中考数学复习(七)：辅助线的添加

中考数学复习(七)：辅助线的添加

辅助线的添加 ‎【知识要点】‎ ‎ 平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。‎ 一 、三角形中常见辅助线的添加 ‎1. 与角平分线有关的 ⅰ 可向两边作垂线。‎ ⅱ 可作平行线，构造等腰三角形 ⅲ 在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 ‎2. 与线段长度相关的 ⅰ 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 ⅱ 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 ⅲ 倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。‎ ⅳ 遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。‎ ‎3. 与等腰等边三角形相关的 ⅰ 考虑三线合一 ⅱ 旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转 二 、四边形 ‎ 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.‎ ‎1、和平行四边形有关的辅助线作法 ‎ 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.‎ ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形 ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形 ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形 ‎2、和菱形有关的辅助线的作法 ‎ ‎ 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.‎ ⅰ. 作菱形的高；‎ ⅱ．连结菱形的对角线.‎ ‎3、与矩形有辅助线作法 ‎ 和矩形有关的题型一般有两种：‎ ⅰ. 计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；‎ ⅱ．证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.‎ ‎4、与正方形有关辅助线的作法 ‎ 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.‎ ‎5、与梯形有关的辅助线的作法 ‎ 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：‎ ‎（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；‎ ‎（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；‎ ‎（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；‎ ‎（4） 延长两腰构成三角形；‎ ‎（5）作两腰的平行线等.‎ 三 、圆 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）‎ 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。‎ ‎ 作用：① 利用垂径定理；‎ ‎ ② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；‎ ‎ ③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。‎ ‎2．遇到有直径时 ‎ 常常添加（画）直径所对的圆周角。‎ ‎ 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。‎ ‎ 3．遇到90度的圆周角时 ‎ 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。‎ ‎ 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。‎ ‎4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。‎ 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。‎ ‎5．遇到有切线时 ‎ （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）‎ ‎ 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。‎ ‎ （2）常常添加连结圆上一点和切点 ‎ 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。‎ ‎6．遇到证明某一直线是圆的切线时 ‎ （1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。 作用：若OA=r，则l为切线。‎ ‎ （2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证OA⊥l，则l为切线。‎ ‎ （3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 ‎ 7．  遇到两相交切线时（切线长）‎ 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。‎ ‎ 作用：据切线长及其它性质，可得到：‎ ‎ ① 角、线段的等量关系；‎ ‎ ② 垂直关系；‎ ‎ ③ 全等、相似三角形。‎ ‎8．遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。‎ ‎ 作用：利用内心的性质，可得：‎ ‎① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；‎ ‎② 内心到三角形三条边的距离相等。‎ ‎9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 ‎ 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。‎ ‎10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）‎ 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。‎ ‎ 作用：①利用切线的性质； ②利用解直角三角形的有关知识。‎ ‎11．遇到两圆相交时 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。‎ ‎ 作用：① 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；‎ ‎ ② 利用圆内接四边形的性质；‎ ‎ ③ 利用两圆公共的圆周的性质；‎ ‎ ④ 垂径定理。‎ ‎12．遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线。‎ ‎ 作用：① 利用连心线性质；‎ ‎ ② 切线性质等。‎ ‎13． 遇到三个圆两两外切时 常常作每两个圆的连心线。‎ ‎ 作用：可利用连心线性质。‎ ‎ 14．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。‎ ‎ 作用：以便利用圆的性质。‎ ‎【历年考卷形势分析及中考预测】‎ 平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容，其题目的灵活性远远是代数题目所不能比拟的，从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题，出题范围极为广泛，难易程度差距较大，对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近6年广州市的中考试题，分值分布大约在60分左右，其中简单的题目大约占43分，其余的17分较难，每年必有一道几何压轴题，分值14分，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。‎ 题目难主要难在辅助线的添加，尤其像特殊四边形及圆中的问题，从中考考纲来看，年广州市中考命题，同往年相比，变化不大，压轴题中可能会以三角形或四边形结合动点问题给出，或者以圆中相关知识为背景，结合动点，函数问题给出，区分度较大。‎ ‎【考点精析】‎ 考点1. 