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文档介绍
2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年北京市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分) 1.(5分)(2009•北京)在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi(a,b∈R)的形式,即可确定复数z所在象限. 【解答】解:∵z=i(1+2i)=i+2i=﹣2+i, ∴复数z所对应的点为(﹣2,1), 故选B 【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. 2.(5分)(2009•北京)已知向量=(1,0),=(0,1),=k+(k∈R),=﹣,如果∥,那么( ) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=﹣1且c与d同向 D.k=﹣1且c与d反向 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】根据所给的选项特点,检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项. 【解答】解:∵=(1,0),=(0,1),若k=1, 则=+=(1,1),=﹣=(1,﹣1), 显然,与不平行,排除A、B. 若k=﹣1,则=﹣+=(﹣1,1),=﹣=(1,﹣1), 即∥ 且与反向,排除C, 故选 D. 【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍. 3.(5分)(2009•北京)为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 【考点】对数函数的图像与性质.菁优网版权所有 【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简,即可选出答案. 【解答】解:∵, ∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 故选C. 【点评】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查. 4.(5分)(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为( ) A. B.1 C. D. 【考点】直线与平面平行的性质.菁优网版权所有 【专题】计算题;作图题;压轴题. 【分析】画出图象,利用线段的关系,角的三角函数,求解即可. 【解答】解:依题意,BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离, ∠B1AB=60°,BB1=1×tan60°=, 故选:D. 【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念,属于基础知识、基本运算的考查. 5.(5分)(2009•北京)“a=+2kπ(k∈Z)”是“cos2a=”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;任意角的三角函数的定义;二倍角的余弦.菁优网版权所有 【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立,但cos2a=时,a=+2kπ(k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论. 【解答】解:当a=+2kπ(k∈Z)时, cos2a=cos(4kπ+)=cos= 反之,当cos2a=时, 有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z), 或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣(k∈Z), 故选A. 【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系. 6.(5分)(2009•北京)若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=( ) A.45 B.55 C.70 D.80 【考点】二项式定理的应用.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数,化简展开式求出a,b,求出a+b 【解答】解析:由二项式定理得: (1+)5=1+C51+C52()2+C53()3+C54()4+C55•()5=1+5+20+20+20+4 =41+29, ∴a=41,b=29,a+b=70. 故选C 【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数. 7.(5分)(2009•北京)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 【考点】计数原理的应用.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0,所以百位有8种,个位有8种,写出结果数,当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果,写出结果,根据分类计数原理得到共有的结果数. 【解答】解:由题意知本题要分类来解, 当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法, 因百位不能为0,所以百位有8种,十位有8种,共有8×8×4=256 当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果, 共有9×8×1=72 根据分类计数原理知共有256+72=328 故选B 【点评】数字问题是排列中的一大类问题,条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质,很多题目要分类讨论,要做到不重不漏. 8.(5分)(2009•北京)点P在直线l:y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是( ) A.直线l上的所有点都是“点” B.直线l上仅有有限个点是“点” C.直线l上的所有点都不是“点” D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点” 【考点】两点间距离公式的应用.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题;创新题型. 【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标,进而B的坐标可表示出,把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y,求得判别式大于0恒成立,可推断出方程有解,进而可推断出直线l上的所有点都符合. 【解答】解:设A(m,n),P(x,x﹣1)则,B(2m﹣x,2n﹣x+1) ∵A,B在y=x2上 ∴n=m2,2n﹣x+1=(2m﹣x)2 消去n,整理得关于x的方程 x2﹣(4m﹣1 )x+2m2﹣1=0 ∵△=8m2﹣8m+5>0恒成立, ∴方程恒有实数解, ∴故选A. 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系.一般是把直线与圆锥曲线方程联立,解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断. 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分) 9.(5分)(2009•北京)= . 【考点】极限及其运算.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值. 【解答】解: = = =. 故答案为:. 【点评】本题考查函数的极限,解题时要注意消除零因子. 10.(5分)(2009•北京)若实数x,y满足则s=y﹣x的最小值为 ﹣6 . 【考点】简单线性规划.菁优网版权所有 【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过(4,﹣2)点时s有最小值. 【解答】解:画可行域如图阴影部分,令s=0作直线l:y﹣x=0 平移l过点A(4,﹣2)时s有最小值﹣6, 故答案为﹣6. 