. （2011深圳市全真中考模拟一） 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．‎ ‎(1)求证：OE=OF；‎ ‎(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．‎ ‎ ‎ 答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．‎ ‎ ∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (1分)‎ ‎ 又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE ‎∴MEA＝AFO………………（2分）‎ ‎ ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (3分)‎ ‎ ∴OE=OF ………………(4分)‎ ‎ (2)OE＝OF成立 ……………… (5分)‎ ‎ 证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎ ∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (6分)‎ ‎ 又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE ‎ 又∵MBF＝OBE ‎ ∴F＝E………………（7分）‎ ‎ ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (8分)‎ ‎ ∴OE=OF ………………(9分)‎ ‎6. （河南新乡2011模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．‎ ‎（1）求B′ 点的坐标； ‎ ‎（2）求折痕CE所在直线的解析式．‎ 答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，‎ ‎∴ ． ………………………………………………………………………３分 解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………４分 ‎（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕，‎ ‎∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．‎ 由勾股定理，得 CB′＝＝15． … …………………………………５分 设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3． ‎ 由勾股定理，得　a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．‎ ‎∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）． ５分 设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得 …………… ８分 ‎ 解得 ∴CE所在直线的解析式为　y＝－x+9． ……‎ ‎7、（2011年黄冈市浠水县）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE=EC，CF∥AB．‎ A B C D E F 求证：AD=CF．‎ 答案：证明：，．…………（2分）‎ 又，，‎ ‎．………………………（5分） ‎ ‎．…………………………………（6分）‎ ‎8. （2011年浙江省杭州市模2）（本小题满分10分）‎ 如图1，点P、Q分别是边长为‎4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为‎1cm/s，‎ ‎ （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；‎ ‎（2）何时∆PBQ是直角三角形？‎ ‎ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；‎ A P B Q C M 第8题图2‎ A P B Q C M 第8题图1‎ 答案：（1）不变。‎ ‎ ‎ ‎ 又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t ‎ 当 当 ‎∴当第秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形 ‎（3）不变。‎ ‎ ∴‎ ‎ 又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)‎ ‎ ∴ 又 ‎∴‎ 单元测试 一、基础过关训练 ‎1．下列判断中错误的是（ ）‎ ‎ A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 ‎ B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 ‎ C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 ‎ D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 ‎2．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎ ‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A沿顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF．下列结论：①AED≌△AEF；②ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（ ）‎ ‎ A．②④ B．①④ C．②③ D．①③‎ ‎4．如图，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件__________（只需写一个）．‎ ‎5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．‎ ‎ （1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；‎ ‎（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．‎ ‎6．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结DC．‎ ‎ （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．‎ ‎（2）证明：DC⊥BE．‎ ‎7．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．‎ ‎ （1）求证：△ABF≌△EDF；‎ ‎（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连结DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．‎ ‎8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．‎ ‎9．如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连结点D，E，F，得到△DEF为等边三角形．‎ 求证：（1）△AEF△CDE；（2）△ABC为等边三角形．‎ ‎10．如图，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的边CD与⊙O交于点E，F，AF和BE相交于点G，连结AE，BF．‎ ‎ （1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）．‎ ‎（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．‎ 二、能力提升训练 ‎11．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：‎ ‎ （1）如果AB=AC，∠BAC=90°．‎ ‎ ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD之间的位置关系为_____，数量关系为_______；‎ ‎ ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．‎ ‎ 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）；‎ ‎ （3）若AC=4，BC=3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．‎ 参考答案 基础过关训练 ‎ 1．B 2．D 3．B ‎ 4．不唯一，如∠D=∠B或∠AFD=∠CEB或AD=CB ‎ 5．（1）有三对全等三角形，分别是△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△BED≌△CFD． （2）略 ‎ 6．（1）△ABE≌△ACD，证明如下：‎ ‎ ∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形．‎ ‎ ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．‎ ‎ ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，‎ ‎ 即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD．‎ ‎ （2）证明：由（1）△ABE≌△ACD知，‎ ‎ ∠ACD=∠ABE=45°．‎ ‎ 又∠ACB=45°．‎ ‎ ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∴DC⊥BE．‎ ‎ 7．（1）证明：由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．‎ ‎ 在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，‎ ‎ ∴AB=ED，∠A=∠E．‎ ‎ ∵∠AFB=∠EFD，∴△AFB≌△EFD．‎ ‎ （2）四边形BMDF是菱形．‎ ‎ 理由：由折叠可知，BF=BM，DF=DM．‎ ‎ 由（1）知△AFB≌△EFD，∴BF=DF．‎ ‎ ∴BM=BF=DF=DM．‎ ‎ ∴四边形BMDF是菱形．‎ ‎ 8．（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．‎ ‎ 在△BFC和△DFC中，‎ ‎ ∵BC=DC，∠BCF=∠DCF，FC=FC，‎ ‎ ∴△BFC≌△DFC．‎ ‎ （2）连结BD．‎ ‎ ∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．‎ ‎ ∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．‎ ‎ 又∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC，‎ ‎ ∴∠BDA=∠BDC，又BD是公共边，‎ ‎ ∴△BAD≌△BED，∴AD=DE．‎ ‎ 9．（1）∵BF=AC，AB=AE，∴FA=EC．‎ ‎ ∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE．‎ ‎ 又∵AE=CD，∴△AEF≌△CDE．‎ ‎ （2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC．‎ ‎ ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，‎ ‎ ∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60°，∴∠BCA=60°，‎ ‎ 同理可得∠BAC=60°．‎ ‎ 在△ABC中，AB=BC．‎ ‎ ∴△ABC是等边三角形．‎ ‎ 10．（1）△AGE≌△BGF，△AEF≌△AFE，△AEB≌△BFA．（2）略．‎ ‎ 能力提升训练 ‎ 11．（1）①垂直 相等 ‎ ②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．‎ ‎ 由正方形ADEF，得AD=AF，∠DAF=90°．‎ ‎ ∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC．‎ ‎ 又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，‎ ‎ ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．‎ ‎ ∵∠BAC=90°，AB=AC．‎ ‎ ∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°．‎ ‎ ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．‎ ‎ （2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）．‎ ‎ 理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG．‎ ‎ 可证：△GAD≌△CAF．‎ ‎ ∴∠ACF=∠AGD=45°．‎ ‎ ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，‎ 即CF⊥BD．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎ （3）当具备∠BCA=45°时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q（如图2）．‎ ‎ ∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，‎ ‎ ∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．‎ ‎ 设CD=x，∴DQ=4-x．‎ ‎ 容易说明△AQD∽△DCP，‎ ‎ ∴，∴，‎ ‎ ∴CP=-+x=-（x-2）2+1．‎ ‎ ∵0

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