三角形：‎ 例1 如图，AB=CD，E为BC中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。‎ A B E C D 例2 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。‎ ‎1‎ ‎2‎ A C D B 例3 如图9—5，设O是正三角形ABC内一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°。求以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角。‎ 图9—5‎ B A C O A B C D M N 例4 如图所示，△ABC是边长为4的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于M，N两点，连结MN，求△AMN的周长.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、如图，AB=6，AC=8，D为BC的中点，求AD的取值范围。‎ A B C D ‎6‎ ‎8‎ ‎2、如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。‎ B D C A ‎ 3．如图9—21，设O是正三角形ABC内一点，已知∠AOB=80°，∠BOC=135°，求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角。‎ B O A C 图9—21‎ 考点2. 四边形：‎ 例5 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分.‎ 例6 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.‎ ‎ ‎ 例7 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.‎ 例8 如图，在正方形ABCD中，E为内部一点且是正三角形，求的度数 A B C D E 例9 如图，AB∥CD，M、N分别为AD、BC中点，MN交AC、BD于G、H点。‎ ‎ 求证：GH=（CD－AB）‎ A D C B M N H G ‎【举一反三】‎ ‎1. 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.‎ ‎2. 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.‎ A E B F C D ‎3．如图：正方形ABCD，AE+CF=EF，求证：‎ ‎4、如图③，已知梯形ABCD中，AD=‎1.5cm，BC=‎3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=‎3cm，AC=‎4cm，求梯形ABCD的面积。‎ 考点3. 圆：‎ 例10 （江苏泰州，18，3分）如图⊙O的半径为‎1cm，弦AB、CD的长度分别为，则试求弦AC、BD所夹的锐角．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例11 (年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，‎ ‎ ∠A＝∠B＝60°，试求BC的长为.‎ 例12．（山东临沂）如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且.‎ ‎(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；‎ ‎(2)如果，，求的长。‎ 例1‎•‎ P B A E O C D 3．（江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．‎ 求证：（1）PD=PE；‎ ‎（2）．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1．（番禺一模）‎ 已知：如图12，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．‎ ‎ 图12‎ ‎（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，求⊙的面积．‎ ‎2.（天河一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。‎ A C B D E ‎ （1）求证：AC＝AE；‎ ‎ （2）求△ACD外接圆的半径。‎ ‎3．（荔湾十校一模）‎ 如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. ‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.‎ 综合 例14．（宁夏回族自治区）在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．‎ ‎(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．‎ ‎(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．‎ 图14-1‎ 连杆 滑块 滑道 例15．（ 河北）观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2‎ 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得 ‎•‎ P B A E O C D OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．‎ 解决问题 ‎（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；‎ 点Q与点O间的最大距离是 分米；‎ 点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．‎ ‎（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位 H l O P Q 图14-2‎ 置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？‎ 为什么？‎ ‎（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l 的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是 分米；‎ ‎②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，‎ 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．‎ H l O 图14-3‎ P ‎（Q）‎ ‎ ‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.（年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ E A D B C N M ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎2．（广雅一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②,将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．‎ ‎（1）图①中，若△COD翻折后点F落在OA边上，写出 D、E点坐标，并且 求出直线DE的解析式．‎ ‎（2）设（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想．‎ ‎（3）图②中，设E（10，b），求b的最小值．‎ 图①‎ 图②‎ ‎3、（年福建省南安市）（13分）如图1，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．‎ ‎（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；‎ ‎（2）操作：固定，将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图2）．‎ ‎①探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．‎ F G A B D C E 图2‎ ‎②探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．‎ A F G ‎(D)B C(E)‎ 图1‎