【点评】本题考查线性规划问题:可行域画法 目标函数几何意义 11.(5分)(2009•北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为 ﹣1 . 【考点】偶函数;导数的几何意义.菁优网版权所有 【分析】偶函数关于y轴对称,结合图象,根据对称性即可解决本题. 【解答】解;取f(x)=x2﹣1,如图, 易得该曲线在(﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1. 故应填﹣1. 【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型,在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法. 12.(5分)(2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= 2 ,∠F1PF2的大小为 120° . 【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】第一问用定义法,由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|;第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解. 【解答】解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=6﹣|PF1|=2. 在△F1PF2中, cos∠F1PF2 = ==﹣, ∴∠F1PF2=120°. 故答案为:2;120° 【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型,难度不大,考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位. 13.(5分)(2009•北京)若函数则不等式的解集为 [﹣3,1] . 【考点】其他不等式的解法.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题;转化思想. 【分析】先由分段函数的定义域选择解析式,构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解,最后两种结果取并集. 【解答】解:①由. ②由. ∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1, 故答案为:[﹣3,1]. 【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算. 14.(5分)(2009•北京){an}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N*则a2009= 1 ;a2014= 0 . 【考点】数列的概念及简单表示法.菁优网版权所有 【专题】压轴题. 【分析】由a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,知第一项是1,第二项是1,第三项是0,第2009项的2009可写为503×4﹣3,故第2009项是1,第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1,所以第2014项是0. 【解答】解:∵2009=503×4﹣3, ∴a2009=1, ∵a2014=a1007, 1007=252×4﹣1, ∴a2014=0, 故答案为:1,0. 【点评】培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 三、解答题(共6小题,满分80分) 15.(13分)(2009•北京)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,. (Ⅰ)求sinC的值; (Ⅱ)求△ABC的面积. 【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】(Ⅰ)由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A,然后将C的值代入sinC,利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值; (Ⅱ)要求三角形的面积,根据面积公式S=absinC和(Ⅰ)可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可. 【解答】解:(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且>0, ∴A为锐角, 则sinA== ∴ ∴sinC=sin(﹣A)=cosA+sinA=; (Ⅱ)由(Ⅰ)知sinA=,sinC=, 又∵, ∴在△ABC中,由正弦定理,得 ∴a==, ∴△ABC的面积S=absinC=×××=. 【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值.灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值. 16.(14分)(2009•北京)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC. (1)求证:BC⊥平面PAC; (2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值; (3)是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由. 【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角.菁优网版权所有 【专题】计算题;证明题. 【分析】(1)欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC,满足定理所需条件; (2)根据DE⊥平面PAC,垂足为点E,则∠DAE是AD与平面PAC所成的角.在Rt△ADE中,求出AD与平面PAC所成角即可; (3)根据DE⊥AE,DE⊥PE,由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角. 【解答】解:(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC. 又∠BCA=90°,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面PAC. (2)∵D为PB的中点,DE∥BC, ∴DE=BC. 又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC,垂足为点E, ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB. 又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形, ∴AD=AB. 在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=AB, ∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===, 即AD与平面PAC所成角的正弦值为. (3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC. 又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PBC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC, ∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC. 这时,∠AEP=90°, 故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角. 【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法,涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强. 17.(13分)(2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min. (Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. 【考点】离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】(1)由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的,所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率,根据公式得到结果. (2)由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验,根据独立重复试验公式得到变量的分布列,算出期望. 【解答】解:(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A, ∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”, ∴事件A的概率为 (Ⅱ)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min) 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4), ∴, ∴即ξ的分布列是 ξ 0 2 4 6 8 P ∴ξ的期望是 【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指,两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件,遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率. 18.(13分)(2009•北京)设函数f(x)=xekx(k≠0). (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数f(x)在区间(﹣1,1)内单调递增,求k的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(I)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (II)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间即可; (III)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,若k<0,则当且仅当﹣≥1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增,由此即可求k的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0, 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x; (Ⅱ)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=﹣(k≠0), 若k>0,则当x∈(﹣∞,﹣)时, f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈(﹣,+∞,)时,f′(x)>0, 函数f(x)单调递增, 若k<0,则当x∈(﹣∞,﹣)时, f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈(﹣,+∞,)时, f′(x)<0,函数f(x)单调递减; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当﹣≤﹣1, 即k≤1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增, 若k<0,则当且仅当﹣≥1, 即k≥﹣1时,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增, 综上可知,函数f(x)(﹣1,1)内单调递增时, k的取值范围是[﹣1,0)∪(0,1]. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力以及分类讨论思想.属于基础题. 19.(14分)(2009•北京)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为x= (I)求双曲线C的方程; (Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值. 【考点】圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】计算题;综合题;压轴题;转化思想. 【分析】( I)先利用条件列出关于a,c的方程解方程求出a,c,b;即可求出双曲线方程. (II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A,B坐标之间的方程,再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值. 【解答】解:(Ⅰ)由题意,, 解得a=1,c=, b2=c2﹣a2=2, ∴所求双曲C的方程. (Ⅱ)设P(m,n)(mn≠0)在x2+y2=2上, 圆在点P(m,n)处的切线方程为y﹣n=﹣(x﹣m), 化简得mx+ny=2. 以及m2+n2=2得 (3m2﹣4)x2﹣4mx+8﹣2m2=0, ∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<m2<2, 3m2﹣4≠0,且△=16m2﹣4(3m2﹣4)(8﹣2m2)>0, 设A、B两点的坐标分别(x1,y1),(x2,y2), x1+x2=,x1x2=. ∵, 且 =x1x2+[4﹣2m(x1+x2)+m2x1x2] =+[4﹣+] =﹣=0. ∴∠AOB的大小为900. 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识, 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力. 20.(13分)(2009•北京)已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…an,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A. (I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由; (Ⅱ)证明:a1=1,且; (Ⅲ)证明:当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列. 【考点】数列的应用.菁优网版权所有 【专题】证明题;综合题;压轴题;新定义;分类讨论. 【分析】(I)根据性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A,验证给的集合集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素; (Ⅱ)由性质P,知anan>an,故anan∉A,从而1=∈A,a1=1.再验证又∵<<…<<,,,…,,从而++…++=a1+a2+…+an,命题得证; (Ⅲ)跟据(Ⅱ),只要证明即可. 【解答】解:(Ⅰ)由于3×与均不属于数集{1,3,4, ∴该数集不具有性质P. 由于1×2,1×3,1×6,2×3,,,,,,都属于数集{1,2,3,6, ∴该数集具有性质P. (Ⅱ)∵A={a1,a2,…,an}具有性质P, ∴anan与中至少有一个属于A, 由于1≤a1<a2<…<an,∴anan>an 故anan∉A. 从而1=∈A,a1=1. ∵1=a1<a2<…an,n≥2,∴akan>an(k=2,3,4,…,n), 故akan∉A(k=2,3,4,…,n). 由A具有性质P可知∈A(k=2,3,4,…,n). 又∵<<…<<, ∴,,…,, 从而++…++=a1+a2+…+an, ∴且; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当n=5时, 有,,即a5=a2•a4=a32, ∵1=a1<a2<…<a5,∴a3a4>a2a4=a5,∴a3a4∉A, 由A具有性质P可知∈A. 由a2•a4=a32,得∈A, 且1<,∴, ∴, 即a1,a2,a3,a4,a5 是首项为1,公比为a2等比数列. 【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法.此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,侧重于对能力的考查,属于较难层次题.查看更多